Anfang Gruppentheorie (Homomorphismus) |
| 02.11.2006, 21:40 | pii112 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Anfang Gruppentheorie (Homomorphismus) ich habe da eine Aufgabe bei der ich noch nicht so richtig weiter komme, vielleicht kann mir ja jemand helfen. Also: Es gibt vier 1-dim. Unterraeume in $F_3^2$. Durch die Multiplikationswirkung einer Matrix $A \in G := GL_2(F_3)$ werden diese Unterraeume permutiert. a) Man zeige: Diese Operation induziert einen Gruppenhomomorphismus $\varphi: G \to S_4$. b) Man betsimme $ker(\varphi), im(\varphi) und die Ordnung von G$. c) Die Untergruppen H,N von G seien wie folgt vorgegeben: $N = {A \in G | det(A) = 1, A^2 = + - E_2}$ mit E_2 der Eingeitsmatrix. und $H = {\matrix{1 a \br 0 b} | a,b \in F_3, b ungleich 0}$ Man zeige G = HN (HINWEIS: Benutzen Sie den 1. Isomorphiesatz) So zur Loesung: a) i) Die 4 Unterraeume sind $<\matrix{1 \br 0}>$, $<\matrix{0 \br 1}>$, $<\matrix{1 \br 1}>$ und $<\matrix{1 \br 2}>$. Hier verstehe ich eigentlich alle, aber verstehe nicht warum $<\matrix{2 \br 1}>$ kein Unterraum sein soll. ii) Nun moechte ich zeigen, dass $\varphi: G \to S_4$ wirklich nach S_4 abbildet. Und dazu muss ich ja zeigen, dass die $A \in G$ multipliziert mit den Unterraeumen Permutationen aus S_4 sind. A ist regulaer, also eine inverse Matrix besitzt. Multipliziert mit einem Unterraum erhalte ich wieder einen "Vektor" der Form $<\matrix{a \br b}>$ mit $a,b \in F_3$ also nur mit Eintraegen 0,1,2. Und wenn ich diesen Vektor als Transposition auffasse, lande ich doch in S_4, oder? iii) Dann muss ich noch zeigen, dass $\varphi$ mit der Verknuepfung homomorph ist, dass sollte ich schaffen, wenn ich weiss wie $\varphi$ nun genau aussieht. b) Ordnung von G: |G| = 48, da $|GL_2(F_3)| = |geordnete Basen von F_3^2| = (3^2 - 1)(3^2 - 3) = 48$. Kern von $\varphi$: $ker(\varphi) ={A \in GL_2(F_3) | \varhi(A) = E_2}$ und das soll ${kern von GL_2 \to P(GL_1)}$ sein und das ist gleich k^x E_2 = + - E_2 sein. Das kann ich nicht nachvollziehen. Hilfe bitte =). $im(\varphi)$: es gibt 48 Elemente in G und 24 in G. Muss ich nun schauen, auch welche Elemente die 48 aus G abgebildet werden oder sind die 24 aus $S_4$ schon das Bild? c) habe ich noch keine Idee. Zusatz: 1.Isomorphiesatz: Falls H,K Untergruppen von G und H im Normalisator von K in G enthalten ist ($N_G(K)$), dann folgt: H geschnitten mit K ist Normalteiler von H und K ist Normateiler von H K und die K Linksnebenklassen von HK sind isomorph zu der H geschnitten K LNK von H. Schon mal vielen Dank fuer eure Hilfe!! Gruesse |
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| 03.11.2006, 01:22 | Shurakai | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo! Wäre super wenn du die Latex-Tags noch nachträgst 
Weil so kann man leider keine Latex-Grafiken sehen und es ist kaum lesbar..
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| 03.11.2006, 02:03 | Trodel69 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ob das lesbar ist oder nicht oder ein Stuhl umfällt, DU hättest ihm sowieso keine Antwort geben können... (Herr Lehrer, im Keller iss Licht, aba ich hab schon ausgemacht...) |
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| 03.11.2006, 06:29 | PK | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Trodel: Wie kommst du auf so einen unsinn? Wenn er helfen kann, dann kanner halt, dein Beitrag hat noch weniger geholfen... |
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| 04.11.2006, 00:20 | Trodel69 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
PK: Ne kanner nicht, sonst hätta getan. Gibt Typen, die nöhlen am Outfit und anschliessend iss nur Heissluft. Wie gesehen, also kein Unsinn. Und ob ich helfen kann oder will, überlässt du mir. Geh einfach von aus, ich will nicht... |
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| 04.11.2006, 01:37 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vielleicht bist Du hier auch einfach als Doppelagent tätig. Unregistriert ist viel möglich. |
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| 04.11.2006, 10:52 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Trodel69 ist nicht identisch mit pii112, die IP verrät es. Also einfach solche Einwürfe ignorieren. 
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| 04.11.2006, 14:08 | Shurakai | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
$N = {A \in G | det(A) = 1, A^2 = + - E_2}$ mit E_2 der Eingeitsmatrix. eigentlich sein soll, dann bitte ich freundlich (!) darum, das doch bitte mit den [ latex ] tags zu versehen, damit da der Eingeitsmatrix. steht. Ist das zuviel verlangt? Nein. Ich bin jedenfalls ehrlich gesagt zu bequem um zu helfen, wenn ich vorher darüber nachdenken muss, was da überhaupt steht. Aber ich denke, du könntest ruhig mal helfen, wenn du deine Klappe schon soweit aufreißt.
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| 05.11.2006, 12:02 | Abenteuerland | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nett wäre vielleicht noch gewesen einen Link zu geben wo man nachsehen kann wie man soetwas in latex umformatiert oder besser gesagt wie ein latex befehl aussieht.
Das weiß nähmlich auch nicht jeder! Aber generell wäre es schon schön nicht erst eraten zu müssen worum es geht. 
Unter http://www.uni-giessen.de/hrz/tex/cookbook/cookbook.html oder http://www.matheboard.de/formeleditor.phpfinden sich so ziemlich alles was man braucht um hier gescheute Einträge mit latex zu machen. |
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