Isomorphismus zwischen Gruppen

25.06.2010, 16:04

KnightRaider

Isomorphismus zwischen Gruppen

Hallo liebe Leute,

ich muss nachweisen, dass

$\begin{eqnarray*} \mathbb Z / \mathbb Z6 \end{eqnarray*}$ isomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Z /\mathbb Z2 \times \mathbb Z /\mathbb Z3 \end{eqnarray*}$ ist.

Die Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z /\mathbb Z6 \end{eqnarray*}$ sind ja genau die Elemente der Äquivalenzklassen bei Division durch 6, also $\begin{eqnarray*} \{[0], [1], ... , [5]\} \end{eqnarray*}$ und bei $\begin{eqnarray*} \mathbb Z /\mathbb Z2 \times \mathbb Z /\mathbb Z3 \end{eqnarray*}$ habe ich einfach die Verknüpfung der Menge der Restklassen von 2 und 3.

Laut Vorlesung sind zwei Gruppen G und H genau dann isomorph, wenn es einen bijektiven Gruppenhomomorphismus $\begin{eqnarray*} \varphi: G -> H \end{eqnarray*}$ gibt.

Muss ich für die Aufgabe eine konkrete Abbildungsvorschrift angeben oder genügt es zu zeigen, dass es ein solches $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ überhaupt gibt?

Wie kann ich mir eine Abbildung von $\begin{eqnarray*} \{[0], [1], ... , [5]\} \to \{[0],[1]\} \times \{[0],[1],[2]\} \end{eqnarray*}$ überhaupt vorstellen, geschweige denn finden?

In der Menge von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z /\mathbb Z2 \times \mathbb Z /\mathbb Z3 \end{eqnarray*}$ tauchen natürlich Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / \mathbb Z6 \end{eqnarray*}$ auf, aber wie man da abbilden kann, ist mir nicht klar.

Im Zuge meiner Recherchen habe ich auch schon etwas von Verknüpfungstafeln gelesen, die aufgestellt werden sollen. Doch welche Verknüpfung wende ich denn zwischen den einzelnen Elementen aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / \mathbb Z6 \end{eqnarray*}$ an?

Es wäre sehr nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Vielen Dank und ein schönes Wochenende!
Freude

Lg,

Christoph

25.06.2010, 16:15

system-agent

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Kennst du den chinesischen Restsatz?

25.06.2010, 16:30

KnightRaider

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Nein, kennen tu ich ihn leider nicht, aber hab in einem Buch schon mal was davon gelesen.
Wie kann mich der hier weiterbringen?

25.06.2010, 16:40

system-agent

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OK, dann definiere eine Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi: \mathbb Z/6\mathbb Z\to\mathbb Z/2\mathbb Z\times\mathbb Z/3\mathbb Z \end{eqnarray*}$ durch
$\begin{eqnarray*} \varphi([n]_6):=([n]_2,[n]_3) \end{eqnarray*}$
wobei hier $\begin{eqnarray*} [x]_k \end{eqnarray*}$ für die Klasse von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ Modulo $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ steht.

25.06.2010, 17:10

KnightRaider

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Okay, sei also das n aus deiner Abbildung mal einfach die 0.

Dann ist ja $\begin{eqnarray*} [0]_6 = \{... , -12, -6, 0, 6, 12, 18, ... \} \end{eqnarray*}$ , also alle Vielfachen von 6 und $\begin{eqnarray*} [0]_2 \times [0]_3 = \{ ..., -2, 0, 2, 4, ... \} \times \{..., -3, 0, 3, 6, ... \}-. \end{eqnarray*}$

Theoretisch kann ich mir ja aus $\begin{eqnarray*} [0]_2 \end{eqnarray*}$ einfach das Element 2 rausnehmen und jedes Element von $\begin{eqnarray*} [0]_3 \end{eqnarray*}$ damit multiplizieren, dann erhalte ich genau die Elemente von $\begin{eqnarray*} [0]_6. \end{eqnarray*}$
Das wäre aber die Abbildung in die andere Richtung, ich will aber doch eine von $\begin{eqnarray*} [0]_6 \to [0]_2 \times [0]_3. \end{eqnarray*}$
Wie stelle ich das bloß an? Leider haben wir auch in der Vorlesung kein brauchbares Beispiel gemacht :-/.

25.06.2010, 17:54

system-agent

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Zitat:

Original von KnightRaider
ich will aber doch eine von $\begin{eqnarray*} [0]_6 \to [0]_2 \times [0]_3. \end{eqnarray*}$

Die von mir vorgeschlagene Abbildung geht doch genau in diese Richtung.

25.06.2010, 18:08

KnightRaider

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Klar, aber die, die ich mir überlegt habe, würde in die andere Richtung gehen :-/.
Irgendwie will nicht in meinen Kopf rein, dass ich von einem Element aus der Menge der Restklassen $\begin{eqnarray*} mod 6 \end{eqnarray*}$ auf ein Tupel abbilden kann. Von einem Tupel $\begin{eqnarray*} [x]_2 \times [x]_3 \to [x]_6 \end{eqnarray*}$ , das wäre ja noch okay, aber die "Rückrichtung" ist mir nicht ganz klar.

Kannst du vielleicht ein konkretes Beispiel nennen? Danke :-)

25.06.2010, 18:41

system-agent

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Die Abbildung geht in Worten für eine Restklasse $\begin{eqnarray*} [n]_6 \end{eqnarray*}$ so:
Nehme einen beliebigen Vertrer aus dieser Restklasse, zb. $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ selbst [das ist dann einfach eine ganze Zahl] und schicke diese Zahl einmal auf ihre Restklasse Modulo 2 und einmal auf ihre Restklasse Modulo 3.

Zb. $\begin{eqnarray*} [4]_6 \end{eqnarray*}$ .
Nehmen wir also $\begin{eqnarray*} n=4\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ und das Bild von $\begin{eqnarray*} [4]_6 \end{eqnarray*}$ ist demnach
$\begin{eqnarray*} ([4]_2,[4]_3)=([0]_2,[1]_3) \end{eqnarray*}$ .

Es kann gut sein dass das ein bischen willkürlich wirkt, aber es ist OK, denn es funktioniert Augenzwinkern

.

Nun noch was du nachweisen musst:
(i) $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ist wohldefiniert [wenn das nicht schon klar für dich ist]
(ii) $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ist ein Gruppenhomomorphismus
(iii) $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ist surjektiv.

Daraus folgt dass es ein Isomorphismus ist.

Edit:
Vielleicht ist es auch einfacher die Injektivität zu zeigen...Suchs dir aus Augenzwinkern

26.06.2010, 08:46

KnightRaider

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Huhu!

Okay, gut, das ist verständlich!
:-)
Soll ich dann für jeden Vetreter explizit die Abbildung angeben oder kann ich das auch als "Funktion" schreibe, also:

$\begin{eqnarray*} \varphi ([x]_6) = ( [x]_2, [x]_3 ) \end{eqnarray*}$

Okay, den Gruppenhomomorphismus müsste ich hinbekommen ... und die Injektivität vielleicht auch ;-). Ich melde mich dann, wenn was nicht klappt.

Achja: was ist denn genau mit "wohldefiniert" gemeint? Das verwenden wir auch dauernd aber was es so richtig bedeutet, ist mir noch nicht klar!

Vielen Dank für deine Hife Freude

26.06.2010, 13:56

system-agent

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Du arbeitest hier mit Äquivalenzklassen, also eigentlich speziellen (Teil-)Mengen.

Nun habe ich oben das Beispiel mit $\begin{eqnarray*} [4]_6 \end{eqnarray*}$ gemacht und dir gesagt nehme einen Vertreter aus der Klasse $\begin{eqnarray*} [4]_6 \end{eqnarray*}$ und tue dies und jenes.
Dann kommt aber immer die Frage:
Angenommen ich hätte einen anderen Vertreter genommen, kriege ich dann immernoch das gleiche Resultat $\begin{eqnarray*} ([0]_2,[1]_3) \end{eqnarray*}$ ?
Falls das immer so ist, dann ist die Abbildung wohldefiniert.

Also anders gesagt:
Sei $\begin{eqnarray*} x'\in[x]_6 \end{eqnarray*}$ , dh $\begin{eqnarray*} x'=x+k\cdot6 \end{eqnarray*}$ für ein gewisses $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Du musst dann überprüfen, dass
$\begin{eqnarray*} \varphi([x]_6)=\varphi([x']_6) \end{eqnarray*}$ .

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