trigonalisierbar, Dreiecksmatrix

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Bazza Auf diesen Beitrag antworten »
trigonalisierbar, Dreiecksmatrix
Hallo,

ich habe mal wieder ein problem mit folgender aufgabe:

Zitat:

Es sei K ein Körper und mit . Zeigen sie: Sind A und B trigonalisierbar, dann existiert eine Matrix , so dass obere Dreiecksmatrizen sind.

Hinweis: Überlegen sie zu erst, dass es genügt zu zeigen, dass A und B einen gemeinsamen Eigenvektor besitzen. Zeigen sie dazu, dass jeder Eigenraum von A invariant unter Multiplikation mit B ist.




So, ich habe dann zuerst mit der invarianz unter der multiplikation angefangen. Dazu habe ich die zu A und B zugehörigen linearen abbildungen betrachtet.

Dann habe mir einen Eigenwert genommen, und per definition gilt ja: .

und die verkettung, also betrachtet. nach ein wenig umformen erhält man dann , wobei hier den eigenraum bezeichnet.

ab hier komme ich irgendwie dann nicht mehr weiter, das kann ja wohl kaum ausreichen, um die aussage A,B triagonalisierbar => T existiert zu beweisen, eventuell liegt mein problem auch darin, dass wir in der Vorlesung den begriff "triagonalisierbar" noch nicht definiert haben. (wiki habe ich natürlich schon zu rate gezogen).

hat jemand einen tipp für mich, wie ich weitermachen könnte?
danke schonmal im voraus.
Bazza Auf diesen Beitrag antworten »
RE: trigonalisierbar, Dreiecksmatrix
hallo,

entschuldigt bitte den doppelpost, allerdings bin ich bei dieser aufgabe immer noch nicht weitergekommen.

hat niemand eine idee dazu?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke mir folgendes: Sei x ein gemeinsamer Eigenvektor von A und B. Ergänze diesen zu einer Basis von . Dafür gibt es viele Möglichkeiten. Bezüglich einer solchen haben die lin. Abb. A und B die Darstellungen

und .

Dabei sind und die Eigenwerte von A bzw. B bzgl. des Eigenvektors x, sowie

Zeige, dass A' und B' trigonalisierbar sind und kommutieren. Dann haben wir die Dimension um Eins reduziert. Mit Induktion folgt dann also, dass es eine Basis von gibt, bezüglich der beide linerare Abbildungen Dreiecksgestalt haben. Das war zu zeigen.
Bazza Auf diesen Beitrag antworten »
RE: trigonalisierbar, Dreiecksmatrix
danke webfritzi, habs hinbekommen mit deiner idee smile
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