Nicht diff'bar -> nicht 2 mal partiell diff'bar?

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HomoDementia Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht diff'bar -> nicht 2 mal partiell diff'bar?
Ich bin die ganze Zeit am überlegen, aber komme einfach nicht drauf:

Warum kann eine Funktion f: R² -> R die partiell diffbar, aber nicht diff'bar ist nicht 2 mal partiell diff'bar sein?

Kann sein dass ich grad irgendeine Blockade im Kopf hab, aber mir fallen jetz auch keine Sätze ein unglücklich
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Angenommen die partiellen Ableitungen sind wieder differenzierbar. Das bedeutet insbesondere, dass diese stetig sind. Anders gesagt, die Abbildung ist stetig partiell differenzierbar. Das bedeutet aber?
Gastmathematiker Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von system-agent
Angenommen die partiellen Ableitungen sind wieder differenzierbar. Das bedeutet insbesondere, dass diese stetig sind. Anders gesagt, die Abbildung ist stetig partiell differenzierbar. Das bedeutet aber?


Aus partieller Diffbarkeit folgt aber nicht die Stetigkeit.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte wenn die partielle Ableitung wieder differenzierbar ist, dann ist die betreffende partielle Ableitung auch stetig.
Gastmathematiker Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von system-agent
Ich meinte wenn die partielle Ableitung wieder differenzierbar ist, dann ist die betreffende partielle Ableitung auch stetig.



Es geht aber darum, dass die partielle Ableitung nicht mehr partiell diffbar ist.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Was bedeutet es dann wenn man schreibt, dass etwas "zweimal partiell differenzierbar" ist?
 
 
Gastmathematiker Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von system-agent
Was bedeutet es dann wenn man schreibt, dass etwas "zweimal partiell differenzierbar" ist?


Das die partiellen Ableitungen partiell diffbar sind. Und da kann man eben nicht folgern, dass die partiellen Ableitungen stetig sein müssen, weil diese partiell diffbar sind, da aus partieller Diffbarkeit keine Stetigkeit folgt.
HomoDementia Auf diesen Beitrag antworten »

Soweit so gut.

Also wir wissen jetzt dass es die partiellen Ableitungen der Funktion f gibt. Aber da f nicht total diff'bar ist, sind die partiellen Ableitungen (nicht alle) stetig.

Soviel hab ich verstanden.

Aber stetigkeit ist keine Bedingung für partielle diffbarkeit... Also wie kann man jetzt zeigen, dass die partiellen Ableitungen nicht partiell differenzierbar sind?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

@Gastmathematiker
Danke für den Hinweis Freude .
Gastmathematiker Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HomoDementia
Soweit so gut.

Also wir wissen jetzt dass es die partiellen Ableitungen der Funktion f gibt. Aber da f nicht total diff'bar ist, sind die partiellen Ableitungen (nicht alle) stetig.

Soviel hab ich verstanden.

Aber stetigkeit ist keine Bedingung für partielle diffbarkeit... Also wie kann man jetzt zeigen, dass die partiellen Ableitungen nicht partiell differenzierbar sind?



Woher hast du die Behauptung überhaupt?
Gastmathematiker Auf diesen Beitrag antworten »

Kann denn einer bestätigen, dass die Behauptung wahr ist, auch wenn er den Beweis nicht mehr kennt? verwirrt
Ich bin mir da nicht so sicher!
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

@GastMathematiker: Deine Argumentation scheint mir richtig.

Man könnte ja mal versuchen ein Gegenbeispiel zu finden.

(denn aus zweimaliger part. Diff'barkeit folgt wirklich nicht stetig (part.) diff'bar.)

Ich bin im Moment zwar nicht im richtigen mentalen Zustand ( Prost ), aber ich seh' da durchaus Potential für ein Gegenbeispiel.

Als Anregung (vielleicht könnte man eines von hier entsprechend ausbauen?!) Gegenbeispiele Diff'barkeit
Martina_Gast Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!
Es kann eine F auf ganz R^2 stetig sein, die partiell diff´bar ist, deren partielle Ableitungen nicht stetig sind, auch total diff´bar sein. Also die Stetigkeit der partiellen Ableitungen ist keine Bedingung für totale Diff´barkeit, aber die Stetigkeit der F selbst ist schon verlangt.
Kurzes Vorgehen beim Nachweisen der totalen Diff´barkeit:
F ist definiert für (x,y) ungleich (0,0) als Beispiel, da hast du einen Sonstwert auch als Bsp 0.
Es geht genau um diese Verdachtstelle (0,0).
1. Stetigkeit in der Verdachstelle prüft du, indem du zwei Folgen aussuchst (), die zu den Verdachstelle-Werten konvergieren: Z.B. und . Diese setzt man in F.
Wenn gleich dem Sonstwert ist, dann ist F auch dort stetig, wenn nicht dann ist F nicht total diff´bar.
2. Partielle Diff´barkeit in der Verdachstelle: Angenommen F ist stetig auch in der Verdachstelle. Dann nimmst du die partielle Ableitungen auf R^2 und schaust, ob diese auch stetig sind. Wenn ja, dann ist F total diff´bar.
Sind diese nicht stetig, so macht man weiter Schnittfunktionen für entsprechend x und y, dann bekommt man den gradF(Verdachstelle). Das brauchst du für die totale Diff´barkeit.
3. Totale Diff´barkeit.
Hier her sind wir gekommen mit stetiger auf ganz R^2 Funktion (auch in der Verdachstelle), partielle Ableitungen nicht stetig (für Verdachststelle brauchst du eigentlich gar nicht zu prüfen, nötig ist nur der Gradient). Dann nimmst du wieder die Folgen aus 1.
Diese sind in
ausrechnen und schauen ob es gleich 0 ist, wenn ja, dann ist F total D´bar, wenn nicht, dann ist F nicht total d´bar!
Genaue Formel für lim lautet:
Die Funktion F ist genau dann in Vektor a diff´bar, wenn gilt:

in unserem Fall
Und mit 2-mal diff´bar heißt dass die 2. partielle Ableitung existiert oder eben nicht. Dann scheitert es im punkt 2, wenn es nicht 2-mal part diff´bar ist, und fast immer in der Verdachstelle. (eigentlich immer, habe ich anders noch nie gesehen)...
Hier gilt nur die Definition:
Falls die partiellen Ableitungen k-ter Ordnung existieren, so ist F k-mal partiell diff´bar. Sind diese auch STETIG, so nennt man F k-mal stetig diff´bar.
Ich bin mir ziemlich sicher, dass ich so eine Aufgabe hatte, aber ich muss sie nachsuchen. Sobald ich es finde, dann poste ich es hier.
Hoffe, dass ich dir bisschen geholfen habe. Dieses Vorgehen funktioniert immer, das Einzige als Abweichung ist die Folgenkonvergenz, manchmal je nach Funktion, muss du konvergente Majorante dafür nehmen.
Gruß
( oh je, ist es lange Antwort geworden..)
Gastmathematiker Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Martina_Gast
1. Stetigkeit in der Verdachstelle prüft du, indem du zwei Folgen aussuchst (), die zu den Verdachstelle-Werten konvergieren: Z.B. und . Diese setzt man in F.


Lehrer Achtung, um Stetigkeit zu zeigen, darfst du nicht einfach 2 spezielle Folgen betrachten, sondern du musst das für alle Folgen zeigen, daher arbeitet man zum beweisen der Stetigkeit normalerweise besser mit .


Die Anleitung ist sonst natürlich gut um Anfängern ein Vorgehen beim untersuchen einer speziellen Funktion zu geben, das ist hier allerdings nicht das Problem. Die Funktion ist hier ja nicht vorgegeben. Wir wollen entweder zeigen, dass für jede beliebige Funktion aus 2-mal partiell diffbar einmal total diffbar folgt, oder das eine Funktion existiert, die zwar 2 mal partiell diffbar ist, aber nicht total diffbar. Der Beweis der Aussage funktioniert leider nicht über die Stetigkeit der partiellen Ableitungen, aber das heißt ja nicht, das die Aussage falsch ist, da es einen anderen Beweis geben könnte.
Martina_Gast Auf diesen Beitrag antworten »

Yes, da hast du Recht.
Nach Satz: Folge im R^m konvergiert genau dann gegen Vertor a, wenn in jeder Umgebung von Vektor a fast alle Glieder der Folge liegen. Dies wird mit epsilon-delta-Charakteristik bewiesen.
Wir hängen wieder an der Stetigkeit...
verwirrt
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube ein Gegenbeispiel zur obigen Aussage gefunden zu haben. (Vielleicht sollte es lieber noch jemand überprüfen - Edit: Fehler gefunden, die Funktion ist ja total diff'bar....)

Ich lasse es einfach mal stehen, schaden kanns nicht.



dann ist



also



Und deshalb





Weiterhin gilt für die part. Abl. nach y:



also




und deshalb auch




Damit ist f(x,y) zweimal partiell differenzierbar, ...

Wink
Gastmathematiker Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube die Funktion

ist 2 mal partiell diffbar.

Diffbar ist sie auf keinen Fall in 0, da sie dort nicht stetig ist, wie man an der Folge nachprüfen kann.

Ich hoffe ich habe mich bei der partiellen Diffbarkeit nicht verrechnet, habe allerdings jetzt keine Zeit mehr das hier aufzuschreiben. Hole das dann morgen nach.
Nerto Auf diesen Beitrag antworten »

also halt die Aussage für richtig ^^.
Also meine Beweisidee, vielleicht ist auch in der Beweißidee ein Fehler ka.^^
Wir wissen das die Funktion partielle Differenzierbar, aber nicht total.
Also gibt es mindestens eine partielle Ableitung() die an der Stelle nicht stetig ist.
So Annahme die Funktion sei an der Stelle sei partielle Differenzierbar.
Also gilt


was aber doch die Lipschitz-stetigkeit an den Punkt bedeutet, also wäre partielle Ableitung an der Stelle doch stetig.

also ist nur Idee ^^
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
... was aber doch die Lipschitz-stetigkeit an den Punkt bedeutet, ...


Wie kommst du denn darauf? verwirrt

Ahso, ich glaube jetzt versteh' ich: Es ist schon klar, dass die Funktion "in jede Richtung" stetig ist, denn sie ist ja part. diff'bar, das bedeutet jedoch noch lange nicht, dass sie auch wirklich stetig ist.

Schau dir z.B. mal das an.


@GastMathematiker: Uhh, das wird ja eklig zum ableiten...

Und: Klärt dein Beispiel dann bereits die Frage für Funktionen auf ganz R^2?
Gastmathematiker Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gonnabphd
@GastMathematiker: Uhh, das wird ja eklig zum ableiten...

Und: Klärt dein Beispiel dann bereits die Frage für Funktionen auf ganz R^2?


Die Funktion ist doch auf ganz definiert, oder was meinst du?


Ich habe aber noch eine schöner Funktion gefunden, nämlich


Diese ist unendlich oft partiell diffbar, allerdings noch nicht einmal stetig, und damit erst recht nicht total diffbar in 0. Folgen wie in meinem ersten Beispiel.


Beweis (bitte prüfen, da ich mich durchaus irgendwo vertan haben könnte)

Ist x<0 oder y<0, so ist jede partielle Ableitung 0. Für x>0 oder y>0 hat jede partielle Ableitung die Form
,
wobei p eine rationale Funktion ist. Ich behaupte nun, dass im Punkt (0,y) die partielle Ableitung einer jeden partiellen Ableitung sowohl nach x als auch nach y 0 ist. Das beweisen wir induktiv.

In y-Richtung ist die Behauptung klar. Betrachten wir nun die x-Richtung. Wir halten also y fest. Wenn man die (partielle) Ableitung (in x Richtung) stetig in (0,y) fortsetzen kann (nur in diese Richtung, also y fest), so ist die Funktion in (0,y) partiell diffbar. Knapp (und etwas unmathematisch) geht die e-Funktion für x->0 schneller gegen 0 als die rationale Funktion gegen unendlich. Damit ist der GW 0 und somit existiert die partielle Ableitung und ist 0.


Im Punkt (x,0) funktioniert es genauso, man beachte, dass
.

Damit ist die Funktion aber auch im Punkt (0,0) beliebig oft partiell diffbar mit 0 als Ableitung.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Die Funktion ist doch auf ganz definiert, oder was meinst du?


Du hast recht. Ich hatte nicht richtig gekuckt. Augenzwinkern


Die Argumentation zu deinem Gegenbeispiel erscheint mir einleuchtend. Freude

Gott

Wenn ich fragen darf: Wie bist du auf dieses Beispiel gekommen? Sieht ja nicht gerade sehr naheliegend aus... Big Laugh
Gastmathematiker Auf diesen Beitrag antworten »

@gonnabphd, hundertprozentig kann ich dir das auch nicht sagen, meine Idee war eine Funktion zu finden, die auf der Winkelhalbierenden im ersten Quadranten konstant ungleich 0 ist, dann aber auf den Koordinatenachsen gegen 0 geht. Da hab ich dann mal den Sinus benutzt. Durch ein ^2 wurde die Funktion dann auch soweit geglättet, dass die Funktion partiell diffbar wurde, allerdings noch nicht 2-mal. Das funktionierte dann aber mit ^3.

Habe dann gemerkt, dass man die Funktion n-1 mal partiell diffbar sein sollte.

Irgendwann ist mir dann die Funktion eingefallen, die so stark fällt, das diese in 0 immer die Ableitung 0 hat, also habe ich mal probiert, was pssiert, wenn man diese Funktion mit einbaut.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Freude Vielen Dank auch noch für den Gedankengang. smile


Der Threadersteller scheint sich zwar nicht mehr gross dafür zu interessieren, aber zumindest wurde mein Horizont damit wieder ein wenig erweitert. Augenzwinkern
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