vollst. induktion |
03.11.2006, 15:18 | chrissi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
vollst. induktion Es gilt: für die Ungleichung |
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03.11.2006, 15:23 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: vollst. induktion Wir formen erstmal um: Sei Setze nun für 1 <= i <= n Wende nun die Induktionsvoraussetzung an. EDIT: eine Kleinigkeit noch: Es gibt ein i mit a_i >= 1 O.B.d.A sei dies a_(n+1). Dann gibt es ein epsilon >= 0 mit Also ist dann |
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03.11.2006, 15:41 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: vollst. induktion Hier (Induktionsbeweis von Ungleichungen) wurde das auch schon diskutiert. |
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03.11.2006, 15:46 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: vollst. induktion Ooch, das wollte ich jetzt nicht verraten. |
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03.11.2006, 16:23 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: vollst. induktion
Tschuldige. |
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03.11.2006, 16:34 | chrissi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das ist dein beweis zu der aufgabe......???? ich studiere seit 2 wochen davon habe ich noch nichts gehört es muss etwas trivialeres geben. helft mir doch |
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03.11.2006, 17:00 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Erstens wird es dir noch häufiger passieren, von etwas noch nichts gehört zu haben und zweitens muss es nicht zwangsläufig immer eine einfachere Lösung geben, nur weil du sie nicht verstehst. |
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03.11.2006, 17:08 | chrissi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
... ja sicher aber in dem fall bin ich von überzeugt weil die andern aufgaben des blatts gut machbar waren und das ist aufgabe 2 die ist nicht so schwierig nur mir fehlt die entscheidente idee |
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03.11.2006, 17:14 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Re: ... Natürlich gibt es immer verschieden Wege eine Aussage zu beweisen. So kann man zum Beispiel beim Induktionsbeweis o.B.d.A. annehmen, dass und . Dann setze für und . Dann kannst du auf die Zahlen die Induktionsvoraussetzung anwenden und bis schon fast fertig. Edit: x und a vertauscht, um der Aufgabenstellung gerecht zu werden. |
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03.11.2006, 17:24 | chrissi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hmm ich versteh nicht wie man einfach annehmen kann dass a_n <1 istß UND ÜBERHAUPT DEN REST ach mann |
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03.11.2006, 17:53 | chrissi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich probiere es einfach mal auf meine art also ich hab die ungleichung und multipliziere mit n sodass : |
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03.11.2006, 17:56 | chrissi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
kann man nun nicht einfach behaupten da a_1 >0 ... a:n >0 gilt ist auch a_1 +a_2+...+a_n größer n |
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03.11.2006, 18:12 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Alslo, dass alle sind ist ja trivial. Trotzdem gilt deine Aussage nicht und ein Gegenbeispiel zu deiner Behauptung ist schnell konstruiert. Diese ist nämlich für falsch. |
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03.11.2006, 18:38 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ganz offenbar handelt es sich ja um einen Spezialfall der Ungleichung zwischen arithmetischen und geometrischen Mittel (AMGM) für positive . Und da gibt es einige Beweisvarianten, ziemlich kurz und doch noch elementar ist der Weg über die Bernoulli-Ungleichung. P.S.: Die vollständige URL inklusive Subverweis # innerhalb der Seite hat die hiesige Forumsoftware wieder mal nicht verkraftet (wieder mal der hässliche </ br> Umbruch) - da sollte mal was getan werden: http://de.wikipedia.org/wiki/ Ungleichun... li-Ungleichung |
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03.11.2006, 18:39 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn beim Induktionsschritt vorstehendes gilt, dann gibt es prinzipiell 2 Möglichkeiten: 1. Alle a_i = 1. Da gibt es nicht zu beweisen. 2. Es gibt ein i mit a_i < 1. Dann gibt es ein k<>i mit a_k > 1, sonst stimmt die Voraussetzung nicht. Da man die Faktoren beliebig vertauschen kann, kann man o.B.d.A. annehmen, daß a_n < 1 und a_(n+1) > 1. Damit kannst du den Ansatz von DualSpace weiter verfolgen. |
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03.11.2006, 21:28 | chrissi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hab nun verstanden wie du auf kommst was war nun der nächste schritt?? |
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03.11.2006, 21:59 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja und nein. Ist halt das Henne-Ei-Problem. Man kann auch erst zeigen, um dann daraus obige Ungleichung zu folgern. @chrissi: was darfst du denn als bekannt voraussetzen und wie wollen wir jetzt vorgehen? |
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03.11.2006, 22:16 | chrissi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich würde gerne zuerst a_1+...+ a_n >= n beweisen wollen bekannt ist dass a_1,..., a_n >0 und a_1*...* a_n = 1 sonst noch was bekannt? |
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03.11.2006, 22:19 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jetzt kannst du den Induktionsschritt machen. (Induktionsanfang sollte man nicht vergessen, ist aber hier kein Problem.)
Prinzipiell gibt es noch den 3. Fall: a_i > 1. Das führt aber letztlich auch zum Ergebnis im 2. Fall. |
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03.11.2006, 22:24 | chrissi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok IA: n=1 a_1>=1 n--> n+1 a_1+...+ a_n+ a_n+1 >= n+1 das muss ich also zeigen? |
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03.11.2006, 22:27 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau. Dabei gilt noch: a_1*...* a_n* a_n+1 = 1 und natürlich noch, daß gemäß dem Prinzip der vollständigen Induktion die Aussage für n als wahr gilt. |
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03.11.2006, 22:35 | chrissi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
jetzt zweifel ich an meinem weg aber kann doch jetzt sagen dass a_1+...+ a_n a_1+...+ a_n=1 also : 1 + a_n+1 >= n+1 => a_n+1 >= n bitte um verbesserung denke es ist nötig |
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03.11.2006, 22:40 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ähh? Was meinst du? Verstehe nicht. |
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03.11.2006, 22:42 | chrissi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das steht ja shcon in der aufgaben stellung und das habe ich dann in der gleichung ersetzt ist das nicht richtig? wie geht man vor? |
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03.11.2006, 22:48 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also nochmal das ganze: Wir machen den Induktionsschritt. Das heißt, wir dürfen verwenden: Wenn wir n Zahlen haben mit und dann ist Im Induktionsschritt haben wir nun n+1 Zahlen mit und Wir müssen zeigen, daß dann ist Von einer Aussage sind wir ganz weit entfernt. Ich wüßte nicht, woraus du das folgern willst. |
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03.11.2006, 22:57 | chrissi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hmm stimmt das war mein fehler is halt schon spät oke aber dann sehe ihc keinen andern weg außer a_1+...+ a_n durch n zu ersetzten hmm |
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03.11.2006, 23:11 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das dumme ist leider nur, daß wir im Induktionsschritt gar nicht wissen, daß ist. Deswegen kannst du die Induktionsvoraussetzung gar nicht verwenden, so daß du a_1+...+ a_n durch n ersetzen kannst. Daher kommt der oben erwähnte Trick. Wir wissen, daß ist. Nun setzen wir , wobei wir überlegt haben, daß ist. Dann ist . Das sind n Faktoren und man kann nun die Induktionsvoraussetzung verwenden. Und nun ist Feierabend für heute. |
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03.11.2006, 23:25 | chrissi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
danke gute nacht |
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04.11.2006, 11:44 | chrissi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hab über nacht ein problem gefunden.... schön und gut dass wir hier ein trick anwenden... aber wozu was wollen wir bezwecken? man kann hier jetzt ja auch nicht weiter argumentieren |
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04.11.2006, 11:50 | chrissi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ahh ich glaub ich bin weiter aus der gleichung a_1+a_2+...+a_n+a_n+1>= n+1 ich hole die 1 rüber a_1+a_2+...+a_n+a_n+1 -1>= n |
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04.11.2006, 11:55 | chrissi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
a_1+a_2+...+a_n+a_n+1 -1>= n dann ersetzte ich a_1+a_2+...+a_n durch n also: n+a_n+1 -1>= n dann -n a_n+1 -1>= 0 da a_n+1 >=1 1 abziehen erhale ihc immer was >=0 stimmt das nun?? |
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04.11.2006, 13:49 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wieso kannst du a_1+a_2+...+a_n durch n ersetzen? Nochmal (und da wiederhole ich mich): Im Induktionsschritt wissen wir nur, daß ist, und nicht, daß ist. Deswegen kannst du die Induktionsvoraussetzung auf direktem Weg nicht verwenden. Ich wiederhole nochmal das, was ich oben schon sagte: Wir wissen, daß ist. Entweder sind alle a_i=1 oder es gibt verschiedene Indizes i und k mit a_i <= 1 und a_k >= 1. O.B.d.A kann man annehmen, daß a_n <= 1 und a_(n+1) >= 1 ist. Nun setzen wir . Dann ist . Das sind n Faktoren und man kann nun die Induktionsvoraussetzung verwenden. Und das solltest du jetzt tun. |
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04.11.2006, 14:17 | chrissi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
,,, steht bei mir abe rin der aufgabenstellung |
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04.11.2006, 18:43 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also machen wir noch einen Exkurs in mathematische Logik: In deiner bmp-Datei steht folgendes: Wenn man n positive Zahlen hat und wenn zusätzlich gilt , dann gilt: Im Induktionsschritt wird angenommen, daß obige Aussage für ein beliebiges aber festes n bewiesen ist. Wir müssen aber im Induktionsschritt folgendes beweisen: Wenn man n+1 positive Zahlen hat und wenn zusätzlich gilt , dann gilt: Wir wissen im Induktionsschritt also nur, daß ist. Was hingegen das Produkt für einen Wert ergibt, davon wissen wir nichts. Dies ist zwar die Voraussetzung in dem zu beweisenden Satz, aber nicht die Voraussetzung im Induktionsschritt. Da ist - wie gesagt - vorausgesetzt. Der Trick - und da wiederhole ich mich bestimmt zum 3. Mal - ist der, daß man die letzten beiden Faktoren und zu einem Faktor x zusammenfaßt. Dann hat man wieder n Faktoren, deren Produkt 1 ergibt und dann (und eben nur dann) kann man auch die Induktionsvoraussetzung verwenden. Nebenbei hat man sich noch durch eine geschickte Überlegung das und das so zurechtgelegt, daß und ist. |
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04.11.2006, 19:17 | chrissi. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
okay soweit sogut mir ist es ein rätsel was ich damit anfange aber ok meine überlegung nun wenn a_1*...*x=1, dann gilt auch a_1+...+x >= n |
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05.11.2006, 11:14 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
OK. Nun kannst du für x den Term einsetzen und 1 auf die Ungleichung addieren. Dann mußt du nach oben durch abschätzen. In einer Nebenrechnung mußt du also zeigen, daß ist. |
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05.11.2006, 11:56 | frage | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: vollst. induktion warum gilt denn dann wäre die lösung doch trivial |
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05.11.2006, 12:36 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: vollst. induktion Die Frage ist nicht, warum das gilt, die Frage ist, wie man das beweist. |
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05.11.2006, 18:30 | chris85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
gut bis hierher hab ich es verstanden aber jetzt vesteh ich es nicht mehr, kannst du das nochmal erklären? |
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05.11.2006, 18:38 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: vollst. induktion Heidinei. Wir haben doch jetzt: Jetzt das x wieder einsetzen: 1 addieren: Kamele a_n und a_(n+1) addieren und subtrahieren: ==> Jetzt mußt du überlegen, warum Und jetzt habe ich aus lauter Wut deine Schreibarbeit gemacht. Grrrr. |
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