Transformationsmatrix

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Lotti20 Auf diesen Beitrag antworten »
Transformationsmatrix
Ich habe folgende Aufgabe zu bearbeiten:

Im R^3 seien die Basen A=(v1,v2,v3) und B=(u1,u2,u3) gegeben, wobei v1=(1,1,0), v2=(1,0,1), v3=(0,1,1) und u1=(-1,1,0), u2=(0,-1,1),u3=(1,0,2).
a)Bestimmen Sie die Transformationsmatrix T(unten B darüber A).
b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Vektors v= 3v1-2v2+4v3 bezüglich der Basis B.


Leider hab ich keine Idee dazu.
Lotti20 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Transformationsmatrix
ich habe jetz schon die Transformationsmatrix heraus.
kann mir jmd. sagen, ob diese richtig ist?

0 -1 -0,5
-1 1 1,5
1 0 0,5
Lotti20 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Transformationsmatrix
also ich weiß irgednwie nicht bei b) weiter.
a) habe ich jetz.
wäre supi, wenn mir jmd. sagen könnte wie ich mithilfe der Transformationsmatrix b) löse
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Transformationsmatrix
Hi Lotti,

Deine obige Matrix zu a) ist falsch - ich hoffe, Du weißt das. Augenzwinkern

Und b) ist mit der richtigen TraFo-Matrix eigentlich kein Problem mehr. Wenn wir für die Darstellung bzgl. als bezeichnen und analog mit die Darstellung bzgl. , dann ist doch .

Siehe auch http://de.wikipedia.org/wiki/Basiswechse...rraum)#Beispiel

Gruß,
Reksilat.
Lotti20 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Transformationsmatrix
wieso ist die transformaionsmatrix falsch?!

ich hab die so berechnet in dem ich

Transformationsmatrix= invers A* B

und invers A hab ich mit

(A Strich E) durch Zeilenumformung (E Strich Invers A)
ist das so falsch?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Transformationsmatrix
Das was Du berechnet hast, ist die Matrixdarstellung des Basiswechsels von nach . (Dies immerhin richtig.)
Wenn Ihr diese mit bezeichnet, dann ist das OK. Bei Wiki ist es eben andersrum und mit deren Bezeichnung hast Du berechnet.

Beispiel:
Es ist Und außerdem:
Deshalb steht in der Basistransformationsmatrix von nach in der ersten Spalte

Gruß,
Reksilat.
 
 
Lotti20 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Transformationsmatrix
also muss ich auf die reihenfolge beim T achten ,also was unten steht und was oben?

dachte man könnte dann einfach umdrehen.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Transformationsmatrix
Aber es ist doch klar, dass man darauf achten muss, von welcher Basis man ausgeht und welche das Ziel ist. Wieso sollte das egal sein?
Übrigens ist (mit der Wiki-Bezeichnung):
Gabi90 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Transformationsmatrix
Lotti, du hast es aber richtig herum gemacht, da wir es in der Vorlesung andersrum als bei Wikipedia definiert haben (er ist doch irgendwie nach dem Fischer gegangen)...
Lotti20 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Transformationsmatrix
hab jetz nochmal eine transformationsmatrix berechnet.
kannst du mir sagen ob die richtig ist?

-2/3 1/3 1/3
-1/3 -1/3 0
1/3 1/3 1/3
Lotti20 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Transformationsmatrix
oh, sry
hatte michverrechnet...

also ich geh das mal nochmal durch und schreib dann noch mal
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Transformationsmatrix
Was genau wolltest Du denn berechnen?

Schauen wir uns die erste Spalte an:
Es ist
Also ist Deine Matrix nicht die Transformationsmatrix von nach .

Beachte bitte auch den Hinweis von Gabi. Wie Ihr Eure Transformationsmatrizen bezeichnet, kann ich leider nicht wissen. Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.
Lotti20 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Transformationsmatrix
also ich habe jetz auch noch eine transformationsmatrix heraus..aber irgendwie ist dort immernoch ein rechenfeler drin

meine matrix ist jetz

1/3 1/3 2/3
-4/3 -1/3 -1/3
2/3 2/3 2/3


wenn ich diese dann mit

3
-2
4

multipliziere erhalte ich
3
-14/3
10/3


aber wir hatten hier auf andere rechenweise bereits herausbekommen dass der vektor v bezgl. B

v=7/3u1-14/3u2+10/3u3

aber das heißt bei mit ist oben die 3 falsch..

kannst du mir helfen, den rechenfehler zu finden?
Gabi90 Auf diesen Beitrag antworten »

warum nimmst du nicht die andere (deine erste) Matrix, wir hatten das wirklich in der Mitschrift so definiert.
und wenn du dann Aufgabe b) machst, musst du glaube ich nur die Transformationsmatrix mit dem Vektor v=(1,7,2) multiplizieren und erhältst dann die Koordinaten bezüglich B: (-8,9,2)

und ich glaub das wars dann schon...
oder reksilat?
Lotti20 Auf diesen Beitrag antworten »

@ gabi

ich nehme nicht meine erste Matrix,weil mir hier gesagt wurde, dass diese falsch ist, daher hab ich probiert es anders zu machen und kam dann zu dem hier...

vl. sollten wir das einfach so aufschreiben, wie wirs shcon hatten?
Gabi90 Auf diesen Beitrag antworten »

er hat doch nicht gesagt, das sie falsch ist. Sondern nur, dass bei Wiki für T(oben A unten B) steht B^-1*A . Dann hat er gesagt, dass das aber jeder anders definieren kann : wir haben: T (oben A unten B)= A-1*B
Und genau das hast du gemacht und dann hat er gesagt, wenn wir es so definiert haben, ist deine Matrix dann richtig berechnet!

Hab es auch grad gemacht und komme auf dasselbe. Und bei b) ist es wirklich nur T(oben A unten B)* v= Koordinaten von v bezüglich A

Das was wir erst gemacht hatten mit der Linearkombination war glaub ich nicht Sinn der Aufgabe, so wie ich mir das alles angeguckt hba.
Ich glaub, jetzt sind wir mit der Aufgabe fertig Augenzwinkern
Gabi90 Auf diesen Beitrag antworten »

sorry, ich meinte:

Und bei b) ist es wirklich nur T(oben A unten B)* v= Koordinaten von v bezüglich B
Lotti20 Auf diesen Beitrag antworten »

achso, ja stimmt...

ok, dann habn wirs ja dann...

danke für geduld und hilfe
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Am Ende noch ein Kommentar
Hier kann man sich was entnehmen:

[Artikel] Basiswechsel

Mit matlab auch was ausrechnen lassen. Das Programm macht weit mehr. B1 ist euer A, B2 euer B. Die gesuchten Matrizen sind dann S und TI(nvers). Was bei Euch nun "oben" und "unten" steht, weiß ich nicht.

Sorry für's dawzischenquatschen. Wink

code:
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73:
 
>> Basiswechsel2
 
Für eine lin. Abb. F: V->W werden Basiswechsel berechnet
 
Lin. Abb. zwischen V->W eingeben
 
             M1            
     B1 ----------> B1     
     /\             /\     
     |               |     
V    S               T    W
     |               |     
     |               |     
     B2 ----------> B2     
             M2            
 
Dimension von V: n= 3
Dimension von W: m= 3
 
Koordinaten der Basis 1 von V eingeben (als Zeilenvektoren!): 
Vektor 1: [1,1,0]
Vektor 2: [1,0,1]
Vektor 3: [0,1,1]
Koordinaten der Basis 2 von V eingeben (als Zeilenvektoren!): 
Vektor 1: [-1,1,0]
Vektor 2: [0,-1,1]
Vektor 3: [1,0,2]
 
Koordinaten der Basis 1 von W eingeben (als Zeilenvektoren!): 
Vektor 1: [1,1,0]
Vektor 2: [1,0,1]
Vektor 3: [0,1,1]
Koordinaten der Basis 2 von W eingeben (als Zeilenvektoren!): 
Vektor 1: [-1,1,0]
Vektor 2: [0,-1,1
]
Vektor 3: [1,0,2]
 
M bzgl. Basis 1 oder Basis 2 gegeben? 1
 
M = [1,0,0;0,1,0;0,0,1]
 
y=(TI*M1*S)x=M2x

S =

         0   -1.0000   -0.5000
   -1.0000    1.0000    1.5000
    1.0000         0    0.5000


M1 =

     1     0     0
     0     1     0
     0     0     1


TI =

   -0.3333   -0.3333    0.6667
   -1.3333   -0.3333   -0.3333
    0.6667    0.6667    0.6667


M2 =

    1.0000         0         0
         0    1.0000   -0.0000
         0         0    1.0000

Gabi90 Auf diesen Beitrag antworten »

danke, gut zu wissen, was man alles so mit programmen machen kann smile
Das ist wirklich sehr hilfreich.

Nur noch eine Frage:
Ist die Transformationsmatrix des Basiswechsels von A nach B jetzt S oder TI?
Die muss ich ja dann für unsere b) Aufgabe nehmen.

Oder hängt das auch mit verschiedenen Def. zusammen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

S Bildet von B2(B) nach B1(A) ab. Diagramm ganz oben anschauen. D.h. Vektor-Koordinaten bzgl. B2 rein und raus kommen die Vektor- Koordinaten bzgl. B1.

code:
1:
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3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
Koordinaten der Basis 1 von V eingeben (als Zeilenvektoren!): 
Vektor 1: [1,1,0]
Vektor 2: [1,0,1]
Vektor 3: [0,1,1]
Koordinaten der Basis 2 von V eingeben (als Zeilenvektoren!): 
Vektor 1: [-1,1,0]
Vektor 2: [0,-1,1]
Vektor 3: [1,0,2]


Das macht man sich am besten mit einem Beispiel klar. Wir wählen den Vektor [0,1,2] (Koordinaten bzgl der Standardeineitsabasis). Der hat dann bzgl. B2(B) die Koordinaten [1,0,1] und bzgl. B1(A) [-0.5,0.5,1.5]. Machen wir die Matrixprobe.

code:
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14:
15:
S=[0,-1,-0.5;-1,1,1.5;1,0,0.5]

S =

         0   -1.0000   -0.5000
   -1.0000    1.0000    1.5000
    1.0000         0    0.5000

>> S*[1;0;1]

ans =

   -0.5000
    0.5000
    1.5000
Gabi90 Auf diesen Beitrag antworten »

oh danke, aber in deinem ersten Diagramm würde ja auch TI von B (B2)nach A (B1) abbilden.

müsste der Pfeil in dem Diagramm dann nicht andersherum (von B1 nach B2)?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, mein Diagramm stimmt. Aber da steht ja auch T und nicht TI drin. Big Laugh

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10:
11:
Lin. Abb. zwischen V->W eingeben
 
             M1            
     B1 ----------> B1     
     /\             /\     
     |               |     
V    S               T    W
     |               |     
     |               |     
     B2 ----------> B2     
             M2          
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