Lösung Ungleichung (Dreieck, Abstände, Radius)

28.06.2010, 21:38

Auraya

Lösung Ungleichung (Dreieck, Abstände, Radius)

Die Aufgabe

Sei P ein beliebiger Punkt im Inneren des Dreiecks ABC; $\begin{eqnarray*} d_1 \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} d_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d_3 \end{eqnarray*}$ bezeichnen die Abstände dieses Punktes
von den Dreiecksseiten. Falls R der Radius des Umkreises ist, zeigen Sie:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{d_1}+\sqrt{d_2}+\sqrt{d_3}\leq\frac{1}{\sqrt{2R}}(a^2+b^2+c^2)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Wann gilt die Gleichheit?

Zur Gleichheit:

Annahme: Gleichseitiges Dreieck a=b=c (im folgenden a) und P liegt im
Schnittpunkt der Mittelsenkrechten bzw. im Mittelpunkt des Umkreises und damit
auch im Mittelpunkt des Innenkreises.

Daraus folgt, dass die Abstände des Punktes von den Dreiecksseiten ebenfalls gleich
sind (d). d ist der Innenkreisradius mit $\begin{eqnarray*} d=\frac{a}{6}\cdot \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ .

Im gleichseitigen Dreieck gilt für den Umkreisradius $\begin{eqnarray*} R=\frac{a}{3}\cdot \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ .

(Zum Innenkreisradius und Umkreisradius muss ich dann noch Beweise führen und dies ziegen, da es sich um eine Aufgabe für Heuristik handelt, wo wir echt alles zeigen müssen, was verwendet wird. Dies sollte jedoch kein Problem sein.)

Daraus folgt nun:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{d_1} + \sqrt{d_2} + \sqrt{d_3} \leq \frac{1}{\sqrt{2R}}(a^2+b^2+c^2)^{\frac{1}{2}} \Rightarrow 3\sqrt{d}\leq \sqrt{\frac{3a^2}{2R}} \Rightarrow 3\sqrt{d}\leq \sqrt{\frac{3a^2}{\frac{2a\sqrt{3}}{3}}}<br /> \Rightarrow 3\sqrt{d}\leq \sqrt{\frac{9a}{2\sqrt{3}}} \Rightarrow 3\sqrt{d}\leq 3\sqrt{\frac{a}{2\sqrt{3}}} \Rightarrow \sqrt{\frac{a\sqrt{3}}{6}} \leq \sqrt{\frac{a}{2\sqrt{3}}} \Rightarrow \sqrt{\frac{a\sqrt{3}}{6}} \leq \sqrt{\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{3\sqrt{3}}}}<br /> \Rightarrow \sqrt{\frac{a\sqrt{3}}{6}} \leq \sqrt{\frac{a\sqrt{3}}{6}}<br /> \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, dass ich euch nicht zu viele Schritte aufgeführt habe, weil ich es genau darstellen möchte. Die Gleichheit ist damit (hoffentlich) gezeigt.

Die Ungleichung:

Bleibt nur noch die Ungleichung allgemein zu zeigen. Hierbei tue ich mich sehr schwer. Ein erster Versuch der Umformung brachte mich zum Schlusspunkt:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2R} \cdot (\sqrt{d_1}+\sqrt{d_2}+\sqrt{d_3})}{\sqrt{3}} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}} \end{eqnarray*}$

Auf der rechten Seite habe ich nun ein quadratisches Mittel. Wenn ich die andere Seite nun weiter umformen könnte, könnte ich mit Hilfe der Mittelungleichungen die Ungleichung zeigen. Jedoch komme ich hier absolut nicht weiter.

Eine andere Idee wäre, dass ich den Umkreisradius oBdA (Ähnlichkeiten von Kreisen und den darin befindlichen Dreiecken) festlege. Dann könnte ich durch $\begin{eqnarray*} R=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$ die zweite Seite wieder auf die Abstände reduzieren und vielleicht irgendwas mit Fallunterscheidungen machen (Sprich: Fall 1 ein d = 0 Fall 2: zwei d=0 und Fall 3: kein d = 0).

Eine weitere Überlegung ist natürlich, ob im allgemeinen Dreick die Abstände zu den Seiten und R irgendwie anders darstellbar sind., Wahrscheinlich dann aber über trigonometrische Funktionen?

Ich würde mich über Anregungen dazu sehr freuen, damit ich dieses Problem gelöst bekomme.

12.07.2010, 02:02

Auraya

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Ich habe nun schon alles mögliche an Umformungen versucht. Ich komme einfach nicht weiter. Ich sehe da eine Mittelungleichung, bei der ich zeigen könnte, dass das quadratische Mittel größer gleich dem Arithmetischen ist. Ich bekomme nur keine sinnvolle Einordnung der Abstände hin. Über den Umkreisradius bekomme ich die Seiten a,b und c ja auf beide Seiten, aber dann habe ich sowas da stehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{\frac{3d_{1}}{\sin \alpha} a} +\sqrt{\frac{3d_{2}}{\sin \beta} b} +\sqrt{\frac{3d_{3}}{\sin \gamma} c}}{3} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}} \end{eqnarray*}$

Wie gesagt, die linke Seite sieht wie ein Arithmetisches Mittel nur leider mit Wurzeln aus und die rechte Seite ist hier nun ein quadratisches Mittel.

Über eine Idee oder Ansatz würde ich mich echt freuen.

12.07.2010, 07:52

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Die Frage ist hoffentlich nicht aus irgendeinem laufenden Wettbewerb? In diesem Fall müsste hier nämlich geschlossen werden.

12.07.2010, 12:10

Auraya

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Die Aufgabe ist von meiner Dozentin und im Internet habe ich sie auch nicht weiter gefunden. Ich habe sie auch auf englsich schon gesucht. Daher gehe ich mal von keinem aktuellen Wettbewerb aus, weil dann hätte ich sie sicher gefunden.

Naja wenn ich sie heute nicht gelöst bekomme, darf ich eben 1 Jahr mein Studium verlängern. Ich hatte gehofft, dass ihr mir wenigstens einen Hinweis geben könntet, der mir hilft. Aber wenn ihr es auch nicht wisst, habe ich eben Pech gehabt.

12.07.2010, 14:52

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Zitat:

Original von Auraya
Naja wenn ich sie heute nicht gelöst bekomme, darf ich eben 1 Jahr mein Studium verlängern.

Also das verstehe ich jetzt ganz und gar nicht. Für mich klingt das wie eine extrem anspruchsvolle Aufgabe aus einem Schülerwettbewerb (so Niveau zweite Runde BWM, oder Bundesrunde MO), aber nicht wie eine wichtige Prüfungsaufgabe irgendeines Studienganges. unglücklich

12.07.2010, 15:05

Auraya

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Beweis, dass es sich bei mir um die Wiederholungsprüfung für Heuristik in Form einer Hausarbeit aus dem 5. Semester handelt:

http://www.uni-flensburg.de/mathe/zero/v...stik/index.html

Man klicke auf "Wiederholungsaufgaben" und gebe das Passwort "UFMathVa" ein. Aufgabe 9 ist es.

Edit: Ich bin gerade dabei alle Ansätze in Latex zu dokumentieren. ... es sind derziet 3 .. wenigstens was. aber es endet immer damit, dass ich vor dem Problem stehe über die Abstände etwas wissen zu müssen. Ich weiß jedoch nur, dass wenn der Punkt P in auf einem Dreickspunkt liegt, der Abstand d maximal ist und dann sich gewisse bereiche für d1, d2 und d3 einstellen, in denen sie liegen müssen.

12.07.2010, 15:09

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Ok, ich hab es. Dazu ein Tipp:

Zieht man von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ Strecken zu den drei Dreieckspunkten, so wird die Dreiecksfläche unterteilt in drei Teilflächen der Größe $\begin{eqnarray*} F_1,F_2,F_3 \end{eqnarray*}$ , deren Summe dem Flächeninhalt $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ des Gesamtdreiecks $\begin{eqnarray*} ABC \end{eqnarray*}$ entspricht. Nun gilt $\begin{eqnarray*} 2F_1 = ad_1,\;2F_2=bd_2,\;2F_3=cd_3 \end{eqnarray*}$ , somit folgt zunächst

$\begin{eqnarray*} \sqrt{d_1}+\sqrt{d_2}+\sqrt{d_3} = \sqrt{\frac{2F_1}{a}} + \sqrt{\frac{2F_2}{b}} + \sqrt{\frac{2F_3}{c}} \end{eqnarray*}$ .

Und nun will man irgendwie noch ins Spiel bringen, dass $\begin{eqnarray*} F_1+F_2+F_3=F \end{eqnarray*}$ ist, und da setzt dann die Heuristik ein: Kennst du die Cauchy-Schwarz-Ungleichung?

12.07.2010, 15:34

Auraya

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Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung habe ich in der Vorlesung angewandte Mathematik in der Form kennengelernt.

$\begin{eqnarray*} |\sum\limits_{i=1}^n a_{i}b_{i}| \leq |\sum\limits_{i=1}^n a_{i}^2| \cdot |\sum\limits_{i=1}^n b_{i}^2| \Leftrightarrow (a_1b_1 + ... + a_nb_n)^2 \leq ((a_1)^2+...+(a_n)^2)\cdot((b_1)^2+...+(b_n)^2) \end{eqnarray*}$

ich versuche das gerade zu übersetzten ..

EDIT: Da es sich ja bei Wurzel um ^1/2 handelt, kann die C-S-Ungleichung so umgeschrieben werden?

12.07.2010, 15:40

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Ich will jetzt (noch) nicht eingreifen - denk mal noch ein bisschen nach, was jetzt wie genau einzusetzen ist, damit rechts strukturell sowas wie $\begin{eqnarray*} F_1+F_2+F_3 \end{eqnarray*}$ auftaucht.

12.07.2010, 15:44

Auraya

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Ich danke einfach für den Ansatz und werde nun erstmal das versuchen umzusetzten. Ich hoffe nur, dass heute übern Tag noch wer von euch da ist, fall sich noch probleme habe. So viel Zeit habe ich leider auch net mehr.

Aber danke für den Ansatz.

12.07.2010, 15:49

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Cauchy-Schwarz ist der Hauptdreh bei dieser Aufgabe. Der Rest sind wirklich nur noch Peanuts.

UPDATE (12.07.10, 21:28): Na ganz so eilig war's ja dann wohl doch nicht. Oder aber du hast es nun selbst hingekriegt und bedarfst keiner Hilfe mehr - noch besser.

12.07.2010, 22:14

Auraya

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Ne, ich habe nur vorhin in der Vorlesung von einer Kommilitonin erfahren, dass wir erst Mittwoch abgeben müssen. Daher habe ich mich erstmal noch an Physik gesetzt, wo morgen 2 Berichte zum Experimente fällig sind, aber nu ist wieder Mathe dran.

14.07.2010, 00:05

Auraya

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Okay, ich komme langsam nicht mehr weiter.

Für R habe ich nun $\begin{eqnarray*} R= \frac{abc}{4F} \end{eqnarray*}$ in der Ungleichung ersetzt.
In einer weiteren Umformung komme ich auf die Ungleichung:

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{bcF1} +\sqrt{acF2} +\sqrt{abF3})^2 \leq (a^2+b^2+c^2)\cdot (F1+F2+F3) \end{eqnarray*}$

Mir ist schon klar, dass ich begründen kann, dass F1,F2,F3 den Flächeninhalt darstellt und somit eine quadratische Form hat und demnach Die Wurzel der 3 Teilflächen auf der anderen Seite sind. Also das somit für b1,b2,b3 in der C-S-Ungleichung $\begin{eqnarray*} \sqrt{Fi} \end{eqnarray*}$ und für die Quadrate Fi gilt. Aber für die a1,a2,a3 werte haben ich nun irgendwas komisches unglücklich

Ich habe schon einige Versuche unternommen durch Umformungen auf die gewünschte Form der C-S-ungleichung zu kommen. Das endete jedoch immer in einem großen Summandensalat ..

14.07.2010, 01:48

Auraya

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Ok, Kommando zurück. Ich habe es gezeigt ^^

Ich muss dir von ganzen Herzen danken. Sollte ich auch noch bestehen, hast du was gut bei mir. (also musst du sagen, wo ich das Bier hinschicken soll ^^)

14.07.2010, 09:15

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Wäre schön gewesen, wenn du den Rest jetzt hier noch gepostet hättest - bleibt das wieder an mir hängen... Augenzwinkern

Aus der CSU folgt

$\begin{eqnarray*} \left( \sqrt{\frac{2F_1}{a}} + \sqrt{\frac{2F_2}{b}} + \sqrt{\frac{2F_3}{c}} \right)^2 \leq (2F_1+2F_2+2F_3)\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) = 2F\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\qquad (*) \end{eqnarray*}$

Nun ist $\begin{eqnarray*} F = \frac{abc}{4R} \end{eqnarray*}$ , womit man die rechte Seite vereinfachen kann zu $\begin{eqnarray*} \frac{ab+bc+ca}{2R} \end{eqnarray*}$ .

Mit Blick auf die Behauptung

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{d_1}+\sqrt{d_2}+\sqrt{d_3})^2 \leq \frac{a^2+b^2+c^2}{2R} \end{eqnarray*}$

bleibt nun lediglich noch zu beweisen, dass $\begin{eqnarray*} ab+bc+ca \leq a^2+b^2+c^2 \end{eqnarray*}$ ist, und das folgt leicht aus $\begin{eqnarray*} (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$ .

Interessant ist die Diskussion der Gleichheit in (*), basierend auf der Gleichheit in der CSU:

Dazu muss $\begin{eqnarray*} F_1 : \frac{1}{a} = F_2 : \frac{1}{b} = F_3 : \frac{1}{c} =: k \end{eqnarray*}$ gelten. $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ bestimmt man nun über $\begin{eqnarray*} k\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) = F = \frac{abc}{4R} \end{eqnarray*}$ .

Es folgt im Gleichheitsfall

$\begin{eqnarray*} d_1 = \frac{b^2c^2}{2R(ab+bc+ca)},\quad d_2 = \frac{c^2a^2}{2R(ab+bc+ca)},\quad d_3 = \frac{a^2b^2}{2R(ab+bc+ca)}\qquad (**) \end{eqnarray*}$

Damit in der Ausgangsungleichung Gleichheit herrscht, muss natürlich auch noch in der zweiten Abschätzung $\begin{eqnarray*} ab+bc+ca \leq a^2+b^2+c^2 \end{eqnarray*}$ Gleichheit gelten, und damit auch in $\begin{eqnarray*} (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$ , was nur im gleichseitigen Dreieck möglich ist. Dort bedeutet (**) dann wiederum, dass $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ der Mittelpunkt dieses gleichseitigen Dreiecks $\begin{eqnarray*} ABC \end{eqnarray*}$ sein muss, also ganz so, wie du es im Eröffnungsposting vermutet hattest.

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