Unabhängigkeit von Zufallsvariablen

02.07.2010, 23:45

Gunter Hagemann

Unabhängigkeit von Zufallsvariablen

Hallo,

Seien $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ unabhängige Zufallsvariablen. Sind dann auch $\begin{eqnarray*} f(X) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(Y) \end{eqnarray*}$ unabhängig? Wobei f und g beliebige Funktionen sind. Ich kann das mit der Definition über Verteilungsfunktionen nur für invertierbare Funktionen f und g zeigen. Ideen?

03.07.2010, 00:51

wisili

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RE: Unabhängigkeit von Zufallsvariablen
Ja. (Satz 19.1.3)

03.07.2010, 02:18

Gunter Hagemann

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RE: Unabhängigkeit von Zufallsvariablen
Damit kann man nur beweisen, dass es für invertierbare Funktionen f un g gilt, nicht aber für beliebige.

03.07.2010, 02:20

Gunter Hagemann

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RE: Unabhängigkeit von Zufallsvariablen
Ups, da habe ich nicht richtig hingesehen. Ok, wenn es gilt, müsste es ja auch beweisbar sein. Ich sehe leider nicht wie man hier vorgeht. Wie gesagt ich kann es nur für invertierbare Funktionen zeigen.

03.07.2010, 09:33

wisili

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RE: Unabhängigkeit von Zufallsvariablen
Ich kann dir mit dem Link nur die Sicherheit verstärken, dass deine Vermutung stimmt. Für einen Beweis fühle ich mich zuwenig vertraut mit der Materie.

03.07.2010, 09:40

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Zitat:

Original von Gunter Hagemann
Damit kann man nur beweisen, dass es für invertierbare Funktionen f un g gilt, nicht aber für beliebige.

Nein, es gilt für beliebige (messbare) Funktionen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ .

Vielleicht denkst du, dass es nur für invertierbare gilt, weil in diesbezüglichen Beweisen immer wieder $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g^{-1} \end{eqnarray*}$ auftaucht. Die sind aber da als Mengenabbildungen zu verstehen, es geht da um Urbilder - und die existieren wie gesagt für beliebige messbare Funktionen.

EDIT: Siehe auch

Unabhängigkeit von Zufallsgrößen

03.07.2010, 22:58

Gunter Hagemann

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Danke Arthur,

kannst du mal ein Beispiel für eine nicht messbare Funktion geben?

Danke

04.07.2010, 08:09

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Aber gern: $\begin{eqnarray*} f = 1_N \end{eqnarray*}$ , also die Indikatorfunktion einer Nicht-Borelmenge $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ . Zu deren Existenz siehe z.B.

http://en.wikipedia.org/wiki/Borel_set#Non-Borel_sets

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