Gebietsintegral (Integralsgrenzen nach Koord.transformation)

25.06.2010, 12:42	Gemaro	Auf diesen Beitrag antworten »
Gebietsintegral (Integralsgrenzen nach Koord.transformation) Die Aufgabe lautet: $\begin{eqnarray} \int_G \! xy \, d(x,y) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} G = \left\{ (x,y) / a^{2}\leq cx^{2} + dy^{2} \leq b^{2} \right\} \end{eqnarray}$ Als erstes habe ich in Polarkoordinaten transformiert: x= cr cos (phi) und y= drsin (phi) $\begin{eqnarray} \int \! \int\! cdr^{2} \cos(\phi) \sin(\phi) cdr\, dr \,d\phi \end{eqnarray*}$ (selbst da bin ich mir nicht sicher ob das richtig ist) Meine Vorschläge für die Integralsgrenzen sind jetzt einfach: phi von null bis 2pi und r von a bis b
25.06.2010, 13:16	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn c, d positiv sind, ist das Gebiet eine "Ellipsen-Ring", also eine Ellipse, aus der innen eine kleinere Ellipse rausgeschnitten wurde. Führe neue Koordinaten X,Y derart ein, dass aus dem Ellipsen-Ring ein Kreis-Ring wird. $\begin{eqnarray} x=\frac{X}{\sqrt{c}} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y=\frac{Y}{\sqrt{d}} \end{eqnarray}$ Nun ist das Gebiet folgender Kreis-Ring mit dem Innenradius a und dem Außenradius b (wenn c,d>0): $\begin{eqnarray} a^2<X^2+Y^2<b^2 \end{eqnarray}$ Nun ist noch das Integral zu transformieren. Die Funktionaldeterminante lautet $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial X} & \frac{\partial y}{\partial X} \\ \frac{\partial x}{\partial Y} & \frac{\partial y}{\partial Y} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{1}{\sqrt{C}} & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{D}} \end{vmatrix}=\frac{1}{\sqrt{cd}} \end{eqnarray}$ Damit vereinfacht sich das Integral zu $\begin{eqnarray} \int \! \frac{XY}{\sqrt{cd}} \cdot \frac{1}{\sqrt{cd}} \, dXdY=\frac{1}{cd}\cdot \int \! XY \, dXdY \end{eqnarray}$ Eventuell kann man jetzt die üblichen Polarkoordinateneinführen, also $\begin{eqnarray} X=R\cdot \cos(\phi) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Y=R\cdot \sin(\phi) \end{eqnarray}$ Dann ist bezüglich $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ im Intervall [0,360°] zu integrieren. Bezüglich R integriert man natürlich nur im Intevall [a,b], also vom Innenradius zum Außenradius. usw.

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