Orthonormalbasis und Orthogonalbasis

29.06.2010, 17:11	Kaninchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthonormalbasis und Orthogonalbasis Hi Leute, stehe hier ziemlich auf dem Schlauch Also: Sei V ein n-dimensionaler VR zusammen mit einem Skalarprodukt. Sei f: V -> V lineare Abb mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray} <v,w> = 0 => <f(v),f(w)> = 0 \end{eqnarray}$ . a) Zeige: Ist $\begin{eqnarray} \left\{ v_1,...,v_n\right\} \end{eqnarray}$ ONB von V so ist $\begin{eqnarray} \left\{ f(v_1),...,f(v_n)\right\} \end{eqnarray}$ Orthogonalbasis von V mit $\begin{eqnarray} \|\|f(v_1)\|\| = ... = \|\|f(v_n)\|\| \end{eqnarray}$ b) benutze a) um zu zeigen, dass es eine Isometrie g: V -> V gibt sodass $\begin{eqnarray} f = \lambda g \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray}$ . (Hinweis: Betrachte den Fall $\begin{eqnarray} \|\|f(v_i)\|\| =0, \|\|f(v_i)\neq 0\|\| \end{eqnarray}$ Ich weiß bei a) schon nicht, wie genau ich das beginnen kann. Ich könnte natürlich v, w als LK von den ONB-Elementen schreiben. Aber dann weiß ich nicht wie ich die Eigenschaft der Abbildung einbringen kann. Ist das überhaupt ein sinnvoller Ansatz? Danke schon mal für eure Hilfestellungen! Lieben Gruß
29.06.2010, 19:14	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das ist sinnlos, denn von v und w ist gar nicht die Rede. Du musst zwei Eigenschaften für Bilder $\begin{eqnarray} f(v_i) \end{eqnarray}$ von Basisvektoren $\begin{eqnarray} v_i \end{eqnarray}$ nachweisen.
29.06.2010, 19:28	Kaninchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm aber ich weiß ja nicht sonderlich viel über f....muss ich da das Skalarprodukt mit einbringen?
29.06.2010, 19:41	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, klar, und die Norm.
29.06.2010, 20:42	Kaninchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok danke, das hab ich hinbekommen Ich verstehe nur nicht, warum die f(v_i) in der Norm alle gleich sein sollen. Es muss ja keine ONB sondern nur eine Orthogonalbasis sein. Oder ist es im Endeffekt doch eine ONB?
01.07.2010, 19:30	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm ein $\begin{eqnarray} v\in\{v_1,...,v_n\} \end{eqnarray}$ und berechne $\begin{eqnarray} \|\|f(v)\|\|=\sqrt{<f(v),f(v)>}=\sqrt{<\sum \alpha_i v_i,\sum\alpha_iv_i>}=\sqrt{\sum\alpha_i^2} \end{eqnarray}$ ... ... ... ... ... ... und dann weiss ich im Momemnt auch nicht weiter, aber das kann Dich ja nicht daran hindern, weiter nachzudenken.
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