euklidischer Ring und Ideal

30.06.2010, 18:12	kunstrasenspringer	Auf diesen Beitrag antworten »
euklidischer Ring und Ideal Meine Frage: Hi, ich habe hier eine Übungsaufgabe, bei der einfach nicht weiter weiß. Es sei R ein kommutativer Ring. Eine Teilmenge I $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ R heißt Ideal, wenn für alle a,b $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ I und r $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ R stets a+b $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ I und ar $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ I ist. Nun sei R en euklidischer Ring und I ein Ideal von R. Zeigen Sie, dass ein Element x $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ R existiert sodass I=Rx:={rx\|r $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ R} ist. Hinweis: Betrachten Sie eine Division mit Rest Ich habe leider gar kein Plan was ich machen soll. Also auch keine Ideen. Kann mir jemand eine Idee geben, wie man diese Aufgabe löst. Danke im Voraus. Meine Ideen: Ich habe leider gar kein Plan was ich machen soll. Also auch keine Ideen. Kann mir jemand eine Idee geben, wie man diese Aufgabe löst. Danke im Voraus.
30.06.2010, 18:49	Claus	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, die Aussage ist, dass jedes beliebige Ideal eines euklidischen Ringes R immer die Form Rx (für ein x in R) hat. Um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} I=Rx \end{eqnarray}$ gilt, beweise zuerst $\begin{eqnarray} I\subset Rx \end{eqnarray}$ und dann $\begin{eqnarray} Rx \subset I \end{eqnarray}$ , woraus die Gleihheit folgt. Eine Inklution ist sehr einfach. Die andere Inklusion beweist du so: Wähle für x ein Element aus dem Ideal $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ , welches minimalen Grad besitzt und verwende dann den Tipp, d.h. führe eine Division mit Rest durch. Die Aufgabe ist nicht schwierig; im Grunde muss man nur die Definitionen anwenden und dann kommt man schon ans Ziel. MfG, Claus
30.06.2010, 19:56	kunstrasenspringer	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Claus. Um I $\begin{eqnarray} \subset \end{eqnarray}$ Rx zu zeigen, muss ich doch nur die 3 Bedingungen zeigen: 1. die Null des Ringes liegt in I 2. für alle a,b $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ I liegen a+b in I 3. für alle a $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ I und r $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ R liegt ra in I Ach ja wie sieht den so ein Element aus dem Ideal mit minimalen Grad den aus? Und wie sieht denn so eine Division aus? Gruß
30.06.2010, 20:45	Claus	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo. Nein. Du musst diese drei Bedingungen nicht prüfen. Du hast da etwas falsch verstanden. Wenn du $\begin{eqnarray} I \subset Rx \end{eqnarray}$ zeigen willst, dann musst du folgendes beweisen: $\begin{eqnarray} a \in I\Rightarrow a \in Rx=\left \{ r\cdot x\ \|\ r \in R \right \} \end{eqnarray}$ Du setzt ja voraus, dass $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ ein Ideal in $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ ist. Daher sind diese drei Punkte nach Voraussetzung bereits erfüllt. Du musst nur die oben genannte Folgerung zeigen! Gucke dir die Definition eines euklidischen Ringes an. So ein Ring hat die Eigenschaft, dass man eine Division mit Rest durchführen kann. Ich weiß nicht, wie ihr das definiert habt. Es gibt nämlich viele Varianten, so einen euklidischen Ring zu definieren... Die Division mit Rest kennst du (so ähnlich zumindest) bereits aus der Grundschule (3. Klasse oder so) :-D MfG Claus
30.06.2010, 21:44	kunstrasenspringer	Auf diesen Beitrag antworten »
Jo danke Claus. Ich habs jetzt raus. Stand lange auf dem Schlauch. Ich habs jetzt so gemacht wie du es gesagt hast Gruß Kunstrasenspringer p.s. wird das hier von alleine geschlossen oder muss ich das machen?
30.06.2010, 22:24	Claus	Auf diesen Beitrag antworten »
Glückwunsch, dass du es alleine geschafft hast. Der Thread wird von selbst geschlossen.
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »