Was genau ist ein Vektoraum und die Basen

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tiffy Auf diesen Beitrag antworten »
Was genau ist ein Vektoraum und die Basen
Meine Frage:
Hallo,
Ich verstehe nicht ganz was genau ein Vektorraum sein soll, bzw sehe ich keinen sinn (auch wenn mathe sinnfrei ist) hinter meiner Erklärung wofür man das braucht. das selbe gilt für Basen.



Meine Ideen:
Also ein Vektorraum habe ich bissher so verstanden:
Im R² sind das zwei Vektoren mit je zwei Argumenten. Die beiden Vektoren stehen jedoch senkrecht zu ein ander und können durch eine längen Änderrung des Vektors jeden anderen Vektor im R² darstellen, bzw auf ihn zeigen. Ich finde aber Vektorraum ist dann ein falscher begriff, ein Raum wäre doch eher sowas wie die Natürlichen oder Reelen Zahlen.
Wenn man Vektorraum liest, denkt man doch eher daran das der Vektor nur aus Reelen Zahlen bestehen darf oder so?

Eine Basis habe ich bisher so verstanden:
Ich habe ein Vektor A, eine Basis wäre jetzt die geringste anzahl von Vektoren die ich durch aufspalten von A ereiche um den Vektor A darzustellen.
aber wäre die geringste anzahl nicht grade der Vektor A? Mit disen Vektor A kann ich ja den Vektor A genau mit einen Vektor darstellen?

Außerdem würde mich mal intressieren was eine Basis von einer Matrix sein soll?

ansonsten klingt die Beschreibung die man finden zu Vektorräumen und Basen irgend wie nach Vektorraum = Basis

danke
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Was genau ist ein Vektoraum und die Basen
Zitat:
Original von tiffy
bzw sehe ich keinen sinn (auch wenn mathe sinnfrei ist)


Das ist eine sehr starke Aussage unglücklich

Zitat:
Original von tiffy
Also ein Vektorraum habe ich bissher so verstanden:
Im R² sind das zwei Vektoren mit je zwei Argumenten. Die beiden Vektoren stehen jedoch senkrecht zu ein ander und können durch eine längen Änderrung des Vektors jeden anderen Vektor im R² darstellen, bzw auf ihn zeigen.


Das hat genau gar nichts mit einem Vektorraum zu tun. Ein Vektorraum ist eine algebraische Struktur -> Vektorraum, Basis eines Vektorraums

Wie habt ihr den Vektorraum denn eingeführt? So wie du das beschreibst redet ihr weniger über Vektorräume sondern vielmehr über den (sehr speziellen) Vektorraum bzw. .
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Was genau ist ein Vektoraum und die Basen
Für die Schulmathematik ist das Modell wohl erst mal schwer vorstellbar. Iorek sagte ja schon, wo man die Grundlagen findet.

Spielen wir ein wenig. Wir beide stehen im Raum (2D betrachtet) auf einem Punkt. Denn wollen wir mal Ursprung nennen. Wir haben auch ein gemeinsames Ziel vor Augen. Ein Zielpunkt (als Element der IR²) haben wir auch vor Augen. Wir laufen hin. Wieder stehen wir am gleichen Punkt. Du sagt (Den Punkt nenne ich (8, 4), weil ich 8 Schritte geradeaus und 4 nach links gegangen bin). Ich sage: Nein, nein. Der Punkt heißt (4, 2), weil ich 4 Schritte nach vorne und 2 Schritte nach links gelaufen bin.

Wer hat nun Recht. Wir beide. Wir beschreiben den gleichen Vektor (Element des VR IR²) nur bezüglich seinen Koordinaten bzgl. unserer verschiedenen (Schritt)basen.

smile
tiffy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Was genau ist ein Vektoraum und die Basen
Zitat:
Original von Iorek
Zitat:
Original von tiffy
bzw sehe ich keinen sinn (auch wenn mathe sinnfrei ist)


Das ist eine sehr starke Aussage unglücklich


wieso ist die Aussage falsch?

Zitat:

Zitat:
Original von tiffy
Also ein Vektorraum habe ich bissher so verstanden:
Im R² sind das zwei Vektoren mit je zwei Argumenten. Die beiden Vektoren stehen jedoch senkrecht zu ein ander und können durch eine längen Änderrung des Vektors jeden anderen Vektor im R² darstellen, bzw auf ihn zeigen.


Das hat genau gar nichts mit einem Vektorraum zu tun. Ein Vektorraum ist eine algebraische Struktur -> [/URL]

Wie habt ihr den Vektorraum denn eingeführt? So wie du das beschreibst redet ihr weniger über Vektorräume sondern vielmehr über den (sehr speziellen) Vektorraum bzw. .


ja die wiki Texte verstehe ich leider dazu nicht ganz, bzw habe ich hier genau mein wissen her.

bissher fast garnicht.
Der Unterricht viel aus und soviel haben wir dazu nicht gemacht. Mein Lehrer meinte nur das es sehr wichtig sei auch für die Klausur und das wir uns damit selber auseinander setzen sollten.


Zitat:
Original von tigerbine
Für die Schulmathematik ist das Modell wohl erst mal schwer vorstellbar. Iorek sagte ja schon, wo man die Grundagen findet.

Spielen wir ein wenig. Wir beide stehen im Raum (2D betrachtet) auf einem Punkt. Denn wollen wir mal Ursprung nennen. Wir haben auch ein gemeinsames Ziel vor Augen. Ein Zielpunkt (als Element der IR²) haben wir auch vor Augen. Wir laufen hin. Wieder stehen wir am gleichen Punkt. Du sagt (Den Punkt nenne ich (8, 4), weil ich 5 Schritte geradeaus und 4 nach Links gegangen bin). Ich sage: Nein, nein. Der Punkt heißt (4, 2), weil ich 4 Schritte nach vorne und 2 Schritte nach links gelaufen bin.

Wer hat nun Recht. Wir beide. Wir beschreiben den gleichen Vektor (Element des VR IR²) nur bezüglich seinen Koordinaten bzgl. unserer verschiedenen (Schritt)basen.

smile


hmm sorry verstehe ich nicht ganz
ich nehmme an das ich den Punkt (5, 4) nennen will oder?
wenn ich 4 Schritte gradeaus gehen will, heißt es nicht das ich automatisch auf der X-Achse laufe oder?
Also könnte ich zuerst zum Punkt (5, 0) laufen, Entfernung 5 von (0, 0)
und du mit deinen 4 Schritten nach vorne zum Punkt (2, 2), Entfernung 4 von (0, 0)

dann laufe ich 4 Schritte nach links also zum Punkt (5, 4), Entfernung 4 von (5, 0)
und du läufst 2 Schritte nach links... ok dann stehen wir nicht am selben Punkt.

Aber was ist den jetzt genau der Vektorraum und was die Basis.
bisher sehe ich immer noch meine Erklärung daraus
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Was genau ist ein Vektoraum und die Basen
Zitat:
Original von tigerbine
Für die Schulmathematik ist das Modell wohl erst mal schwer vorstellbar. Iorek sagte ja schon, wo man die Grundlagen findet.

Spielen wir ein wenig. Wir beide stehen im Raum (2D betrachtet) auf einem Punkt. Denn wollen wir mal Ursprung nennen. Wir haben auch ein gemeinsames Ziel vor Augen. Ein Zielpunkt (als Element der IR²) haben wir auch vor Augen. Wir laufen hin. Wieder stehen wir am gleichen Punkt. Du sagt (Den Punkt nenne ich (8, 4), weil ich 8 Schritte geradeaus und 4 nach links gegangen bin). Ich sage: Nein, nein. Der Punkt heißt (4, 2), weil ich 4 Schritte nach vorne und 2 Schritte nach links gelaufen bin.

Wer hat nun Recht. Wir beide. Wir beschreiben den gleichen Vektor (Element des VR IR²) nur bezüglich seinen Koordinaten bzgl. unserer verschiedenen (Schritt)basen.

smile


Ich hatte den Tippfehler doch schon editiert. Erstaunt2 Du läufst in deiner Schrittgröße ich in meiner. Da ich doppelt so große Schritte mache wie du Big Laugh muss ich nur 4 nach vorn, 2 nach links. In meiner Messung also (4,2). Du. mit deinen kleinen Tippelschritten, musst 8 nach vorn und 4 zur Seite. Also (8,4). Dennoch stehen wir am gleichen Punkt. Augenzwinkern

Soweit verstanden? Es zwingt uns auch niemand "rechtwinklig" zu laufen. Dennoch reichen 2 (linear unabhängige) Richtungen aus, um jeden Punkt in der Ebene IR² zu erreichen.

Der VR sind alle "Punkte" im IR². Die Basis gibt uns ein Mittel, diesen Punkten Namen/Koordinaten zu geben.
tiffy Auf diesen Beitrag antworten »

"und du mit deinen 4 Schritten nach vorne zum Punkt (2, 2), Entfernung 4 von (0, 0)"

das ist natürlich falsch.
 
 
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Was genau ist ein Vektoraum und die Basen
Zitat:
Original von tiffy
Zitat:
Original von Iorek
Zitat:
Original von tiffy
bzw sehe ich keinen sinn (auch wenn mathe sinnfrei ist)


Das ist eine sehr starke Aussage unglücklich


wieso ist die Aussage falsch?


Weil Mathe alles andere als "sinnfrei" ist, aber das ist ein anderes Thema.

Zitat:
Original von tiffy
"und du mit deinen 4 Schritten nach vorne zum Punkt (2, 2), Entfernung 4 von (0, 0)"

das ist natürlich falsch.


Wieso sollte das falsch sein? Die Entfernung von (0;0) zu (2;2) beträgt 4.
tiffy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Was genau ist ein Vektoraum und die Basen
Zitat:
Original von tigerbine
Zitat:
Original von tigerbine
Für die Schulmathematik ist das Modell wohl erst mal schwer vorstellbar. Iorek sagte ja schon, wo man die Grundlagen findet.

Spielen wir ein wenig. Wir beide stehen im Raum (2D betrachtet) auf einem Punkt. Denn wollen wir mal Ursprung nennen. Wir haben auch ein gemeinsames Ziel vor Augen. Ein Zielpunkt (als Element der IR²) haben wir auch vor Augen. Wir laufen hin. Wieder stehen wir am gleichen Punkt. Du sagt (Den Punkt nenne ich (8, 4), weil ich 8 Schritte geradeaus und 4 nach links gegangen bin). Ich sage: Nein, nein. Der Punkt heißt (4, 2), weil ich 4 Schritte nach vorne und 2 Schritte nach links gelaufen bin.

Wer hat nun Recht. Wir beide. Wir beschreiben den gleichen Vektor (Element des VR IR²) nur bezüglich seinen Koordinaten bzgl. unserer verschiedenen (Schritt)basen.

smile


Ich hatte den Tippfehler doch schon editiert. Erstaunt2 Du läufst in deiner Schrittgröße ich in meiner. Da ich doppelt so große Schritte mache wie du Big Laugh muss ich nur 4 nach vorn, 2 nach links. In meiner Messung also (4,2). Du. mit deinen kleinen Tippelschritten, musst 8 nach vorn und 4 zur Seite. Also (8,4). Dennoch stehen wir am gleichen Punkt. Augenzwinkern

Soweit verstanden?


ok ich glaube schon, wobei ich es merkwürdig finde in der Mathematik zwei verschiedene Messeinheiten zu benutzten

Zitat:

Es zwingt uns auch niemand "rechtwinklig" zu laufen. Dennoch reichen 2 (linear unabhängige) Richtungen aus, um jeden Punkt in der Ebene IR² zu erreichen.


ok

Zitat:

Der VR sind alle "Punkte" im IR². Die Basis gibt uns ein Mittel, diesen Punkten Namen/Koordinaten zu geben.


ah ok, also wenn du schreibst ein VR in R²
heißt das einfach nur das mein Vektor in einer 2D Fläche mit allen Reelen Zahlen liegen muss. oder?
was bedeutet das I im IR²?

kannst du mir die Basis noch mal etwas genauer beschreiben bitte?
bei wiki wird eine Basis B = {b1, b2...} so beschrieben, ist das jetzt auch wieder ein Vektor?

----
Mein Lehrer meinte das Mathe nicht Sinnlos sei, aber Sinnfrei
in der Mathematik geht es darum auch sachen zu berechnen die eigendlich keine Reelen Wert haben. In der Physik ist das anders, da muss die Mathematik auch Sinn haben.

Wurzel(2² + 2²) = Wurzel(8) ist nicht gleich 4
ich hoffe ich habe mich jetzt nicht total blamiert oder doch?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Was genau ist ein Vektoraum und die Basen
Zitat:
Original von tiffy
Wurzel(2² + 2²) = Wurzel(8) ist nicht gleich 4
ich hoffe ich habe mich jetzt nicht total blamiert oder doch?


Ach du...natürlich hast du nicht blamiert, die Blamage liegt eher bei mir Forum Kloppe

Da vertraue ich einmal auf die Aussage und rechne auch noch selbst falsch nach, muss die Hitze sein böse
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Was genau ist ein Vektoraum und die Basen
Was wäre die Physik ohne die Mathematik. böse Und in Sprachen entsteht Sinn auch nicht dadurch, dass man die Wörter in verschiedene Klassen einteilt. Zu Beginn eines jeden Abschnitts müssen wir eben erstmal eine Sprache definieren, in der wir uns unterhalten wollen.

Zur Basis. Bitte nun nicht jedes meiner Worte 1 zu 1 mit dem Wikiartikel vergleichen wollen. Das geht nicht. Dann müßte ich abstrakt reden, um mathematisch gaz korrekt zu sein. Es geht nun doch erst mal darum ein Gefühl für die Begriffe zu bekommen.

IR steht für reele Zahlen. mit latex. Big Laugh

Der Boden (Ebene) auf dem wir laufen, soll der IR² sein. Wie du nachgelesen hast, braucht man bei einem VR, der mehr ist als nur eine Menge von "Punkten" einen Ursprung. Da stehen wir beide nun. Big Laugh Den nennen wir beide auch immer (0,0).

Nun wollen wir was erleben und ein wenig im Raum rumlaufen. Du sagst: lass uns mal nach (8,4) gehen und tippelst los. Ich laufe auch 8 Schritte nach vorne und 4 nach links. Wir stehen aber nicht am gleichen Punkt. Nun könnten wir streiten, wer was falsch gemacht hat.

Die Lösung ist aber, dass wir beide den IR² mit anderen Basen ausgestatten haben. Ich mache ja doppelt so große Schritte wie du. In meiner Messung ist dein Punkt (8,4) eben der Punkt (4,2). Formal

Wir erkennen, dass Koordinaten von Vektoren nichts aussagen, solange man nicht zu zugehörige Basis kennt. Das sollte das hier widerlegen.

Zitat:
ansonsten klingt die Beschreibung die man finden zu Vektorräumen und Basen irgend wie nach Vektorraum = Basis


Eine Basis des IR² ist eine Menge von 2 linear unabhängigen Vektoren. Durch Linearkombination dieser Vektoren können wir jeden (unendlich viele) Vektor im Vektorraum IR² darstellen.
tiffy Auf diesen Beitrag antworten »

Ok und wie sind in der Basis jetzt meine tippelschritte und deine Sprünge definiert?

Ich hätte ja als Basis den Vektor (8, 0) und den Vektor (0, 4)
du hättest als Basis den Vektor (4, 0) und den Vektor(0, 2)

Außerdem, darf ich den überhaupt die Vektoren als Basis so angeben?
weil jetzt hätten sie ja eine Feste Länge und ich könnte nicht mehr jeden Punkt damit erreichen, oder?
eigendlich müsste ein Vektor ja nur eine Richtung haben, dürfte aber keine feste länge besitzen um als Basis Vektor erlaubt zu sein, oder nicht?


noch eine kurze zwischen Frage
VR von N²
Damit sind nur Vektoren von Natürlichen Zahlen erlaubt, also zb V(2, 2).
dieser besitzt aber nun eine Länge die nicht in N liegt, sondern in R, wäre dieser Vektor trotzdem Richtig in N²?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Hier wird es trickreich. Um Basisvektoren konkret beschreiben zu können, braucht man ja wieder eine Basis. Tränen Daher führt man die Standardeinheitsbasis ein. Die ist z.B. das was du machst, wenn du ein xy-Koordinatensystem einfach hinzeichnest.

Nun sei deine Basis diese Standardbasis. (1,0) und (0,1) . Also 8 mal (1,0) und 4 mal (0,1) macht dann (8,4).

Meine Basis - umgerechnet in deine - ist dann (2,0) und (0,2). 4 mal (2,0) und 2 mal (0,2) ist dann auch (8,4). Aber in meinen Basiskoordinaten eben (4,2).

Man darf die so angeben. Die Zahl vor dem Basisvektor macht es möglich, jeden Vektor/Punkt zu erreichen.


Zitat:
noch eine kurze zwischen Frage
VR von N²
Damit sind nur Vektoren von Natürlichen Zahlen erlaubt, also zb V(2, 2).
dieser besitzt aber nun eine Länge die nicht in N liegt, sondern in R, wäre dieser Vektor trotzdem Richtig in N²?


http://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum#Formale_Definition

Du brauchst die Skalare aus einem Körper. Da könnte man Z nehmen, um ganzzahlig zu sein. Zur Längenmessung brauchst du eine Norm. Da darfst du nun aber nicht einfach eine nehmen, die dir gerade so einfällt. Sondern eine die auf diesem VR eben definiert ist. Das weiter auszuführen, führt über das hinaus, was ich zeitlich in diesen Thread investieren kann.

Ich werfe mal noch die Begriffe VR über Körper und endliche Körper in den "Raum".
tiffy Auf diesen Beitrag antworten »

ok die Basis sind dann irgendwelche Vektoren die Linearunabhängig sind
zb (1,0) und (0,1)
was ist mit der Zahl vor den Vektor, also zb die 8 gehört die auch noch zur Basis?
und das unsere Schritte um den Faktor 2 unterscheiden, muss ich das irgendwie mit angeben, gibt es eine Standart Basis auf die man bezug nehmen muss?

und was haben die Reelen Zahlen mit Latex zu tun?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Standard

mit latex kann man die mathematischen Symbole korrekt schreiben.

die 8 und die 4 stammen aus dem Skalarkörper, der eben auch zu einem VR gehört. Damit kann man die Vektoren dann kombinieren.

Was meinst du mit angeben? Wir haben 2 verschiedene Basen, bzgl. der wir die Elemente des VR konkret bennen. Das wollte ich zum Ausdruck bringen.
tiffy Auf diesen Beitrag antworten »

ah ok klar
es gibt ja theoretisch unendlich viele basen
und es macht ja nur so lange sinn einen umrechnungsfaktor anzugeben wenn ich deine basis kenne.

deswegen, würde es ja sinn machen wenn jeder seine basis auf einen standard schrittgröße umrechnet.

danke
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt unendlich viele Basen. Welche in einer Situation die richtige ist, hängst von der Situation ab. Augenzwinkern In der analytischen Geometrie nimmst du meist die Standardeinheitsbasis.

Schönen Abend! Wink
tiffy Auf diesen Beitrag antworten »

danke
tiffy Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

da wir ja gestern erfolgreich geklärt hatten was eine Basis ist.
Jetzt habe ich aber noch die frage was die Basis einer Matrix ist?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Tränen Die Frage zeigt schon, dass du die Begriffe nicht richtig verstanden hast.

Eine Matrix in in einem endlich dimensionalen VR [wie dien IR²] eine Möglichkeit einer speziellen Art von Abbildung, nämlich der linearen Abbildung ein schönes Gesicht zu geben. Da wir Vektoren als Input und als Output haben, kommen wir ja wieder zu der Frage, wie wollen wir Vektoren aufschreiben.

Gestern haben wir gelernt, dass wir Vektoren als Elemente des VR bzgl. ihrer Koordinaten in einer bestimmten Basis angeben. Somit ist es möglich, die Abbidungsvorschrift in Form einer Matrix zu notieren.
tiffy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Tränen Die Frage zeigt schon, dass du die Begriffe nicht richtig verstanden hast.

Eine Matrix in in einem endlich dimensionalen VR [wie dien IR²] eine Möglichkeit einer speziellen Art von Abbildung, nämlich der linearen Abbildung ein schönes Gesicht zu geben. Da wir Vektoren als Input und als Output haben, kommen wir ja wieder zu der Frage, wie wollen wir Vektoren aufschreiben.

Gestern haben wir gelernt, dass wir Vektoren als Elemente des VR bzgl. ihrer Koordinaten in einer bestimmten Basis angeben. Somit ist es möglich, die Abbidungsvorschrift in Form einer Matrix zu notieren.


ja schon, aber wie sieht sowas den für eine Matrix aus?

Das Thema in dem wir uns grade befinden geht um Eigenvektoren und hier heißt es das eine Matrix Diagonalisierbar ist, wenn es eine Basis gibt die im VR liegt.
Die Basisvektoren, sind dann die Eigenvektoren.

nochmals viel vielen dank
lg tiffy
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Was macht ihr denn im Unterricht. Ich kann doch hier keine private Einführung in die Lineare Algebra geben. geschockt du kommst hier mit Begriffen, für die man an der Uni sich mal 2 Semester Zeit nimmt um sie sauber zu erklären. Forum Kloppe

Zitat:
Der Unterricht viel aus und soviel haben wir dazu nicht gemacht. Mein Lehrer meinte nur das es sehr wichtig sei auch für die Klausur und das wir uns damit selber auseinander setzen sollten.


Was ein Schwachsinn! Das fördert nur gefährliches Halbwissen. böse


1. Was ist eine lin. Abbildung: http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Abb...male_Definition

2. Will man sie beschreiben, dann reicht es, die Bilder der Basisvektoren zu kennen. Warum, weil wir jeden Vektor eines VR als Linearkombination dieser Basisvektoren darstellen kann. Wir nehmen nun den Fall an:

a) Wir statten den VR mit einer Basis aus. Der Standardeinheitsbasis. Der VR ist der IR², die Basis also (1,0)^T, und (0,1)^T. Transponiert, weil wir nachher mit der Matrix rechnen wollen.

b) Wir bezeichnen alle Vektoren im VR bzgl. dieser Basis.

3. In die Spalten der Matrix, die unsere lin. Abbildung darstellen soll, kommen die Bilder der Vektoren (1,0)^T, und (0,1)^T. Dann kann man das Bild von jedem Vektor ausrechnen.

http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Abb...bbildungsmatrix

4. Hat die Abbildung spezielle Eigenschaften? Gibt es zum Beispiel Eigenvektoren.

http://de.wikipedia.org/wiki/Eigenwertproblem#Definition

Zitat:
Das Thema in dem wir uns grade befinden geht um Eigenvektoren und hier heißt es das eine Matrix Diagonalisierbar ist, wenn es eine Basis gibt die im VR liegt.


Was ein Unsinn. Wo sollten die Basisvektoren denn sonst liegen, als im Vektorraum. Das hat nichts mit Diagonalisierbar zu tun. Es muss eine Basis aus Eigenvektoren geben.


Es macht imho wenig Sinn, auf allgemeinem Niveau weiter zu reden. Du kannst konkrete Aufgaben aus deinem Schulbuch einstellen. Die dann jemand mit dir - in einem neuen Thread - lösen kann. Denn die Theorie sind wie gesagt 2 Semester an der Uni und nicht ein Chat am Sonntagnachmittag. Wink

[die Wut bezieht sich auf deinen Schulunterricht. nicht persönlich nehmen]
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