echte obere nilpotente Dreiecksmatrix |
| 24.06.2010, 16:35 | Sina123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| echte obere nilpotente Dreiecksmatrix Überlegungen: Also diese echten oberen Dreiecksmatrizen sehen doch so aus: (0 1 1 1 ..... 1) (0 0 1 1...... 1) (0 0 0 1...... 1) (0 ... 0 .. 1) ( ...... ) (0 0 0 0..... 0 0 0 ) Also, d.h. die Diagonale besteht aus 0en und darunter sind auch alles 0en, nur im oberen Dreieck stehen andere Zahlen (hier mal 1en) A ist die Matrix und A^m versteh ich so, wenn ich die Matrix mit sich selbst multipliziere kommt der Nullvektor heraus. Dies geschiet doch immer schon nach A^2 oder etwa nicht? Weil Matrizenmultiplikation mal versucht allg. aufgeschrieben: a11*a11+a12*a21+a13*a31+ .... + an1*an1= 0*0+1*0*1*0+....+0*1=0 a21*a12+a22*a22+a23*a32+.... +a2n*an2= 0*1+0*0+1*0+....+1*0=0 .... .... an1*a1n+an2*a2n+ ..... + ann*ann= 0*1+0*1+....+0*0=0 da ja immer einer der Komponenten =0 ist und irgendeine Zahl *0 =0 Aber ist das so richtig, oder hab ich da einen Denkfehler? |
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| 24.06.2010, 17:08 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| RE: echte obere nilpotente Dreiecksmatrix Hallo, warum sollten da lauter 1er stehen? Wichtig ist, dass die Diagonale nur nullen enthält. Was passiert dann bei A²? Wo stehen dann lauter Nullen. Was bei A^3? Welche Eigenwerte hat so eine Matrix? Wie sieht ihr char. Polynom aus? Was besagt der Satz von Cayley Hamilton? |
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| 24.06.2010, 17:30 | Sina123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| RE: echte obere nilpotente Dreiecksmatrix Ich mein ja auch es ist egal was über der Diagonale steht, es können 1en sein können auch 2en oder sonst was sein... nur bei der Matrizenmultiplikation steht dann eh 0*irgendeine Zahl und das ist 0 Satz von Cayley H. hatten wir noch nicht und dürfen diesen daher nicht verwenden. Ist mein Ansatz denn komplett falsch? Kann ich das nicht so aufschreiben, wie ichs gemacht habe? |
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| 24.06.2010, 17:52 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| RE: echte obere nilpotente Dreiecksmatrix Manchmal mochte man schon sich schon aufregen. Du schreibst:
Das ist falsch. Darauf habe ich dich hingewiesen. Wenn es "egal" ist, was da für Zahlen oberhalb der Diagonalen stehen, dann wähle sie auch nicht konkret. 
Falsch. Da kommt die Nullmatrix raus.
Nein, deswegen habe ich dir aufgetragen nach zurechnen und zu sehen, was in so einem Schritt wirklich passiert. Ich empfehle ein klein dimensioniertes Beispiel
Ich kann ja nicht wissen, was ihr schon habt. Mit dem Satz ist das eben ein Einzeiler. So musst du wohl nachrechnen, am besten mit Induktion. Zu deinem Beweisstil. "..." ist da nicht sehr ratsam. Übe Summen mit dem Summenzeichen aufzuschreiben. Es gibt viele Nullen und es fällt viel weg ja. Von interesse ist bei A² vorallem die erste obere Nebendiagonale und die darunter. Das hast du nach dem Beispiel bestimmt auch schon heraus gefunden. 
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| 24.06.2010, 18:27 | Sina123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| RE: echte obere nilpotente Dreiecksmatrix Also ich hab das jetz für mich noch einmal verdeutlicht mit einer 2x2, 3x3 und 4x4 Matrix bei der 2x2 Matrix muss man A^2 nehmen damit die Nullmatrix heraus kommt bei der 3x3 Matrix -"- A^3 bei 4x4 A^4 also müsste bei nxn A^n=0 ergeben Wenn ich mir die aufgeschriebene Multiplikation ansehe so "rutscht" nach jeder Mutliplikation das Dreieck mit den Zahlen ein Stück mehr nach oben rechts bzw. verschwindet dann vollkommen. Und wie kann ich das sauber aufschreiben? |
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| 24.06.2010, 18:34 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| RE: echte obere nilpotente Dreiecksmatrix Lob!
Wir wissen nicht, was im ersten kleinen Dreieck oberhalb der Diagonale steht. Im Zweifelsfall aber nicht nur Nullen. Nun scheibst du die Matrix Allgemein hin (latex!) . Nun schaust du dir die Elemente von A² einzeln an. Dabei benutzt du (Boardsuche!) wie die Produkte von Dreiecksmatrizen aussehen. Dann musst du nur die Diagonale und die erste Nebendiagonale betrachten. Als Gegenbeipsiel, dass i.A. mehr annuliert wird, nimmst du deine konkreten Beispiele. Wichtig ist ja am Ende auch nur, dass wir ein m finden, so dass A^m=0 ist. m muss ja nicht 2 sein.
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| 24.06.2010, 18:54 | Sina123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| RE: echte obere nilpotente Dreiecksmatrix ist doch bei nxn Matrix dann A^n=0 da ja pro Multiplikation immer in der ersten Zeile der Matrix eine 0 mehr steht und bis das Zahlendreieck komplett verschwunden ist, müssen n 0en in der ersten Zeile stehen bei A^1 einer nxn Matrix haben wir in der 1. Zeile 0 a12 usw. bei A^2 haben wir dann 0 0 a13 usw bei A^3 0 0 0 a14 und bei A^n dann n 0en |
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| 24.06.2010, 18:57 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| RE: echte obere nilpotente Dreiecksmatrix Jo. Nur wie schreibt man das auf? Wir können ja nicht n-mal nachrechnen. Daher mache eine z.B. Induktion |
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