Minimalpolynom bestimmen

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Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »
Minimalpolynom bestimmen
Hey!

Ich habe das meiste einer Aufgabe schon gelöst, aber beim bestimmen des Minimalpolynoms habe ich noch Schwierigkeiten. Vielleicht kann mir jamend von euch helfen.

Gegeben habe ich folgendes:

Sei V ein 3-dim Q-VR, (, , ) ein K-Basistupel von V und phi ein Endomorphismus.
phi = - 3 - +
(v_2)phi = - - 2
(v_3)phi = 2 - 5

Ich habe bereits den Eigenwert bestimmt, dass ich -3 (tritt drei mal auf).

Außerdem habe ich schon raus, dass Kern (-3id - phi) = <2 + , 2 + > und char(phi) = (t+3)³.

Nun muss ich noch das Minimalpolynom bestimmen und die Lösung soll (t+3)² sein, da:
(t+1)phi 0 und (t+1)²phi = 0 ist.
Ich weiß allerdings nicht, wie ich dieses nachrechnen kann.

Aber wie wende ich phi auf mein (t+1) an?


Ich soll die gleiche Aufgabe auch noch berechnen für folgende Werte:
()phi = -6 + 9 + 9
()phi = -5 + 11 + 14
(v_3)phi = 4 - 11 - 14

Der Eigenwert ist dort auch wieder -3, ebenso ist wieder char(phi) = (t+3)³.
Aber ich kann leider hier nicht den Kern bestimmen (obwohl es ja eigentlich analog zu der ersten Aufgabe gehen müsste ... klappt bei mir aber nicht unglücklich und das mit dem Minimalpolynom bekomme ich auch nicht hin.

Wäre klasse, wenn mir jemand weiter helfen könnte!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Es wird nicht auf angewendet, sondern auf . Oder besser gesagt: Der Abbildung wird in das Polynom eingesetzt.

Beispiel:





Und hierin bedeutet zum Beispiel . Fürs praktische Rechnen nimmst du statt die bezüglich der vorgegebenen Basis beschreibende Matrix . So hast du vermutlich auch das charakteristische Polynom ermittelt. Im Beispiel wäre das



Und statt der Verkettung von Abbildungen hast du jetzt die Multiplikation von Matrizen.
 
 
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

Eine einfach variante um zu zeigen dass es das minimal polynom ist, ist einfach die abbildungsmatrix einzusetzen.

Also z.b. im deinem Fall für (t+3)^3



En soll die Einheitsmatrix sein.

Gruß

edit: war zu spät,... läuft aufs gleiche hinaus smile
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Minimalpolynom bestimmen
Ich danke euch beiden für eure Antworten!! Ich beide verstanden *g* und konnt es auch gleich anwenden und komme nun auch darauf, dass es bei t+1 noch nicht 0 wird, aber das (t+1)²=0 gilt *freu*

Zitat:
Original von Claudia105
Ich soll die gleiche Aufgabe auch noch berechnen für folgende Werte:
()phi = -6 + 9 + 9
()phi = -5 + 11 + 14
()phi = 4 - 11 - 14


Ich habe bereits:
Eigenwert = -3
char = (t+3)³
und wegen eurer Hilfe auch schon: min( ) = (t+3)³

Mir fehlt nun noch der Kern bzw ich soll eigentlich für alle j aus N (den nat. Zahlen) eine Basis von Kern (d*id - )^j angeben.

Bei der ersten Aufgabe hat es ja geklappt, aber hier bekomme ich es nicht hin unglücklich

Ich habe erst mal (d*id - phi) ausgerechnet. Das ist



Dann weiß ich, dass gilt: Kern ( ) = {| a, b, c aus Q}

Daraus habe ich erstellt:
a () + b () + c () = 0.

Dann komme ich nicht weiter. Bei der ersten Aufgabe, konnte man schön umformen und kam nachher auf a = 2b + 2c und das konnte ich dann in den Kern einsetzen, aber hier bekomme ich nichts raus, was mir weiter hilft verwirrt

Vielleicht kann mir von euch jemand weiter helfen? (auch wenn es ja eigentlich nicht mehr zum Betreff des Thread passt *g*)
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mal die Abbildungsmatrix aufgeschrieben:



den kern kannst du durch zeilenumformungen bestimmt in dem du das gleichungssystem Ax = 0 löst.

Du bestimmst damit auch den Rang der matrix, und falls sie vollen rang haben sollte ist der kern nur der null vektor.

falls nicht vollen Rang, dann schau dir mal dieses PDF an,.. da ist unten ein beispiel wie du durch den minus eins trick den kern bestimmen kannst. Ich finde diese art den kern zu bestimmen ziemlich cool, da sehr einfach smile

http://logn.de/docs/minus_eins.pdf
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

sorry habe wohl meine Abbildungsmatrix verplant,...
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte die Abbildungsmatrix transponiert zu deiner aufgeschrieben. Wäre das schlimm? Also muss ich es zwingend so rum machen, wie du?

Unser Prof macht das nämlich irgendwie immer anders rum, als es in Büchern steht *augen verdreh*, haben unsere Übungsgruppenleiter uns auch schon mal erzählt, dass er es anders macht, als alle anderen und alle Bücher ... schön verwirrend ...

Wenn ich es mit der transponierten Abbildungsmatrix mache, komme ich auf eine Diagonalmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen, also vollen Rang und damit der Nullvektor im Kern. Stimmt das? Ich habe bestimmt irgendwas bei den Zeilenumformungen gemacht, was man nicht machen darf verwirrt

PS: Der Trick ist cool, habe ich noch nie von gehört und muss ich mal austesten. Müsste bei meiner 1. Aufgabe ja klappen, werde ich mal versuchen.
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

Hatte die Abbildungsmatrix nur verbockt, du hattest es schon richtig gemacht Augenzwinkern

Wollte eigentlich nur den formalismus sagen, da es einfacher ist das gleichungssystem

Ax = 0 zu lösen und dann eben mit dem trick den kern zu bekommen

du hattest vorher noch gesagt du willst den Kern(d*id - A) bestimmt oder?

das ist dann der Eigenraum zum eigenwert d,.. nur als weitere information Augenzwinkern
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie habe ich jetzt das Problem, dass ich bei allem eine Diagonalmatrix hinbekomme. Ich glaube, ich mache bei der Umformung irgendetwas falsch


--> --> --> --> --> --> --> -->

Da ist bestimmt was schiefgelaufen oder?

Am Ende brauche ich die Basis von Kern(d*id - phi)^j.
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn den Kern von deine Abbildungsmatrix bestimmen willst, da kommt voller Rang raus also ist Kern nur der Nullvektor das stimmt. Also hast du die umformung soweit richtig gemacht.



und du sollst den Kern für alle j bestimmen?

du weißt schonmal das für j = 2 die Nullmatrix raus kommt, also kann man auch folgern das für alle j > 1 wird die Nullmatrix raus kommen, als bräuchtest ja nur für j = 1 den kern bestimmen, was dann der Eigenraum bzgl. des Eigenwertes -3 ist.

edit: dass ist ja die zweite aufgabe,... wie sieht denn da das charateristische polynom aus? da sieht das natürlich anders aus smile aber du kannst ja meinen ansatz mal analog probieren und sagen welche j du noch prüfen solltest?
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich die Matrix aus der 1. Aufgabe umforme, komme ich nachher aber auch auf vollen Rang und da ist der Kern aber nicht der Nullvektor, sondern da sind es 2 Vektoren verwirrt

Und woher weiß ich, dass für j = 2 die Nullmatrix raus kommt? Also bei Aufgabe 1 ist es so, aber bei aufgabe 2 weiß (zumindest) ich, dass noch nicht *g* Wie bist du darauf gekommen?

Edit: bei Aufgabe 2 weiß ich doch, dass für j=3 die Nullmatrix rauskommt, also muss ich j = 1 und j=2 prüfen. Also zumindest, wenn ih (A+3*EN) betrachte.
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig,...

also musst du nur noch den Kern für j = 1 und j=2 bestimmen

ich habe die Matrix in Maple ausgerechnet und mir angeschaut ,.. also kommen schon gute ergebnisse raus.

Gruß
Tarnfara Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Claudia105
Irgendwie habe ich jetzt das Problem, dass ich bei allem eine Diagonalmatrix hinbekomme. Ich glaube, ich mache bei der Umformung irgendetwas falsch




Am Ende brauche ich die Basis von Kern(d*id - phi)^j.


Nach meinem Kenntnisstand muss es die transponierte Matrix sein, das müsstest du eigentlich im Kapitel Koordinatendarstellungen finden:

Ich bezeichne: als irgendeine Basis des . Dann ist


die sogenannte Darstellungsmatrix des Endormorphismus bzgl. der Basis S.


Nun möchte ich den Kern von berechnen. Da das Rechnen mit Matrizen einfacher ist, bilde ich also erst einmal die Darstellungsmatrix davon:




Du hast ursprünglich den Kern von deinem Homomorphismus berechnet und dabei herausbekommen, dass nur der Nullvektor im Kern liegt.

Merke:
- Immer in das Polynom einsetzen, auch wenn gelgentlich der Eigenwert 0 auftaucht und damit der Endomorphismus bei Einsetzen in das Polynom gleich bleibt.
- Vorsicht mit Vorzeichen !
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, ich weiß nun aber immer noch nicht wirklich weiter.

Ich habe meinen Eigenwert -3, und dass ich den Kern noch für j =1 und j=2 mir angucken muss und das ich meine Matrix in eine Diagonalmatrix umformen kann.

Und der Eigenraum ist gleich der Kern, wobei der EIgenraum aus den x besteht, für die gilt A(x) = dx, oder?

Aber nun weiß ich nicht weiter. Eigenraum berechnen ist mir immer noch etwas unklar, auch wenn ich diese Formel jetzt schon habe
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

@Tarnfara

du hast recht smile

@ Claudia

die Abbildsungsmatrix die ich vorher geschrieben hatte war richtig, irgendwie hatte ich dann gedacht, dass v_1 v_2 v_3 einträge in dem vektor sind, aber es sind ja die die Basis vektoren deines Vektorraums, sorry.

Was nun aber nicht weiter tragisch ist, denn der ganzen vorgänge sind dennoch die gleichen



Genau Ax = dx ,... d eigenwert und x der dazugehörige eigenvektor


edit: der eigenraum ist der kern(d * id - A) ,... nicht verwechseln mit dem Kern(A)
Tarnfara Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Claudia105

Ich habe meinen Eigenwert -3, und dass ich den Kern noch für j =1 und j=2 mir angucken muss und das ich meine Matrix in eine Diagonalmatrix umformen kann.


Du bist gerade dabei, die sogenannten "erweiterten Eigenräume" zu berechnen. Vermutlich sollst du alle Eigenräume bestimmen, eine Basis aus Eigenvektoren zu diesen Eigenwerten "finden" und dann einen Basiswechsel durchführen, mit dem Ergebnis, dass dein Endomorphismus dargestellt in dieser neuen Basis, diagonal ist.


Zitat:
Und der Eigenraum ist gleich der Kern, wobei der EIgenraum aus den x besteht, für die gilt A(x) = dx, oder?


Fast richtig:

"Eigenraum von Phi zum Eigenwert

Oder äquivalent dazu:



Speziell in deinem Beispiel:



Hierbei ist es egal, ob man den Kern von X-a oder a-X berechnet, denn der Kern eines Endomorphismus ist ein Untervektorraum, was bedeutet, dass mit jedem Vektor auch der dazu inverse Vektor in der Menge liegt.

Merke: Ein Eigenvektor ist nie der Nullvektor (das wäre langweilig), 0 kann durchaus ein Eigenwert sein.
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid, dass ich mich gerade ein bisschen "dämlich" anstelle, aber ich habe immer noch keine Ahnung, wie ich nun die Basis vom Kern berechne bzw. dein Eigenraum verwirrt *sorry*

Ich nehme die Matrix von Tarnfara, muss die mit einem Vektor (x_1, x_2, x_3) multiplizieren und das soll dann (3x_1, 3x_2, 3x_3) ergeben?
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

Du hattest doch vorhin schon die Kern berechnet von A,.. (leider war es nicht die transponierte),.. und dort hattest du ja raus bekommen das der Kern nur der Nullvektor ist,.. jetzt produzierst du dir eine neue Matrix mit

-3*id-A und machst dasselbe nochmal,.. also zeilen umformungen

dann bekommst eine Matrix in Dreiecksgestalt und dann kannst du mit dem pdf was ich dir gezeigt habe den Kern ablesen.

Du kannst erstmal die Zeilenumformungen machen und hier rein schreiben und dann lesen wir den kern zusammen ab,.. z.b. jetzt mal für j = 1

edit: jo nimm die matrix von tarnfara ,.. was ja nichts anders wie deine transponierte ist,...
Tarnfara Auf diesen Beitrag antworten »

Wie berechnet man Eigenräume ?

Schritt 1:
Ermittle das charakteristische Polynom des Endomorphismus:

Hier:

Schritt 2: Nun kennt man die Eigenwerte des Endomorphis.
Hier:

Schritt 3: Nun setzt man Phi in den zum Eigenwert gehörenden Linearfaktor ein und berechnet den Kern davon, also:

Hier:

Dh. t+3 ist der Linearfaktor der zur Nullstelle -3 des char. Polynoms gehört, bilde daher und berechne davon den Kern:


Zitat:
Original von Tarnfara

Nun möchte ich den Kern von berechnen. Da das Rechnen mit Matrizen einfacher ist, bilde ich also erst einmal die Darstellungsmatrix davon:




Also:




Jetzt solltest du die Lösung ablesen können...
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

EDIT: MEINE UMFORMUNG IST FALSCH; HABE AM ANFANG EINMAL FALSCH ABGESCHRIEBEN
@DerJFK

Dann habe ich


und mit Umformung ergibt sich:



Da kommt jetzt schon wieder eine Diagonalmatrix raus. ich habe immer noch das Gefühl, dass ich beim Umformen etwas mache, was nicht erlaubt ist, denn irgendwie schaffe ich es, jede Matrix in so eine Form zu bringen und das ist doch nicht immer machbar oder?


@Tarnfara : Deins gucke ich mir jetzt mal an, hatte sich überschnitten
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

Deine umforung ist nicht richtig,...


Tarnfara kommt ja anfangs auf die gleiche matrix wie du und schau dir mal an wie sie umformt ?!

ich mein man sieht ja sofort dass eine Zeile komplett wegfällt! schau dir mal die 2 unteren zeilen in deiner matrix an,.. da verschwindet doch wohl eine sofort nach einmal umformen oder nicht?
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

@Tarnfara:

Ist der Kern = (1, -1, -1) ?

Und für j = 2 mache ich das gleiche auch noch, nur dass ich da die Matrix vorher quadrieren muss?

Kannst du mir das hier noch erklären, das verstehe ich nicht. Schritt 1 und 2 sind mir klar.
Zitat:
Original von Tarnfara
Schritt 3: Nun setzt man Phi in den zum Eigenwert gehörenden Linearfaktor ein und berechnet den Kern davon, also:

Hier:

Dh. t+3 ist der Linearfaktor der zur Nullstelle -3 des char. Polynoms gehört, bilde daher und berechne davon den Kern:



Und falls mir jemand erklären könnte, warum ich die transponierte Matrix dafür nehmen muss, wäre ich auch sehr dankbar!
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

http://de.wikipedia.org/wiki/Abbildungsmatrix

schaus dir auf Wikipedia an,....
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, dass mit der Abbildungsmatrix macht nun auch SInn für mich smile

Habe ich den Kern richtig abgelesen?
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

nein leider nicht

es müsste

Tarnfara Auf diesen Beitrag antworten »

[edit]:

Stell dir das mal als Gleichungssystem vor:



Hinweis:
Man kann c wählen und dann ergeben sich die anderen daraus.


Zitat:
Und für j = 2 mache ich das gleiche auch noch, nur dass ich da die Matrix vorher quadrieren muss?

Richtig.

Zitat:
Kannst du mir das hier noch erklären, das verstehe ich nicht.

Du weißt ja, dass a ein Eigenwert ist, wenn a eine Nullstelle des char. Polynoms ist.
ist a eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms, dann bedeutet das gleichzeitig, dass der Linearfaktor t-a ein Teiler des Polynoms ist.

Beispiel:



In diesem Beispiel hätte Phi die Eigenwerte +1 und -1, um die zugehörigen Eigenräume zu ermitteln, müßte man nun einmal Phi in t-1 (für den Eigenwert +1) und einmal in t+1 (für den Eigenwert -1) einsetzen und von diesem "neuen" Endomorphismus wieder den Kern berechnen.


Zitat:
Und falls mir jemand erklären könnte, warum ich die transponierte Matrix dafür nehmen muss, wäre ich auch sehr dankbar!

Das hängt mit der Matrizenmultiplikation zusammen und würde hier den Rahmen sprengen. Schaue bitte mal in deinem Skript bei Darstellungsmatrizen/Koordinatendarstellung nach.

Ich empfehle dir auch dringend, noch einmal alles, was ihr zum Gaußalgorithmus gemacht habt, zu wiederholen. Das wirst du nun ständig anwenden müssen.
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Das meine Umformungen oben falsch waren, habe ich bereits gesehen. Ich habe nämlich auf meinem Zettel aus der einen 11 eine 14 gemacht (falsch abgeschrieben) und dann hat sich die Zeile natürlich nicht mehr aufgelöst.

Mein Vorschlag (1, -1, -1) hatte ich wegen diesem Trick aus der pdf von DerJFK. Warum kann man des denn hier nicht anwenden?

Dieses ganze hin und her hat mich mich mittlerweile komplett verwirrt, ich kann nicht mal mehr das Gleichungssystem lösen unglücklich



Und im Schritt 3, wo da das phi eingesetzt wurde, ist mir auch noch nicht klar unglücklich

Wir haben zum Gaußalgorithmus nicht wirklich viel gemacht unglücklich
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

Den Trick kann man immer anwenden man muss nur vorgaben einhalten,.. ich habe dir ja die lösung auch rein geschrieben.

Wichtig ist das du Matrix in Dreiecksgestalt bringst,.. dann müssen alle elemente auf der "diagonalen" 1 sein,... und über und unter den diagonal elementen dürfen nur 0en stehen,.. genau dann kannst du den minus eins trick anweden,.. schau dir nochmal die matrix an und überlege wie ich auf die lösung gekommen bin die ich dir oben hin geschrieben habe,.. ich habe den minus eins trick angewandt
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, dann war das Problem, dass ich der pdf entnommen habe, dass das gesuchte die Spalten sind, mit der ergänzten -1.

Das ist ja aber scheinbar nicht so.

Wenn ich die Zeile ergänze, dann komme ich auch auf die von der angegebenen Werte.

ich werde jetzt mal die Probe machen und falls die klappt, es mal für j = 2 versuchen.
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube du hast heute schon zu viel mathe gemacht Augenzwinkern

Der Kern sind dann genau die Spalten in der du die -1 ergänzt hast ich schreibe dir das nochmal als beispiel



da nun die diagonal elemente alle 1 sind und über und unter ihnen nur noch 0en kann ich den -1 trick anweden



jetzt ist in dem fall genau die spalte in der ich die -1 rein habe der kern ,.. also


hast du gesehen was ich meine?
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe echt schon zu viel Mathe gemacht!! Mir ist nicht aufgefallen, dass in der ersten Zeile noch die 3 steht *an den Kopf fass*
Aber dann ist das "Phänomen" ja geklärt *g* und die Probe klappt auch, alles gut Augenzwinkern Nun muss ich mir nur noch überlegen, wie ich das für den Beweis aufschreibe....

bei j=2 hat es aber auch mal wieder nicht geklappt. Ist nicht mehr mein Mathe-Tag unglücklich



= das umgeformt erhalte ich:

Also habe ich die Gleichung b-c = 0 --> b=c

Ich dachte, da müsste <0,1,1> rauskommen, aber meine Probe sagt dazu, dass das falsch ist. traurig Was habe ich da denn schon wieder falsch gemacht?? verwirrt
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

edit: also bisher stimmt es was du hin geschrieben hast,...

Du brauchst jetzt nur noch den Kern von



oder?

Wende doch hier auch den -1 Trick an?

also diesmal wird nicht nur ein vektor für den Kern raus kommen Augenzwinkern
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, den Kern dieser Matrix brauche ich noch.

Ich wollte das auch mit dem -1 Trick machen, weiß aber hier nicht genau, wie ich den anwende, da ich ja in der ersten Koordinate eine -1 brauche.

Oder kann ich auch als erste Zeile die ergänzte nehmen?



Noch eine -1 Zeile kann ich doch nicht einfügen, wegen der -1 in der zweiten Zeile oder?

Dann hätte ich schon mal <(-1, 0, 0)> im Kern und dann fehlt ja noch einer...?
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist egal was über oder unter der -1 steht,.. es ist wichtig das du am ende eine quadratische matrix hast wo auf der diagonalen nur 1 oder -1 steht...

also ergibt sich



Lass dich nicht von den einträgen verwirren die hinter den diagonal elementen stehen, die sind erstmal egal.

Vielleicht versuchst du bei dem PDF auch mal den beweis nach zu vollziehen,.. dann verstehst du auch warum es funktioniert.

Denk aus meiner matrix kannst du jetzt den Kern ablesen und die Probe passt auch smile
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist der Kern für j=2: {(-1, 0, 0) , (0, -1, -1)} Richtig?
Ich werde gleich mal die Probe machen.

Ich habe versucht schon mal für j=1 den Aufschrieb etwas in Ordnung zu bringen. Für die behauptung muss ich ja zwei Inklusionen zeigen.

Die eine ist ja klar, wenn ich (-3id - phi) auf meinen Vektor los lassen kommt 0 raus, also liegt der Vektor im Kern.

Aber bei der anderen Inklusion komme ich nicht weiter. Bei Aufgabe 1 konnte ich zeigen, dass die Dimension mindestens 2 ist, da ich 2 lin,. unabh. Vektoren im Kern hatte und die Dim kann max 3 sein, wegen Q³. Aber da (-3id -phi) nicht die Nullabbildung ist, kann der kern nicht dim = 3 haben, also bleibt nur 2 über.

Nun habe ich für j=1 aber ja nur raus, dass dim mind. = 1 sein kann und max dim = 2. Wie kann ich denn zeigen, dass der Kern wirklich nur dim =1 hat und ich somit alle Vektoren gefunden habe?
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

Ich frage mich gerade auf was du überhaupt hinaus willst ?!

so du weißt nun







ich kann daraus noch ablesen, dass A nicht diagonalisierbar ist, aber das stand wohl nicht in deiner Aufgabe?!

Was sollst du denn genau noch mehr machen?!
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich behaupte, dass für j = 1 gilt: Kern (-3*id-phi) = {1/3, -1, -1}, dann muss ich in meiner Abgabe die Gleichheit zeigen, also beide Inklusionen.

Also einmal, dass dieser Vektor wirklich im Kern liegt und einmal, dass es eben nur dieses Element im Kern liegt, er also Dim 1 hat.

Das er Dim 1 hat, hast du daraus genommen, dass wir nur einen ausrechnen konnten, richtig?
Das reicht bei uns aber irgendwie nicht für den Aufschrieb. unglücklich


Bei der Probe für j = 2 klappt auch was nicht. Ich muss doch zeigen, dass (-v_1)(-3*id -phi)² = 0 ist. Und der Term zum quadrat kann ich doch mit binomischer Formel umschreiben und dann anwenden oder? Hab das schon 3x gemacht, aber irgendwoe ist immer der gleiche Vorzeichenfehler drin. Ichw erde noch wahnsinnig heute Hammer
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

schreibe mal genau hin was du rechnest?

Du müsstest jedes mal nur die Matrix mit einem Vektor oder eben der Summe der beiden vektoren mit einem Parameter multiplzieren und zeigen, dass es immer 0 wird.

Damit zeigst du ja schonmal das die Vektoren im Kern liegen,...

für die eindeutigkeit dass eben nur die Vektoren im Kern liegen würde ich eben genau das Komplement zum Kern wählen, das wäre das Bild,.. und zeiges dass wenn du es damit Multiplizierst nie 0 raus kommt. Damit wären beide richtungen gezeigt.
Tarnfara Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Claudia105
Bei der Probe für j = 2 klappt auch was nicht. Ich muss doch zeigen, dass (-v_1)(-3*id -phi)² = 0 ist. Und der Term zum quadrat kann ich doch mit binomischer Formel umschreiben und dann anwenden oder? Hab das schon 3x gemacht, aber irgendwoe ist immer der gleiche Vorzeichenfehler drin. Ichw erde noch wahnsinnig heute Hammer


Wieso schreibst du den Vektor immer davor ?



keine Lust, das weiter auszurechnen.


Habt ihr denn die Matrizen gar nicht behandelt ?

Du kannst das mit Matrizen viel einfacher ausrechnen:

Zitat:


Mit
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich war jetzt mal ein bisschen draußen, ohne Mathe und schon klappt es auch mit der Probe smile

@Tarnfara: Doch, Matrizen haben wir behandelt. Ich habe nur noch gesehen, dass man das auch so rechnen kann. Mir fehlt irgendwie immer die Verknüpfung für die Funktion und die Matrix., dass das alles so geht usw. Deine Rechnung kann ich aber nachvollziehen und ist natürlich wesentlich entspannter!

Ich danke euch beiden für eure großartige Hilfe!!! Es hat mir wirklich sehr geholfen!!
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