Wie funktioniert ein solches Integral?

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28.06.2010, 17:04	bandchef	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie funktioniert ein solches Integral? Hi Leute! Ich hab folgende e-Fkt. zu integrieren. $\begin{eqnarray} \int_0^1 \! e^{xy} \, dx \end{eqnarray}$ Ich hab schon partielle Integration probiert aber, dann bleib ich da stecken: $\begin{eqnarray} \int_0^1 \! e^{xy}1 \, dx=e^{xy}x-\int_0^1 \! ye^{xy}x \, dx \end{eqnarray}$ ab hier weiß ich nicht mehr weiter...
28.06.2010, 17:04	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie funktioniert ein solches Integral? Wenn du es nicht siehst, substituier den kompletten Exponenten, auch wenn das etwas "Overkill" wäre. Also komplett ohne Substitution.
28.06.2010, 17:08	bandchef	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry :-), aber ich verstehe deine Antwort grammatikalisch nicht so ganz...
28.06.2010, 17:09	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
*Komplett ohne Partielle Integration müsste es natürlich heißen.
28.06.2010, 17:12	bandchef	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, was müsste ich denn sehen, wenn ich es mit part. Integration machen würde?
28.06.2010, 17:14	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit partieller offensichtlich Chaos. Falls du Substitution meinst, geb ich die Frage direkt an dich weiter: Was siehst du dann?
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28.06.2010, 17:17	bandchef	Auf diesen Beitrag antworten »
Stop. Ich glaube wir reden aneinander vorbei. Ist diese Integration nun mit part. Integration oder Integration durch Substitution zu lösen? Part. Integration führt mich (zumindestens weiß ICH nicht weiter) nicht weiter. D.h. ich soll durch Substitution integrieren?
28.06.2010, 17:18	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig, zugegeben hab ich mich beim ersten etwas verschrieben. Also Substitution = Gut, Partielle Integration = Auch gut, aber nicht hier.
28.06.2010, 17:30	bandchef	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich nun eine Subst. durchführe sieht das jetzt so aus: $\begin{eqnarray} \int_0^1 \! e^{xy} \, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Subs.: }xy=u \Rightarrow \frac{du}{dx}=y \Rightarrow dx=\frac{du}{y} \end{eqnarray}$ Und jetzt weiß ich nicht mehr weiter...
28.06.2010, 17:33	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Setz es doch ein und denk dran, dass du Konstanten vors Integral ziehen darfst.
28.06.2010, 17:34	bandchef	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich jetzt meine Substitution einsetze, dann sieht das jetzt so aus: $\begin{eqnarray} \int_0^1 \! e^{u} \, \frac{du}{y} \end{eqnarray}$ Was mich aber jetzt auch wieder rätseln lässt...
28.06.2010, 17:35	bandchef	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist dann quasi $\begin{eqnarray} \frac{1}{y} \end{eqnarray}$ eine Konstante?
28.06.2010, 17:36	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil du jetzt nach u (und vorher nach x) integrierst ja.
28.06.2010, 17:39	bandchef	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann sieht das ganze jetzt so aus: $\begin{eqnarray} \frac{1}{y}\int_0^1 \! e^{u} \, du \end{eqnarray}$ eine e-Fkt. integriert ergibt ja wieder die e-Fkt. Wäre es vielleicht besser gewesen wenn ich erst das unbestimmte Integral berechnet hätte und dann in die integrierte Fkt. meine Grenzen eingesetzt hätte?
28.06.2010, 17:41	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Aaah, die Grenzen hab ich ja komplett übersehen sry. Und ich finde es immer besser erst die Stammfunktion zu bestimmen, soweit es möglich ist und dann die Grenzen einzusetzen.
28.06.2010, 17:43	bandchef	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut. Meine integrierte Fkt. lautet: $\begin{eqnarray} \frac{1}{y}e^{xy} \end{eqnarray*}$ Wie schreibe ich das jetzt Formal mit den Grenzen? Ich kenne bisher nur die Integration mit einer Variable. Da kann man ja quasi die Werte nur für x einsetzen, wie schreibe ich es aber wenn zwei Variablen vorhanden sind?
28.06.2010, 17:46	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Es sind ja keine 2 Variablen vorhanden (falls du mir nicht verheimlichst, dass y von x abhängt) und y ist hier eine Konstante, nicht viel mehr als eine Zahl. Falls nicht y ungleich 0 gegeben ist, wirst du den Fall einzeln betrachten müssen, aber ansonsten setz für x die Grenzen ein: $\begin{eqnarray} \left[\frac{1}{y}e^{xy}\right]_0^1 = ... \end{eqnarray}$
28.06.2010, 17:48	bandchef	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich nun meine Grenzen einsetze sieht's so aus: $\begin{eqnarray} \frac{e^y}{y}-\frac{e^0}{y} \end{eqnarray}$ Laut meinem Taschenrechner sollte aber $\begin{eqnarray} \frac{e^y-1}{y^2} \end{eqnarray}$ rauskommen...
28.06.2010, 17:50	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
http://www.wolframalpha.com/input/?i=int...+to+1+(e^xy)+dx Ich halte Wolfram und deine Lösung dagegen
28.06.2010, 17:52	bandchef	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, ok. In der Schule hat aber der Prof. für die Integration der genau gleichen Aufgabe $\begin{eqnarray} e^y-1 \end{eqnarray}$ rasugebracht. Also ich muss schon sagen, alles höchst verwirrend... :-)
28.06.2010, 17:55	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann solltest dir dringend deine Aufgabe, das was du in deinen Taschenrechner eingegeben hast und die der Prof ausgerechnet hat genau ansehen. Es scheint eine große Diskrepanz zu geben, was das y im Nenner angeht. Schwer nachzuvollziehen alles, aber soweit es hier steht ist deine Lösung die richtige. Die Stammfunktion kannst du ja durch ableiten leicht überprüfen.
28.06.2010, 18:00	bandchef	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, die eigentlich Aufgabe war folgende: Man sollte das zweifach Integral berechnen: $\begin{eqnarray} \int_0^1 \! (\int_0^1 \! ye^{xy} \, dx) \, dy \end{eqnarray*}$ Wobei mir auch klar wird, warum beim Prof. das y im Nenner fehlt. Diese y kürzt sich mit der inneren integrierten Fkt. da dieses zusätzliche y eine Konstante darstellt (weil ja im inneren nach x integriert wird...) welche vors innere Integral gezogen werden darf!
28.06.2010, 18:09	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig, wobei das zweite Integral leider sehr unhübsch wird, da nicht elementar darstellbar. Deswegen frag ich mal, ob ihr nicht sowas wie den Satz von Fubini in der Vorlesung besprochen habt. Edit: Habs mir nochmal durch den Kopf gehen lassen, würde dadurch wohl nichts gewinnen.
28.06.2010, 18:13	bandchef	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, um genau diesen Satz ging es... Ich hab jetzt mal weiter gerechnet bis zur Integration des äußeren Integrals das jetzt wie folgt bei mir auf dem Papier steht: $\begin{eqnarray} \int_0^1 \! e^y-1 \, dy \end{eqnarray}$ Was meinst du mit "dieses Integral wird dann sehr unhübsch, da nicht elementar darstellbar"?
28.06.2010, 18:14	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt bin ich von der Version ausgegangen wo noch das y im Nenner war, vergiss einfach alles was ich gesagt hab.
28.06.2010, 18:19	bandchef	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich wollte schon nochmal genauer nachfragen... :-) Gut. Wie integriere ich nun dieses, vorerst unbestimmte Integral: $\begin{eqnarray} \int \! e^y-1 \, dy \end{eqnarray}$ Part. Integration?
28.06.2010, 18:19	bandchef	Auf diesen Beitrag antworten »
Stop! Ganz einfach: $\begin{eqnarray} \int \! e^y \, dy+\int \! -1 \, dy \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \int \! e^y \, dy-\int \! 1 \, dy=e^y - y \end{eqnarray}$
28.06.2010, 18:24	bandchef	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke, die Aufgabe hab ich zu einem glücklichen Ende gebracht. :-)
28.06.2010, 18:42	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du jetzt noch die Grenzen einsetzt, dann ja.
28.06.2010, 20:54	bandchef	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab ich und komme wunderbar auf die von der Lösung vorgegebenen werte

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