Beweis: Die Summe vom Skalarprodukt (v, v_k)*v_k ist v selbst

04.07.2010, 13:16	DvdKhl	Auf diesen Beitrag antworten »
*Beweis: Die Summe vom Skalarprodukt (v, v_k)v_k ist v selbst Meine Frage: Aufgabe (IV) im Bildanhang (Aufg61.png). Bei uns ist beim Skalarprodukt das 2. Argument semi-linear, nicht das erste. Meine Ideen:** Nach langem hin und her hoffe ich einen vernünftigen Ansatz gefunden zu haben, um die Aufgabe zu lösen. Allerdings fehlen noch ein paar Schritte: $\begin{eqnarray} v = (a_i); v_k = (b_{k_i}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e_i \end{eqnarray}$ ist i-ter Standarteinheitsvektor mit $\begin{eqnarray} e_i = (e_{i_j}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v = \sum\limits_{k=1}^n (v, v_k)v_k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow a_i = \sum\limits_{k=1}^n (v, v_k)b_{k_i}<br /> = \sum\limits_{k=1}^n (v, v_k \overline{b_{k_i}})<br /> = (v, \sum\limits_{k=1}^n v_k \overline{b_{k_i}}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \stackrel{!}{\Rightarrow} \sum\limits_{k=1}^n v_k \overline{b_{k_i}} = e_i \end{eqnarray}$ (muss gelten damit der $\begin{eqnarray} a_i \end{eqnarray}$ te Eintrag in der oberen Gleichung wieder rauskommt) $\begin{eqnarray} \Rightarrow e_{i_j} = \sum\limits_{k=1}^n b_{k_j} \overline{b_{k_i}} \end{eqnarray}$ Hier ist mein momentanes Problem: Ich muss zeigen das wenn i = j, 1 ergibt, sonst 0. Des weiteren kann ich sagen, das die Basis eine Orthonormalbasis ist, Normiert weil: $\begin{eqnarray} (v_k,v_k) = 1 \end{eqnarray}$ und Orthogonal wegen: $\begin{eqnarray} (v_i,v_j) = 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i \neq j \end{eqnarray}$ Ich nehme mal an, das wenn man alle Basisvektoren summiert, dass sich ein Vektor gefüllt mit 1en ergibt (leider weiß ich momentan nicht wie ich das Beweisen soll). Welches vielleicht hilfreich für den Beweis ist. Zumindest würde damit der fall $\begin{eqnarray} \Rightarrow e_{i_i} = 1 = \sum\limits_{k=1}^n b_{k_i} \overline{b_{k_i}} \end{eqnarray}$ gezeigt werden.
04.07.2010, 13:48	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} v=\sum_{k=1}^n a_kv_k \end{eqnarray}$ die Darstellung von v in der (Orthonormal-)Basis $\begin{eqnarray} \{v_k\| k=1,...,n\} \end{eqnarray}$ . Berechne das Skalarprodukt $\begin{eqnarray} (v,v_i) \end{eqnarray}$ für i=1,...n.

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