einfache DGL lösen

30.06.2010, 20:33

n00ki3

einfache DGL lösen

Hi,
ich habe hier eine DGL und weiss nicht wie ich sie löse ?
bzw. ich habe bisher noch nie eine DGL gelöst.
Wie geh ich da ran ?

$\begin{eqnarray*} y'(x) = 2x + y(x) \end{eqnarray*}$

gruß,
n00ki3

30.06.2010, 20:48

wisili

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RE: einfache DGL lösen
Schau in ein Lehrbuch oder z.B. hier.

30.06.2010, 21:11

n00ki3

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geht das mit der Methode : Trennung der Veränderlichen ?

30.06.2010, 21:45

Mulder

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RE: einfache DGL lösen
Für Trennung der Variablen (TdV) müsste die DGL ja in die Form

$\begin{eqnarray*} y' = f(y)g(x) \end{eqnarray*}$

zu bringen sein. Das ist hier offensichtlich nicht der Fall. Hier geht man eher mit Variation der Konstanten ran. Da gibt es auch explizite Lösungsformeln, in die man einfach nur stur einsetzen muss. Siehe zum Beispiel bei Wikipedia: Klick mich

30.06.2010, 21:58

n00ki3

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Ich habe letzte Woche in der Vorlesung gefehlt und das Thema ist neu.
Wir dürfen auch die Variation der Konstanten benutzen.
Aber ich weiss nicht wie man das macht ?

muss man die Formel erst in eine bestimmte Form bringen ?
Welche x schritte muss ich da machen ?

30.06.2010, 22:10

Mulder

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RE: einfache DGL lösen
Ich habe doch auf den Artikel verlinkt, in dem eine Lösungsformel steht. Sollst du einfach nur die DGL lösen, oder hast du noch einen Anfangswert gegeben (AWP)? Naja, für

$\begin{eqnarray*} y' = a(x)y+b(x) \end{eqnarray*}$

(ohne AW) ist eben eine Lösung gegeben durch

$\begin{eqnarray*} y = e^{A(x)} \cdot \left ( \, \int b(x) \cdot e^{-A(x)} \, \dx \right ) \end{eqnarray*}$

Wobei A eine Stammfunktion von a ist. Übertrag das auf deinen Fall.

Manuell würde man zunächst das homogene Problem y'=a(x)y durch TdV lösen, dann erhält man die homogene Lösung y=ce^x mit einem konstanten c. Den inhomogenen Fall löst man dann durch den Ansatz y=c(x)e^x.

30.06.2010, 22:47

n00ki3

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ich habe einen Anfangswert gegeben : y(0) = 1 und die gleiche aufgabe nochmal mit y(0) = 1

01.07.2010, 00:54

Mulder

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RE: einfache DGL lösen

Zitat:

Original von n00ki3
ich habe einen Anfangswert gegeben : y(0) = 1 und die gleiche aufgabe nochmal mit y(0) = 1

Da steht jetzt zweimal der selbe Kram. Und ansonsten: Magst du zukünftig vielleicht von Anfang an die komplette Aufgabenstellung posten und nicht die Hälfte erstmal geheim halten?

Für das AWP

$\begin{eqnarray*} y'(x)+a(x)y(x)=b(x) \quad , \quad y(x_0)=y_0 \end{eqnarray*}$

lautet die (eindeutige) Lösung:

$\begin{eqnarray*} y(x) = \left ( \, \int\limits_{x_0}^x b(\tau) \cdot \exp{ \left ( \, \int\limits_{x_0}^{\tau} a(\xi) \, \dd \xi \right ) } \dd \tau + y_0 \right ) \cdot \exp \left ( - \int\limits_{x_0}^x a(s) \dd s \right ) \end{eqnarray*}$

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