Kegeltangente

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madars_bichl Auf diesen Beitrag antworten »
Kegeltangente
Meine Frage:
Wenn ich einen Kegel in die Innenecke zweier sich schneidender Ebenen lege, gibt es für die Ausrichtung genau zwei Lösungen. (Der Kegel tangiert die Ebenen). Wie kann ich den Winkel zwischen Kegelachse und Schnittlinie der Ebenen berechnen?

Meine Ideen:
Bisher habe ich die Winkel mittels Iteration angenähert, ich möchte die Lösung aber genau berechnen.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kegeltangente
Zitat:
Original von madars_bichl
Meine Frage:
Wenn ich einen Kegel in die Innenecke zweier sich schneidender Ebenen lege, gibt es für die Ausrichtung genau zwei Lösungen. (Der Kegel tangiert die Ebenen). Wie kann ich den Winkel zwischen Kegelachse und Schnittlinie der Ebenen berechnen?

Meine Ideen:
Bisher habe ich die Winkel mittels Iteration angenähert, ich möchte die Lösung aber genau berechnen.


ich hätte vermutet, da gibt es deren 4 bzw. unendlich vieleAugenzwinkern
was auch immer eine innenecke 2er sich schneidender ebenen ist verwirrt

und wenn es gerade kegel(n) sind, würde ich die vermutung aufstellen, dass man sich die winkelhalbierenden anschauen sollte.
hast du einen radius oder ähnliches (vor) gegeben?
madars_bichl Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die schnelle Antwort.

Stimmt. Ich hatte nur mein Bild im Kopf (s.Anhang). Es gibt 4 Innenecken und 8 Lösungen, allerdings sind nur zwei verschiedene Winkel möglich und für mich relevant.

Der Scheitelwinkel des Kegels beträgt 60°, allerdings sollte es ja für jeden beliebigen Kegel möglich sein, die Lage zu berechnen.

M.B
Rechenschieber Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, dies ist eine Sache der Definition.Augenzwinkern

Wenn sich zwei Ebenen schneiden, bildet sich eine Schnittkante, aber es existiert keine Ecke.
Es resultieren demnach je zwei Innen- und Außenflächen.
Legt man nun die Innenflächen zugrunde, so müssen diesbezüglich zwei Lösungen vorliegen, insofern der Schnittwinkel gleich dem des Kegels ist, unter der Prämisse, dass der Kegel nicht in der/ den Ebene/ -n verschoben wird.
Somit kann man auch sagen, es existiert nur eine Möglichkeit, wenn man die "Spiegelung" außer acht lässt.
Jetzt gilt es nur noch zu prüfen, wenn: Schnittwinkel < Kegelwinkel < Schnittwinkel.
Und da sollte es dann auch noch Lösungen geben.
Die Zeichnung macht es doch recht deutlich.

LGR
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

man kann man ja die spitze des kegels entlang der schnittgeraden verschieben, also doch bereits hier unendlich viele lösungen.

aber ok, könntest du einmal klären/definieren:
innenecke verwirrt
scheitelwinkel = öffnungswinkel verwirrt
ich sehe 3 (drei) ebenen
handelt es sich um einen geraden kegel
........
Rechenschieber Auf diesen Beitrag antworten »

Anzunehmen, dass die Zeichnung wegen des besseren, optischen Verständnisses so erstellt wurde. Freude

Betrachtet man einen Würfel ( 6 Seiten, 8 Ecken, 12 Kanten), so bräuchte man den Begriff "Ecke", ob außen oder innen, kaum noch großartig definieren.

Ebenenschnittecke habe ich nie gelesen, Ebenenschnittkante dagegen schon.Augenzwinkern

LGR
 
 
madars_bichl Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für Eure Bemühungen.
Vielleicht noch zur Erläuterung ein Beispiel: Ich könnte ja bei einem Fang-den-Hut Spiel den Spielplan halb zuklappen (irgendein Winkel > als der Winkel der Spelfigur und kleiner 180°). Wenn ich jetzt die Spielfigur (den Kegel) mit der Spitze in die Falte (Innenecke der zwei sich schneidenden Spielplanhälften) stelle und umfallen lasse, erreicht er ja eine der beiden möglichen Lagen. Natürlich kann ich ihn dann in Richtung der Falte verschieben, aber das ändert nichts am Winkel.

M.B
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt verstehe ich endlich, was du meinst Augenzwinkern
na dann wollen wir einmal brüten

also: von deinem kegel sind gegeben r und h
und die frage ist: wie liegt der kegel im "spalt", wenn er "umfällt", den die beiden (gegebenen) ebenen bilden
ok verwirrt
madars_bichl Auf diesen Beitrag antworten »

Genau so ist es. Bitte entschuldigt, daß ich mich im mathematischen Sinn nicht so genau ausdrücken konnte.

M.B.
Rechenschieber Auf diesen Beitrag antworten »

Aber genau so habe ich es doch verstanden...Augenzwinkern .
Deshalb schrieb ich ja auch, dass der Kegel, wenn er denn den Winkel des Schnittwinkels hat, nur einmal die Öffnung bzw. ihre Schnittflächen tangential berühren kann.
LGR
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von madars_bichl
Genau so ist es. Bitte entschuldigt, daß ich mich im mathematischen Sinn nicht so genau ausdrücken konnte.

M.B.


ich kann´s auch nicht besser Augenzwinkern
kannst du einmal ein beispiel herstellen: öffnungswinkel des kegels, schnittwinkel der ebenen, bzw. deren gleichung verwirrt
madars_bichl Auf diesen Beitrag antworten »

In diesem Fall (entspricht auch der Zeichnung) beträgt der Innenwinkel 67.2°, der Kegelwinkel beträgt 60° ( Seitenlänge 10, Radius 5, Höhe 10 * sin(60). Meine Annäherung ergibt einen gesuchten Winkel von 63.1°

M.B.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

ich hätte gewettet, dass dein wert viel zu groß ist Augenzwinkern
aber mit "meiner" ganz einfachen formel komme ich auf

verwirrt
jetzt muß ich darüber grübeln

hast du noch mehr testwerte?
ich traue nämlich meinen räumlichen vorstellungsfähigkeiten nicht,
sie reichen in der regel nur so weit, dass ich das bier im kühlschrank finde (meistens) Augenzwinkern
madars_bichl Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab mal noch eine Grafik zu meinen Überlegungen:
Das Zentrum des Kegels muß auf dem Kreis mit der Höhe des kegels auf der Winkelhalbierenden Fläche liegen.
Auf den Flächen habe ich jeweils Kreise mit dem Radius der Seitenlänge des Kegels gezeichnet. Die Berührungspunkte der Basis mit den Flächen müssen auf diesen Kreisen liegen. Aber weiter komme ich leider nicht.

M.B.
madars_bichl Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Werner,
jetzt bin ich wirklich sprachlos. Dein Wert stimmt. Ich habs nur schnell mal aus der Zeichnung gemessen, aber die war ungenau. Mit meiner Iteration komm ich genau auf Deinen Wert.

Weitere Beispiele zum Test: 80° mit gleichem Kegel: eps = 51,06, 70° mit Kegel 50°= 47,46

M.B
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

probiere einmal -unter vorbehalt:

mit dem öffnungswinkel des kegels und dem winkel der beiden ebenen, erhalte ich für den gesuchten winkel



aber wie gesagt, weiter wie zum kühlschrank finde ich nie Augenzwinkern
madars_bichl Auf diesen Beitrag antworten »

Saustark.

Ich hab zwar ein Weilchen rumgeknobelt, weil der Qutient größer null war. Hab Zähler und Nenner vertauscht. Das klappt wunderbar. Ich habs im Cad-Programm programmiert und einige Werte getestet.
Kann ich die Herleitung oder den Zusammenhang nachvollziehen?
Jedenfalls tausend Dank!

M.B
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von madars_bichl
Saustark.

Ich hab zwar ein Weilchen rumgeknobelt, weil der Qutient größer null war. Hab Zähler und Nenner vertauscht. Das klappt wunderbar. Ich habs im Cad-Programm programmiert und einige Werte getestet.
Kann ich die Herleitung oder den Zusammenhang nachvollziehen?
Jedenfalls tausend Dank!

M.B


du meinst vermutlich > 1 Augenzwinkern

wenn der quotient tatsächlich > 1 ist, bedeutet das, der kegel steckt im spalt, da der kegel einen größeren öffnungswinkel hat als .
freut mich sehr, dass es paßt.
wie ich mir das zusammengebastelt habe, schreibe ich dir (über)morgen.
ich muß dazu meine schmierzettel verstehen und morgen habe ich auch noch gäste - kühlschrank Augenzwinkern
madars_bichl Auf diesen Beitrag antworten »

Klar, größer 1.
Allerdings müssen wir wirklich den Bruch in Deiner Anleitung umdrehen, so daß der per Definition kleinere Winkel (der Kegel) oben steht, sonst ist der Wert des Quotienten größer 1.

Bin gespannt auf Deine Herleitung.

Gruß
M.B
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von madars_bichl
Klar, größer 1.
Allerdings müssen wir wirklich den Bruch in Deiner Anleitung umdrehen, so daß der per Definition kleinere Winkel (der Kegel) oben steht, sonst ist der Wert des Quotienten größer 1.

Bin gespannt auf Deine Herleitung.

Gruß
M.B


ja klar, das ist ein tippfehler, im zähler steht der öffnungswinkel des kegels.
ich werde es oben ausbessern.

zur herleitung habe ich dir ein bilderl gemacht, ich hoffe, es ist aussagekräftig genug.

alles geht mit einfachen geometrischen überlegungen, also mit rechtwinkeligen dreiecken.

zunächst bestimmt man den "schnittwinkel" in der ebene, in der ein/der kegelgrundkreis mit radius r liegt.

für ihn erhält man

damit ergibt sich für x

weiters hast du und aus dem kegel mit radius r und höhe h:
alles kombinieren liefert:



den rest erledigen einfache trigonometrische zusammenhänge zwischen sinus, cosinus und tangens, die du vielleicht selbst herausfinden willst.
wenn nicht, sage es mir und ich erledige auch den rest- ist ja eine mordslatexschreiberei Augenzwinkern

am schluß steht halt dann da:

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