skalarprodukt/kronecker delta

05.07.2010, 22:27

verzweifler

skalarprodukt/kronecker delta

Meine Frage:
hi, ich habe eine aufgabe zu bearbeiten, die von skalarprodukten, normen, etc handelt. habe 3 von 4 aufgaben bearbeitet und würde euch bitten mal über die 3 bearbeiteten aufgaben drüber zu gucken und mir bei der 4. zu helfen, denn da bin ich relativ ratlos^^ hier die aufgabe:

Es sei $\begin{eqnarray*} K = \mathbb R \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} K = \mathbb C \end{eqnarray*}$ und V ein K-Vektorraum. Weiter sei $\begin{eqnarray*} (\cdot, \cdot ) \end{eqnarray*}$ :VxV->K ein Skalarprodukt auf V.
zeigen sie:

(i)Es gilt (v+w,v+w)+(v-w,v-w)=2((v,v)+(w,w)) (für alle $\begin{eqnarray*} v,w\in V \end{eqnarray*}$ )

(ii)ist $\begin{eqnarray*} K=\mathbb R \end{eqnarray*}$ , so gilt (v,w)=0,5((v+w,v+w)-(v,v)-(w,w)) (für alle $\begin{eqnarray*} v,w\in V \end{eqnarray*}$ )

(iii)ist $\begin{eqnarray*} K=\mathbb C \end{eqnarray*}$ , so gilt (v,w)= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}\sum\limits_{k=0}^3 i^{k}\cdot (v+i^{k}\cdot w,v+i^{k}\cdot w ) \end{eqnarray*}$ (für alle $\begin{eqnarray*} v,w\in V \end{eqnarray*}$ )

(Hier ist $\begin{eqnarray*} i\in \mathbb C \end{eqnarray*}$ eine Zahl mit i²=-1)

(iv) ist $\begin{eqnarray*} \left(v_{1} ,...,v_{n}\right) \end{eqnarray*}$ eine Basis von V, für die $\begin{eqnarray*} (v_{j},v_{k} )=\delta_{j,k} \end{eqnarray*}$ (Kronecker-Delta) für $\begin{eqnarray*} 1\leq j,k\leq n \end{eqnarray*}$ gilt,
dann ist: $\begin{eqnarray*} v=\sum\limits_{k=1}^n (v,v_{k} )v_{k} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
so die (i) bis (iii) schreib ich mal auf und würde mich über feedback bzw evtle verbesserungsvorschläge sehr freuen.

zur (i): (v+w,v+w)+(v-w,v-w)=( (v,v)+(v,w)+(w,v)+(w,w) )+( (v,v)-(v,w)-(w,v)+(w,w) )=
=2(v,v)+(w,v)-(w,v)+(v,w)-(v,w)+2(w,w)=2( (v,v)+(w,w) )

zur (ii): 0,5( (v+w,v+w)-(v,v)-(w,w) )=0,5( (v,v)+(v,w)+(w,v)+(w,w)-(v,v)-(w,w) )=0,5( (v,w)+(w,v) )

(wegen symmetrie ( $\begin{eqnarray*} K=\mathbb R \end{eqnarray*}$ ) gilt (v,w)=(w,v)), also 0,5( 2(v,w) )=(v,w)

zur (iii):
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}\sum\limits_{k=0}^3 i^{k}\cdot (v+i^{k}\cdot w,v+i^{k}\cdot w )=\frac{1}{4}\sum\limits_{k=0}^3 i^{k}\cdot ((v,v)+(v,wi^{k})+(wi^{k},v)+(w,w)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{4}\sum\limits_{k=0}^3 i^{k}\cdot ((v,v)+\overline{i^{k}}(v,w)+i^{k}(w,v)+(w,w))= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{4}\sum\limits_{k=0}^3 i^{k}\cdot ((v,v)+\overline{i^{k}}(v,w)+i^{k}(w,v)+(w,w))= \frac{1}{4}\sum\limits_{k=0}^3 \cdot (i^{k}(v,v)+\overline{i^{k}}i^{k}(v,w)+i^{2k}(w,v)+i^{k}(w,w))= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{4}((v,v)+(v,w)+(w,v)+(w,w)+i(v,v)+(v,w)-(w,v)+i(w,w)-(v,v)+(v,w)+(w,v)-(w,w)-i(v,v)+ \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} +(v,w)-(w,v)-i(w,w))=\frac{1}{4}(4(v,w))=(v,w) \end{eqnarray*}$

(der pfeil über dem $\begin{eqnarray*} \vec{i^{k}} \end{eqnarray*}$ soll einfach nur ein waagerechter strich sein und es gilt $\begin{eqnarray*} \vec{i^{k}}i^{k}=1 \end{eqnarray*}$ )

so nachdem ich mir die finger wund geschrieben habe :P bin ich nun bei der aufgabe (iv) angekommen bei der ich keine ahnung hab wie ich die angehen, geschweige denn lösen soll.
hoffe auf feedback und hilfe bei der (iv).
vielen dank schonmal im vorraus

Edit: Zeilenumbruch eingefügt. $\begin{eqnarray*} \overline{x} \end{eqnarray*}$ mit \overline{x}. Gruß, Reksilat.

05.07.2010, 23:54

Cordovan

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RE: skalarprodukt/kronekcker delta
Hallo!

In den ersten drei Rechnungen habe ich keinen Fehler gesehen.

Bei der 4: Du hast eine Basis gegeben. Drücke doch mal das v in der Summe mithilfe deiner Basis aus und benutze die Voraussetzung.

Cordovan

06.07.2010, 03:07

verzweifeler

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nachdem ich mich nochmal näher damit beschäftigt habe, ist mir aufgefallen das bei der aufgabe (iv) in der diagonalen 1en stehen und der rest null ist, also für i=j 1 und für den rest null. es handelt sich also um eine nxn einheitsmatrix.

d.h. das man es irgenwie hinbekommen muss die skalarprodukte als spaltenvektoren der einheitsmatrix darzustellen.

die basis müsste dann normiert und orthogonal sein, also eine orthonormalbasis, eben weil die skalarprodukte die spaltenvektoren der nxn einheitsmatrix sind und gleichzeitig auch die basis bilden.

man müsste also $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n (\sum\limits_{i=1}^n a_{i}v_{i},v_{k} ) \end{eqnarray*}$ so auflösen, das man wieder v erhält. aber irgendwie bekomm ich das nicht hin evtl ist auch der wurm drin

06.07.2010, 08:50

Cordovan

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Benutze als nächstes die Linearität des Skalarprodukts!

Cordovan

06.07.2010, 15:57

verzweifele

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hi,
so also ich bin nicht sicher ob ich das richtig angegangen bin, aber ich habe das folgendermaßen aufgelöst:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n (\sum\limits_{i=1}^n a_{i} v_{i},v_{k} )= \sum\limits_{k=1}^n ((a_{1}v_{1}+...+a_{n}v_{n} ) ,v_{k}))= \sum\limits_{k=1}^n ((a_{1}v_{1},v_{k} )+((a_{2}v_{2}+...+a_{n}v_{n} ) ,v_{k})) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{k=1}^n ((a_{1}v_{1},v_{k})+...+(a_{n-1}v_{n-1},v_{k})+(a_{n}v_{n} ,v_{k})) \end{eqnarray*}$

nun bleibt noch ein weiterer schritt, bei dem ich nicht sicher bin ob der so geeignet ist. und zwar könnte man die koeffizienten ausklammern:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n ((a_{1}v_{1},v_{k})+...+(a_{n-1}v_{n-1},v_{k})+(a_{n}v_{n} ,v_{k}))= \sum\limits_{k=1}^n (a_{1}(v_{1},v_{k})+...+a_{n-1}(v_{n-1},v_{k})+a_{n}(v_{n} ,v_{k}))= \end{eqnarray*}$

entweder war das so nicht gedacht, oder ich komm einfach nicht mehr weiter

Edit: Zeilenumbruch eingefügt. Gruß, Reksilat.

06.07.2010, 22:51

Cordovan

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Das ist doch gut soweit. Die Koeffizienten kann man aus dem Skalarprodukt rausholen, da es im ersten Argument linear ist.

So: und jetzt benutze die Voraussetzung. Es ist $\begin{eqnarray*} (v_j,v_j)=\delta_{j,k} \end{eqnarray*}$ . Es fällt also ziemlich viel weg.

Cordovan

07.07.2010, 10:42

verzweifel

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also wegen $\begin{eqnarray*} (v_{j},v_{k})=\delta_{j,k} \end{eqnarray*}$ , 0 für $\begin{eqnarray*} j \neq k \end{eqnarray*}$ und 1 für $\begin{eqnarray*} j = k \end{eqnarray*}$
kann man die summe dann wirklch extrem kürzen.

aus $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n (a_{1}(v_{1},v_{k})+...+a_{n-1}(v_{n-1},v_{k})+a_{n}(v_{n} ,v_{k})) \end{eqnarray*}$ würde dann, da alle elemente, ausser dem fall wo $\begin{eqnarray*} j = k \end{eqnarray*}$ , 0 werden: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n (a_{k}(v_{k} ,v_{k})) \end{eqnarray*}$

07.07.2010, 11:13

WebFritzi

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Ich verstehe nicht ganz, was du da machst. Mal ganz davon abgesehen, dass du nicht sagst, was deine a's sein sollen. Mach es so:

Da die v's eine Basis bilden, ist v eine Linearkombi derer:

$\begin{eqnarray*} v = \lambda_1v_1 + \ldots + \lambda_nv_n. \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} k\in\{1,\ldots,n\}. \end{eqnarray*}$ Berechne nun $\begin{eqnarray*} (v,v_k). \end{eqnarray*}$

07.07.2010, 11:49

Cordovan

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Ich kann dem schon folgen, auch wenn du es, wenn du die Lösung hast, nochmal ordentlich aufschreiben solltest.

Du bist fast fertig. Was ist $\begin{eqnarray*} (v_k,v_k) \end{eqnarray*}$ ? Und was kommt dann hinterher raus?

Cordovan

07.07.2010, 12:00

WebFritzi

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Zitat:

Original von Cordovan
Ich kann dem schon folgen, auch wenn du es, wenn du die Lösung hast, nochmal ordentlich aufschreiben solltest.

Vor allem richtig.

07.07.2010, 12:16

verzweifele

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also ich hätte evtl erwähnen sollen das ich mit $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n a_{i} v_{i} \end{eqnarray*}$ die basis von v, also v selber darstellen wollte. wobei die $\begin{eqnarray*} a_{k}'s \end{eqnarray*}$ die koeffizienten sind.

sooo, also da ja wie eben schon erwähnt v durch die addition der elemente der Basis von v, v dargestellt werden kann also so: $\begin{eqnarray*} v = a_1v_1 + \ldots + a_nv_n \end{eqnarray*}$

und (v_k,v_k) nichts anderes ist als ein beliebiges Element der Basis von v, kann man daraus schliessen das es sich bei $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n (a_{k}(v_{k} ,v_{k}))=a_{1}(v_{1} ,v_{1})+a_{2}(v_{2} ,v_{2})+...+a_{n}(v_{n} ,v_{n}) \end{eqnarray*}$ um v handelt

hoffe ich habe mit dem vergessen vom definieren des ein odere anderem nicht für zu viel verwirrung gesorgt, sry dafür

und ein rießen dankeschön nochmal

08.07.2010, 09:02

Cordovan

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Da hast du doch noch was nicht verstanden.

Also: $\begin{eqnarray*} (\cdot,\cdot) \end{eqnarray*}$ ist ein Skalarprodukt. Da kommt ein Skalar raus, sicher kein Basisvektor. Es gilt

$\begin{eqnarray*} (v_i,v_j)=\begin{cases}1&i=j\\0&i\neq j\end{cases} \end{eqnarray*}$

Und jetzt überlege nochmal, was mit der Summe passiert.

Cordovan

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