v(t) ----> a(v)

06.07.2010, 09:07

Marie93

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v(t) ----> a(v)

Hallo Leute,

ist es möglich, wenn man die Geschwindigkeit in abhängigkeit der Zeit hat, auf die Beschleunigung zu kommen, in abhängigkeit der Geschwindigkeit??

also v(t) ----> a(v)

Habe schon mehrmals versucht über v=ds/dt und a=dv/dt dort hin zu kommen, ist mir aber nicht gelungen. Habt ihr eine Idee?

Danke matheguys smile

smile

Eure Marie 93

06.07.2010, 10:09

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Zunächst mal ist $\begin{eqnarray*} a(t) = \dot{v}(t) \end{eqnarray*}$ , also die Ableitung nach der Zeit.

Ob du nun im weiteren $\begin{eqnarray*} a(v) \end{eqnarray*}$ aufstellen kannst, hängt davon ab, ob $\begin{eqnarray*} v=v(t) \end{eqnarray*}$ invertierbar ist, sozusagen $\begin{eqnarray*} t=v^{-1}(v) \end{eqnarray*}$ (auch wenn's etwas seltsam aussieht). In dem Fall ist dann einfach

$\begin{eqnarray*} a(v) = \dot{v}\left( v^{-1}(v) \right) \end{eqnarray*}$ .

06.07.2010, 12:06

Marie93

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hm, nach deiner Aussgae wurde es ja heißen, dass a(v)= a(t), oder verstehe ich das jetzt falsch......

$\begin{eqnarray*} a(v) = \dot{v}\left( v^{-1}(v) \right) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t=v^{-1}(v) \end{eqnarray*}$
---> $\begin{eqnarray*} a(v) = \dot{v}\left(t\right) \end{eqnarray*}$ was ja dann a(v) = a(t) entspricht.

06.07.2010, 12:52

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Zitat:

Original von Marie93
hm, nach deiner Aussgae wurde es ja heißen, dass a(v)= a(t), oder verstehe ich das jetzt falsch......

Dein Problem ist wahrscheinlich, dass du gar nicht so richtig weißt, was du genau willst.

Vielleicht erzählst du mal ein wenig mehr zu dem konkreten Problem, das dich zu obiger verwaschener Frage veranlasst hat?

06.07.2010, 13:09

wisili

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Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} a(v) = \dot{v}\left( v^{-1}(v) \right) \end{eqnarray*}$ .

So etwas verstehen nur Physiker. Mathematiker würden niemals (und es wäre auch in jedem gängigen Kalkül falsch) für die Wertevariable den Funktionsnamen (und schon gar nicht für zwei verschiedene Funktionen denselben Namen) verwenden.

Edit: Etwas abschwächen sollte ich vielleicht, denn bei Differentialen wird auch gewurstelt.

06.07.2010, 13:13

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Daher ja meine Anmerkung:

Zitat:

Original von Arthur Dent
(auch wenn's etwas seltsam aussieht)

... sowohl für Wert als auch Funktion dasselbe Symbol $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ zu nehmen.

Aber wenn du es schon erwähnst, dann eben so:

Sei $\begin{eqnarray*} v=f(t) \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} a(v) = f'(f^{-1}(v)) \end{eqnarray*}$ .

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06.07.2010, 13:29

wisili

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Das Problem von Marie93, nämlich «a(t)=a(v) ???» besteht immer noch. Ihre Frage war ausreichend präzise, nicht verwaschen. Und die Sorgen um die Ausdrucksweise waren berechtigt: Man kann 2 verschiedenen Funktionen nicht denselben Namen geben.

06.07.2010, 13:54

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Ich schlage mal vor, du machst mal weiter, vielleicht zur Abwechslung mal konstruktiv.

Zitat:

Original von wisili
Man kann 2 verschiedenen Funktionen nicht denselben Namen geben.

Ich weiß nicht, wer "man" ist. Ich jedenfalls habe nur dem Wert $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ und der Funktion $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ denselben Namen gegeben (wäre schön, wenn du das jetzt beim zweiten Mal endlich mal zur Kenntnis nimmst), wie es in der Physik üblich ist. Und nach deiner durchaus berechtigten Anmerkung dazu habe ich es auch so symbolisch korrigiert, dass auch ein überkorrekter Mathematiker zufrieden sein müsste.

Zitat:

Original von wisili
Das Problem von Marie93, nämlich «a(t)=a(v) ???» besteht immer noch.

Das sehe ich anders: Mit gegebenen $\begin{eqnarray*} v = f(t) \end{eqnarray*}$ ist die Frage nach der Beschleunigung $\begin{eqnarray*} a(v) \end{eqnarray*}$ von mir beantwortet:

$\begin{eqnarray*} a(v) = f'\left( f^{-1}(v) \right) \end{eqnarray*}$ ,

sofern $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ invertierbar ist. Sollte letzteres nicht der Fall sein, so gibt es für diese Bewegung keine solche Funktion $\begin{eqnarray*} a(v) \end{eqnarray*}$ - Beispiel:

Zitat:

Ein Auto beschleunigt linear von 0 auf 30 m/s (=108 km/h) innerhalb von 20 Sekunden, und bremst dann innerhalb von 10 Sekunden wieder linear auf 0 ab. Wie groß ist die Beschleunigung, als das Auto 80 km/h fährt?

Diese Frage ist nicht eindeutig beantwortbar, da die Geschwindigkeit 80 km/h während dieser Fahrt zweimal auftrat: Einmal beim Beschleunigen (1.5 m/s²), ein zweites Mal beim Bremsen (-3 m/s²). Hier kann man also sowas wie $\begin{eqnarray*} a(v) \end{eqnarray*}$ gar nicht angeben.

06.07.2010, 14:37

wisili

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Auch mit a(t) und a(v) können nicht dieselben Funktionen gemeint sein (aber ihre Werte stellen in beiden Fällen Beschleunigungen dar). Im Übrigen ist ein Hinweis darauf, dass Physik und Mathematik in manchen Fällen verschiedene Ausdrucksstile gelten lassen, nicht destruktiv. Und der Thread war zu Ende; du hattest, so schien es mir, die Beantwortung der angeblich «verwaschenen» Frage abgeschlossen.

Zuhanden von Marie93 fällt mir nichts Besseres ein, als ein Beipiel.
Nehmen wir einen nichtfreien vertikalen Wurf im homogenen Erdschwerefeld (mit Erdbeschleunigung g) und gehen wir davon aus, dass die Luftströmungsverhältnisse (bei ruhender Luft) dafür sorgen, dass die Bremsbeschleunigung proportional zur Geschwindigkeit ist (mit negativem Faktor -c).

Die Beschleunigung ist also a = g - c v *.
Die Funktion f: v --> a ist somit linear.
Die Funktion g: t --> v ist (nach dem Lösen der Differenzialgleichung *) exponentiell-sättigend.
Die Funktion h: t --> a ist (nach dem Ableiten von g) exponentiell-(betrags-)fallend.

06.07.2010, 15:16

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Eins noch:

Zitat:

Original von wisili
Mathematiker würden niemals (und es wäre auch in jedem gängigen Kalkül falsch) für die Wertevariable den Funktionsnamen (und schon gar nicht für zwei verschiedene, Funktionen denselben Namen) verwenden.

Stimmt nicht, ich hab es ja getan - auch weil das die Vorgaben von Marie waren mit ihrem v(t) und a(v). Nun kannst du ja gern versuchen, mir den Mathematiker-Status abzuerkennen, was dir allerdings nicht im entferntesten zusteht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber mach ruhig so weiter, Korrektheit muss ja sein. Aber bitte nicht mit falschen Unterstellungen wie diesem "zwei Funktionen desselben Namens", Ok?

06.07.2010, 15:18

wisili

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Ich bleibe dabei: a(t) und a(v) mit dem Sinn von oben meinen zwei verschiedene Funktionen (im Beispiel h und f).

06.07.2010, 15:19

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Über a(t) habe ich ja gar nicht geredet, immer nur über a(v). unglücklich

unglücklich

Hast du eigentlich mal eine Physikvorlesung besucht? Kann ich mir gar nicht vorstellen, bei der Krümelkackerei in Fragen, wo es bei normaler Betrachtung gar keine Missverständnisse geben kam - es sei denn, man will sie provozieren.

06.07.2010, 15:36

wisili

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Zunächst mal ist $\begin{eqnarray*} a(t) = \dot{v}(t) \end{eqnarray*}$ , also die Ableitung nach der Zeit.

Ob du nun im weiteren $\begin{eqnarray*} a(v) \end{eqnarray*}$ aufstellen kannst, hängt davon ab, ob $\begin{eqnarray*} v=v(t) \end{eqnarray*}$ invertierbar ist, sozusagen $\begin{eqnarray*} t=v^{-1}(v) \end{eqnarray*}$ (auch wenn's etwas seltsam aussieht). In dem Fall ist dann einfach

$\begin{eqnarray*} a(v) = \dot{v}\left( v^{-1}(v) \right) \end{eqnarray*}$ .

Nehmen wir also die Substituton $\begin{eqnarray*} a(t) = \dot{v}(t) \end{eqnarray*}$

und setzen unten ein: $\begin{eqnarray*} a(v)= a\left( v^{-1}(v) \right) \end{eqnarray*}$

Das zeigt zumindest die Gefahren der «physikalischen» Namensgebung; ich erlaube mir darauf hinzuweisen.

06.07.2010, 15:43

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Sieg für den Krümelkacker - ich gebe auf. Gott

Gott

Aber eine Bitte noch:

Gib mal bitte deinen Geistmodus auf. Damit man sich wenigstens noch normal mit Leuten in physikalischen Fragen unterhalten kann, wenn du nicht im Board bist und somit nicht dazwischenfunken kannst.

Und schön, dass du noch jahrelang auf Sachen rumreitest (wie dem $\begin{eqnarray*} v^{-1}(v) \end{eqnarray*}$ ), die ich längst nach deinen Wünschen umgeschrieben habe.

06.07.2010, 15:54

wisili

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$\begin{eqnarray*} a(v)= a\left( f^{-1}(v) \right) \end{eqnarray*}$ wäre das denn besser?

06.07.2010, 16:00

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Selbstverständlich ist dein

$\begin{eqnarray*} a = f(v) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v = g(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = h(t) \end{eqnarray*}$

aus mathematischer Sicht wünschenswert - nur: Es hält sich von den Physikern keiner dran, und du wirst sie nicht umerziehen.

Und wenn jemand wie Marie mit einer Anfrage mit $\begin{eqnarray*} v(t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a(v) \end{eqnarray*}$ ankommt, versuche ich sie nicht eben gleich umzuerziehen - das unterscheidet uns beide wohl. In dem Moment, wo ich es an Maries konkreten Beispiel diskutieren wollte

Zitat:

Original von Arthur Dent
Vielleicht erzählst du mal ein wenig mehr zu dem konkreten Problem, das dich zu obiger verwaschener Frage veranlasst hat?

hast du ja leider dazwischengefunkt, und hast eine m.E. völlig unnötigen Diskussion vom Zaun gebrochen, die der Fragestellerin wohl nicht im geringsten helfen wird.

EDIT: Wahrscheinlich ist es auch meine Auch-Tätigkeit als C++-Programmierung, die mich die Sache nicht so engstirnig wie du sehen lässt. Im physikalischen Kontext ist es nämlich kein Problem, zwischen zwei unterschiedlichen Funktionen $\begin{eqnarray*} a(t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a(v) \end{eqnarray*}$ trotz gleichem Funktionsnamen zu unterscheiden:

Bei der ersten hat man als Argument die Zeit, bei der zweiten die Geschwindigkeit - der C++-Programmierer kennt das von überladenen Funktionen. (*)

Selbstverständlich ist das dann nicht die von der Mathematik her gewohnte "reinrassige" Verwendung der Funktionensymbolik, aber sie ist bei Beachtung von (*) in sich widerspruchsfrei. Unter Beachtung solcher Prinzipient ist dann nichts gegen eine physikalische Variante

$\begin{eqnarray*} a(t) = v'(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a(v) = v'(v^{-1}(v)) \end{eqnarray*}$

auszusetzen, wenn man wie üblich unter $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ die Zeit und $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ die Geschwindigkeit versteht, sowie $\begin{eqnarray*} v(t) \end{eqnarray*}$ die Geschwindigkeitsfunktion in Abhängigkeit von der Zeit.

Problematisch würde die Sache erst dann werden, wenn ich vielleicht noch ein $\begin{eqnarray*} v(s) \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit vom Weg in diesem Kontext hier betrachten würde, weil dann bei einer Verwendung von $\begin{eqnarray*} v^{-1}(v) \end{eqnarray*}$ der Ergebnistyp unklar wäre - aber mache ich ja im vorliegenden Fall nicht.

06.07.2010, 16:10

wisili

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Einen «Hinweis geben» heisst nicht «umerziehen wollen».
Das ist nun Umgangssprache.

06.07.2010, 16:12

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Lassen wir's gut sein, es hat keinen Zweck, sich mit einem Beckmesser anzulegen.

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