vollst. induktion

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chrissi Auf diesen Beitrag antworten »
vollst. induktion
finde keine passende umformung hat jemand eine schlaue idee?

Es gilt:


für die Ungleichung

klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: vollst. induktion
Wir formen erstmal um:


Sei

Setze nun für 1 <= i <= n

Wende nun die Induktionsvoraussetzung an.

EDIT: eine Kleinigkeit noch:
Es gibt ein i mit a_i >= 1 O.B.d.A sei dies a_(n+1).
Dann gibt es ein epsilon >= 0 mit
Also ist dann
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »
RE: vollst. induktion
Hier (Induktionsbeweis von Ungleichungen) wurde das auch schon diskutiert. Augenzwinkern
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: vollst. induktion
Ooch, das wollte ich jetzt nicht verraten. traurig
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »
RE: vollst. induktion
Zitat:
Original von klarsoweit
Ooch, das wollte ich jetzt nicht verraten. traurig

Tschuldige. Mit Zunge
chrissi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Eine andere Beweisvariante geht so:

Es gelte für ein n aus N:


(I) Sei nun
Es gibt ein i mit x_i >= 1 O.B.d.A sei dies x_1.
Dann gibt es ein epsilon >= 0 mit

x_1 in (I) eingesetzt ergibt:


Das sind n Faktoren und man kann daher die IV verwenden. Also folgt:

<==>

<==>

<==>

Jetzt noch Bernoullische Ungleichung und dann ist man schon da.
Augenzwinkern




das ist dein beweis zu der aufgabe......????
ich studiere seit 2 wochen davon habe ich noch nichts gehört
es muss etwas trivialeres geben. helft mir doch
 
 
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von chrissi
ich studiere seit 2 wochen davon habe ich noch nichts gehört
es muss etwas trivialeres geben. helft mir doch

Erstens wird es dir noch häufiger passieren, von etwas noch nichts gehört zu haben und zweitens muss es nicht zwangsläufig immer eine einfachere Lösung geben, nur weil du sie nicht verstehst. Augenzwinkern
chrissi Auf diesen Beitrag antworten »
...
ja sicher aber in dem fall bin ich von überzeugt weil die andern aufgaben des blatts gut machbar waren und das ist aufgabe 2 die ist nicht so schwierig nur mir fehlt die entscheidente idee
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ...
Natürlich gibt es immer verschieden Wege eine Aussage zu beweisen. So kann man zum Beispiel beim Induktionsbeweis o.B.d.A. annehmen, dass und . Dann setze für und . Dann kannst du auf die Zahlen die Induktionsvoraussetzung anwenden und bis schon fast fertig.


Edit: x und a vertauscht, um der Aufgabenstellung gerecht zu werden. Augenzwinkern
chrissi Auf diesen Beitrag antworten »

hmm
ich versteh nicht wie man einfach annehmen kann dass a_n <1 istß
UND ÜBERHAUPT DEN REST
ach mann
chrissi Auf diesen Beitrag antworten »

ich probiere es einfach mal auf meine art

also ich hab die ungleichung
und multipliziere mit n

sodass :
chrissi Auf diesen Beitrag antworten »

kann man nun nicht einfach behaupten da a_1 >0 ... a:n >0 gilt
ist auch a_1 +a_2+...+a_n größer n
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von chrissi
kann man nun nicht einfach behaupten da a_1 >0 ... a:n >0 gilt
ist auch a_1 +a_2+...+a_n größer n

Alslo, dass alle sind ist ja trivial. Trotzdem gilt deine Aussage nicht und ein Gegenbeispiel zu deiner Behauptung ist schnell konstruiert. Diese ist nämlich für falsch.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz offenbar handelt es sich ja um einen Spezialfall der Ungleichung zwischen arithmetischen und geometrischen Mittel (AMGM)



für positive . Und da gibt es einige Beweisvarianten, ziemlich kurz und doch noch elementar ist der Weg über die Bernoulli-Ungleichung.


P.S.: Die vollständige URL inklusive Subverweis # innerhalb der Seite hat die hiesige Forumsoftware wieder mal nicht verkraftet (wieder mal der hässliche </ br> Umbruch) böse - da sollte mal was getan werden:

http://de.wikipedia.org/wiki/ Ungleichun... li-Ungleichung
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von chrissi
ich versteh nicht wie man einfach annehmen kann dass a_n <1 istß


Wenn beim Induktionsschritt vorstehendes gilt, dann gibt es prinzipiell 2 Möglichkeiten:
1. Alle a_i = 1. Da gibt es nicht zu beweisen.
2. Es gibt ein i mit a_i < 1. Dann gibt es ein k<>i mit a_k > 1, sonst stimmt die Voraussetzung nicht.
Da man die Faktoren beliebig vertauschen kann, kann man o.B.d.A. annehmen, daß a_n < 1 und a_(n+1) > 1. Damit kannst du den Ansatz von DualSpace weiter verfolgen.
chrissi Auf diesen Beitrag antworten »

hab nun verstanden wie du auf

kommst
was war nun der nächste schritt??
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Ganz offenbar handelt es sich ja um einen Spezialfall der Ungleichung zwischen arithmetischen und geometrischen Mittel (AMGM)



Ja und nein. Ist halt das Henne-Ei-Problem. Man kann auch erst zeigen, um dann daraus obige Ungleichung zu folgern.

@chrissi: was darfst du denn als bekannt voraussetzen und wie wollen wir jetzt vorgehen?
chrissi Auf diesen Beitrag antworten »

ich würde gerne zuerst
a_1+...+ a_n >= n beweisen wollen

bekannt ist dass a_1,..., a_n >0
und a_1*...* a_n = 1

sonst noch was bekannt?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt kannst du den Induktionsschritt machen.
(Induktionsanfang sollte man nicht vergessen, ist aber hier kein Problem.)
Zitat:
Original von klarsoweit

Wenn beim Induktionsschritt vorstehendes gilt, dann gibt es prinzipiell 2 Möglichkeiten:
1. Alle a_i = 1. Da gibt es nicht zu beweisen.
2. Es gibt ein i mit a_i < 1. Dann gibt es ein k<>i mit a_k > 1, sonst stimmt die Voraussetzung nicht.
Da man die Faktoren beliebig vertauschen kann, kann man o.B.d.A. annehmen, daß a_n < 1 und a_(n+1) > 1. Damit kannst du den Ansatz von DualSpace weiter verfolgen.

Prinzipiell gibt es noch den 3. Fall:
a_i > 1. Das führt aber letztlich auch zum Ergebnis im 2. Fall.
chrissi Auf diesen Beitrag antworten »

ok

IA:
n=1
a_1>=1

n--> n+1


a_1+...+ a_n+ a_n+1 >= n+1
das muss ich also zeigen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Dabei gilt noch:
a_1*...* a_n* a_n+1 = 1
und natürlich noch, daß gemäß dem Prinzip der vollständigen Induktion die Aussage für n als wahr gilt.
chrissi Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt zweifel ich an meinem weg


aber kann doch jetzt sagen dass a_1+...+ a_n


a_1+...+ a_n=1
also :
1 + a_n+1 >= n+1
=> a_n+1 >= n

bitte um verbesserung denke es ist nötig
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von chrissi
a_1+...+ a_n=1

Ähh? Was meinst du? Verstehe nicht. verwirrt
chrissi Auf diesen Beitrag antworten »

das steht ja shcon in der aufgaben stellung und das habe ich dann in der gleichung ersetzt ist das nicht richtig?
wie geht man vor?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Also nochmal das ganze:
Wir machen den Induktionsschritt. Das heißt, wir dürfen verwenden:
Wenn wir n Zahlen haben mit
und

dann ist

Im Induktionsschritt haben wir nun n+1 Zahlen mit
und

Wir müssen zeigen, daß dann ist

Von einer Aussage sind wir ganz weit entfernt. Ich wüßte nicht, woraus du das folgern willst.
chrissi Auf diesen Beitrag antworten »

hmm stimmt das war mein fehler is halt schon spät

oke aber dann sehe ihc keinen andern weg außer

a_1+...+ a_n durch n zu ersetzten


hmm
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Das dumme ist leider nur, daß wir im Induktionsschritt gar nicht wissen, daß ist. Deswegen kannst du die Induktionsvoraussetzung gar nicht verwenden, so daß du a_1+...+ a_n durch n ersetzen kannst.

Daher kommt der oben erwähnte Trick. Wir wissen, daß ist. Nun setzen wir , wobei wir überlegt haben, daß ist. Dann ist . Das sind n Faktoren und man kann nun die Induktionsvoraussetzung verwenden.

Und nun ist Feierabend für heute. Augenzwinkern
chrissi Auf diesen Beitrag antworten »

danke gute nacht
chrissi Auf diesen Beitrag antworten »

hab über nacht ein problem gefunden....
schön und gut dass wir hier ein trick anwenden... aber wozu was wollen wir bezwecken?
man kann hier jetzt ja auch nicht weiter argumentieren
chrissi Auf diesen Beitrag antworten »

ahh ich glaub ich bin weiter

aus der gleichung

a_1+a_2+...+a_n+a_n+1>= n+1

ich hole die 1 rüber

a_1+a_2+...+a_n+a_n+1 -1>= n
chrissi Auf diesen Beitrag antworten »

a_1+a_2+...+a_n+a_n+1 -1>= n


dann ersetzte ich a_1+a_2+...+a_n durch n

also:
n+a_n+1 -1>= n dann -n
a_n+1 -1>= 0

da a_n+1 >=1 1 abziehen erhale ihc immer was >=0
stimmt das nun??
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von chrissi
dann ersetzte ich a_1+a_2+...+a_n durch n

Wieso kannst du a_1+a_2+...+a_n durch n ersetzen?
Nochmal (und da wiederhole ich mich): Im Induktionsschritt wissen wir nur, daß ist, und nicht, daß ist. Deswegen kannst du die Induktionsvoraussetzung auf direktem Weg nicht verwenden.

Ich wiederhole nochmal das, was ich oben schon sagte:

Wir wissen, daß ist. Entweder sind alle a_i=1 oder es gibt verschiedene Indizes i und k mit a_i <= 1 und a_k >= 1. O.B.d.A kann man annehmen, daß a_n <= 1 und a_(n+1) >= 1 ist.
Nun setzen wir .
Dann ist . Das sind n Faktoren und man kann nun die Induktionsvoraussetzung verwenden.

Und das solltest du jetzt tun.
chrissi Auf diesen Beitrag antworten »
,,,
steht bei mir abe rin der aufgabenstellung
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Also machen wir noch einen Exkurs in mathematische Logik:

In deiner bmp-Datei steht folgendes:
Wenn man n positive Zahlen hat und wenn zusätzlich gilt , dann gilt:


Im Induktionsschritt wird angenommen, daß obige Aussage für ein beliebiges aber festes n bewiesen ist. Wir müssen aber im Induktionsschritt folgendes beweisen:
Wenn man n+1 positive Zahlen hat und wenn zusätzlich gilt , dann gilt:


Wir wissen im Induktionsschritt also nur, daß ist. Was hingegen das Produkt für einen Wert ergibt, davon wissen wir nichts. Dies ist zwar die Voraussetzung in dem zu beweisenden Satz, aber nicht die Voraussetzung im Induktionsschritt. Da ist - wie gesagt - vorausgesetzt. Der Trick - und da wiederhole ich mich bestimmt zum 3. Mal - ist der, daß man die letzten beiden Faktoren und zu einem Faktor x zusammenfaßt. Dann hat man wieder n Faktoren, deren Produkt 1 ergibt und dann (und eben nur dann) kann man auch die Induktionsvoraussetzung verwenden. Nebenbei hat man sich noch durch eine geschickte Überlegung das und das so zurechtgelegt, daß und ist.
chrissi. Auf diesen Beitrag antworten »

okay soweit sogut
mir ist es ein rätsel was ich damit anfange aber ok
meine überlegung nun

wenn a_1*...*x=1, dann gilt auch
a_1+...+x >= n
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

OK. Nun kannst du für x den Term einsetzen und 1 auf die Ungleichung addieren. Dann mußt du nach oben durch abschätzen. In einer Nebenrechnung mußt du also zeigen, daß ist.
frage Auf diesen Beitrag antworten »
RE: vollst. induktion
warum gilt



denn dann wäre die lösung doch trivial
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: vollst. induktion
Die Frage ist nicht, warum das gilt, die Frage ist, wie man das beweist.
chris85 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
OK. Nun kannst du für x den Term einsetzen und 1 auf die Ungleichung addieren. Dann mußt du nach oben durch abschätzen. In einer Nebenrechnung mußt du also zeigen, daß ist.


gut bis hierher hab ich es verstanden aber jetzt vesteh ich es nicht mehr, kannst du das nochmal erklären?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: vollst. induktion
Heidinei. Wir haben doch jetzt:



Jetzt das x wieder einsetzen:


1 addieren:


Kamele a_n und a_(n+1) addieren und subtrahieren:


==>


Jetzt mußt du überlegen, warum

Und jetzt habe ich aus lauter Wut deine Schreibarbeit gemacht. Grrrr. böse
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