Teilverhältnisse Parallelogramm

28.06.2010, 13:58

mrburns

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Teilverhältnisse Parallelogramm

Hallo,
ich habe eine Aufgabe bearbeitet die lautet folgendermaßen:
Im Parallelogramm ABCD teilt der Punkt E die Seite CD im Verhältnis 1:2 und der Punkt F die Seite BC im Verhältnis 1:3. Wie teilt der Schnittpunkt S die Transversalen AC und EF?

Ich habe folgendes gerechnet.
1. Vektorzug aufstellen: $\begin{eqnarray*} a+\frac{1}{4}b+\alpha\left(\frac{3}{4}b-\frac{1}{3}a\right)-\beta\left(b+a\right)=0 \end{eqnarray*}$
2. AUsklammer und Sortieren nach a und b:
$\begin{eqnarray*} a\left(1-\frac{1}{3}\alpha-\beta\right)+b\left(\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\alpha-\beta\right)=0 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt ein LGS:
I: $\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{3}\alpha-\beta=0 \end{eqnarray*}$
II: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}+\frac{3}{4}\alpha-\beta=0 ~\Rightarrow~\beta=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\alpha \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ -> I ergibt dass $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4}-\frac{13}{12}\alpha=0 und \alpha=\frac{9}{13} \end{eqnarray*}$

alpha in II ergibt: $\begin{eqnarray*} \beta=\frac{10}{13} \end{eqnarray*}$
Dies entspreche einem Verhöltniss von 10:9.

ABER ist das egebnis überhaaupt richtig. ich kenne Verhältnisse wie zb 2/7 : 5/7 = 2:5.
Bei der Aufgabe habe ich gerechnet. 10/13 : 9/13.

28.06.2010, 14:14

mrburns

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Nicht zu vergessen dass $\begin{eqnarray*} \vec{AB}=\vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{BC}=\vec{b} \end{eqnarray*}$

28.06.2010, 14:25

riwe

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RE: Teilverhältnisse Parallelogramm
Freude

Freude

damit meine ich 10:13 teilt S die strecke AC smile

smile

28.06.2010, 14:43

mrburns

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Also stimmt meine Rechnung. Die eigendliche frage von mir ist jedoch ob sowas überhaupt rauskommen darf. Zu 10/13 passt 3/13 aber nicht 9/13

Nach dem man alpha und beta ermittelt hat, so bestimmt man das Verhältnis untereinander oder nicht? Wie zB wenn alpha= 2/7 und beta 5/7, so ist das Verhältnis untereinander 2:5.

Oder muss ich es so sehen: AC wird vom S geschnitten im Verhältniss 10:3 und EF wird geschnitten im Verh. 9:4

28.06.2010, 15:32

riwe

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Zitat:

Original von mrburns
Also stimmt meine Rechnung. Die eigendliche frage von mir ist jedoch ob sowas überhaupt rauskommen darf. Zu 10/13 passt 3/13 aber nicht 9/13

Nach dem man alpha und beta ermittelt hat, so bestimmt man das Verhältnis untereinander oder nicht? Wie zB wenn alpha= 2/7 und beta 5/7, so ist das Verhältnis untereinander 2:5.

Oder muss ich es so sehen: AC wird vom S geschnitten im Verhältniss 10:3 und EF wird geschnitten im Verh. 9:4

verwirrt

wieso soll das nicht rauskommen

AS : AC = 10 : 13 würde ich als AS : SC = 10 : 3 interpretieren

28.06.2010, 23:58

mrburns

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Ja ich hab das jetzt verstanden, doch jetzt steh ich vor einem weiterem problem.
Diesmal geht es um ein Dreieck.

Aufgabe: im Dreieck ABC teilt D die Seite BC im Verhältnis 3:1. E sei der Mittelpunkt der Seite AC. In welchem Verhältnis teilt der Schnittpunkt S die Transversalen AD u. BE?

Bei mir ist $\begin{eqnarray*} AB=\vec{a},~BC=\vec{b},~AC=\vec{c} \end{eqnarray*}$
Nun habe ich wie gewohnt den Vektorzug aufgetstellt und komme zu einem LGS mit 3 Gleichungen.

I $\begin{eqnarray*} \alpha-1+ß=0 \end{eqnarray*}$
II $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4}\alpha=0 \end{eqnarray*}$
III $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}\beta=0 \end{eqnarray*}$

Ich kann es jedoch nicht auflösen.

Habe zwar I u. II gleichgesetzt, doch es kommen negative Werte und Werte die größer 1 sind.

Wie soll man hier vorgehen.

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29.06.2010, 09:04

riwe

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was hast du denn da gerechnet verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \lambda\overrightarrow{AD}+\mu\overrightarrow{EB}-\vec{a}=\vec{o}\quad{ }\wedge\quad{ }\vec{a}+\vec{b}=\vec{c} \end{eqnarray*}$

negative werte - d.h. der vektor zeigt in die gegenrichtung - sind schon erlaubt, aber keine > 1 Augenzwinkern

Augenzwinkern

edit: siehe unten Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.06.2010, 12:42

Gualtiero

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@riwe, Du meinst sicher das, oder?

$\begin{eqnarray*} \lambda\overrightarrow{AD}+\mu\overrightarrow{EB}-\vec{a}=\vec{o}\quad.\,.\,.\, . \end{eqnarray*}$

Damit habe ich jedenfalls gerechnet und komme auf richtige Lösungen (graphisch überprüft).

29.06.2010, 12:48

riwe

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Zitat:

Original von Gualtiero
@riwe, Du meinst sicher das, oder?

$\begin{eqnarray*} \lambda\overrightarrow{AD}+\mu\overrightarrow{EB}-\vec{a}=\vec{o}\quad.\,.\,.\, . \end{eqnarray*}$

Damit habe ich jedenfalls gerechnet und komme auf richtige Lösungen (graphisch überprüft).

ja sicher, das ist ein tippfehler (schnittpunkt EB und AD)
ich korrigiere es oben, danke schön

29.06.2010, 13:49

mrburns

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$\begin{eqnarray*} \alpha \left(a+\frac{3}{4}b\right)-\beta\left(\frac{1}{2}c-a\right)-a=0 \end{eqnarray*}$

Ich habe diesmal drei Vektoren, weil ich nicht davon ausgehen kann, dass AC=BC bzw $\begin{eqnarray*} \vec{c}=\vec{b} \end{eqnarray*}$

bzw:
$\begin{eqnarray*} (AS=\alpha AD)+(SB=\beta EB)+BA=0 \end{eqnarray*}$

29.06.2010, 13:57

riwe

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Zitat:

Original von mrburns
$\begin{eqnarray*} \alpha \left(a+\frac{3}{4}b\right)-\beta\left(\frac{1}{2}c-a\right)-a=0 \end{eqnarray*}$

Ich habe diesmal drei Vektoren, weil ich nicht davon ausgehen kann, dass AC=BC bzw $\begin{eqnarray*} \vec{c}=\vec{b} \end{eqnarray*}$

bzw:
$\begin{eqnarray*} (AS=\alpha AD)+(SB=\beta EB)+BA=0 \end{eqnarray*}$

siehe meinen beitrag oben unglücklich

unglücklich

in R2 sind 3 vektoren sicher Augenzwinkern

Augenzwinkern

l.a. und der zusammenhang steht oben unglücklich

unglücklich

29.06.2010, 14:07

mrburns

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$\begin{eqnarray*} \mu EB \end{eqnarray*}$ habe ich aber nicht genommen, denn es ist ja ES und ich will SB.

29.06.2010, 14:27

mrburns

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LOL Hammer

Ein saugeiler Trick, das mit dem c=a+b. Habe nun gerechnet und für beta=6/7 und alpha= 4/7 erhalten.
Demnach teil S AS:SD -> 4:3 und ES:SB=1:6
Hast du das auch so?

29.06.2010, 14:31

riwe

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Freude

31.10.2016, 20:04

confused_99

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Hi, wie kommst du von 9/13 und 10/13 auf 9/4 und 10/3??

31.10.2016, 20:20

mYthos

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Wenn die kleinere Strecke 9/13 der ganzen Strecke (13/13) ist, dann lauten die beiden Teilstrecken 9/13 und 4/13, diese verhalten sich demnach wie 9 : 4
Analog ist das bei 10/13, die andere Teilstrecke ist 3/13, damit ist das Teilverhältnis 10 : 3

mY+

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