Minimalpolynom bestimmen / Jordan Zerlegung

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Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »
Minimalpolynom bestimmen / Jordan Zerlegung
Hallo!

Ich bräuchte noch einmal eure Hilfe bei folgender Aufgabe:

[attach]15430[/attach]
(durchs draufklicken wird das Bild größer)

Ich soll ja einmal das Minimalpolynom bestimmen.

Ich weiß nur, dass man generell, wenn man eine Matrix hat das char. Polynom bestimmen und das dann in Linearfaktoren zerlegen kann. Dann weiß ich immerhin schon mal, dass das Minimalpolynom aus den gleichen Linearfaktoren besteht und ich muss nur noch prüfen, wie oft die jeweiligen Faktoren vorkommen, wenn es eine Vielfachheit größer 1 im char. Polynom gibt.

Gibt es noch eine andere Möglichkeit das min Pol zu bestimmen, wenn ich eine matrix gegeben habe?

********************

Wenn ich meine Methode anwende, komme ich darauf, dass das folgende das char. Polynom ist:

char =

Das ich mich verrechnet habe, ist leider möglich unglücklich Wäre also super, wenn jemand das überprüfen könnte.

Aber was mache ich nun mit so einem char? Wir hatten noch nie den Fall, dass zwei Unbekannte (t und a) in dem char Poly. stehen.
Wie gehe ich denn damit um?

***********************
Die Jordan-Zerlegung hatten wir gerade erst, aber leider noch kein wirkliches Beispiel dazu.

ich muss doch phi zerlegen in zwei Matrizen, wobei die eine eine Diagonalmatrix ist (also nur Einträge auf der Hauptdiagonalen hat) und die andere Matrix nilpotent ist, also strikt triangulierbar (also eine untere Dreiecksmatrix, wobei auf der Hauptdiagonalen auch nur Nullen stehen). Und wenn ich diese beiden addiere soll ich wieder auf meine phi Matrix kommen. Ich weiß nun aber nicht, wie man das praktisch macht.

Muss ich phi erst mal mit Zeilenumformung so umformen, dass es selbst eine untere Dreiecksmatrix ist?

Wäre klasse, wenn mir jemand dabei helfen würde! Danke schon mal im Voraus!
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Minimalpolynom bestimmen / Jordan Zerlegung
Nachdem ich nun noch ca 7 mal alles durchgerechnet habe und oft unterschiedliche Ergebnisse erhielt, habe ich jetzt folgendes char. Polynom raus:
(t-1)² (t+1) (t-2)

Ich werde dann jetzt mal versuchen das Minimalpol. auszurechnen. Wollte das nur schon mal schreiben, damit ihr euch an der Matriy nicht versuchen müsst.

Gibt es eigentlich eine Kontrolle, ob mein Char. Pol. stimmt?

Hilfe für die Jordan Zerlegung nehme ich immer noch gerne an smile
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Claudia,

Das char. Polynom stimmt. Freude
(Mit so was wie Mathematica oder einem ähnlichen Computeralgebraprogramm lässt sich das ausrechnen).
Ansonsten kann man auch ein-zwei feste Werte für a einsetzen, losrechnen und schauen, ob das erhaltene Polynom mit der zuvor berechneten allgemeinen Form übereinstimmt.

Bestimme nun erst mal das Minimalpolynom in Abhängigkeit von . Für die JNF gibt es dann eine Anleitung bei Wiki, bzw. sogar noch ein paar mehr unten bei den Links.

Gruß,
Reksilat.
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte nun die zwei Möglichkeiten fürs Minimalpolynom austesten.

Denn Min.-Pol. kann ja nur sein: (t+1)(t-2)(t-1) oder (t+1)(t-2)(t-1)²

Da ich mich heute ständig verrechnet habe, wollte ich mein Ergebnis mit einem Onlinerechner überprüfen.

Ich habe zu erst mal (t+1)(t-2) gerechnet.

Also habe ich für t jeweils die gegeben Matrix eingesetzt und dann auf der Diagonalen jeweils 1 addiert bzw. 2 subtrahiert.

Dann komme ich auf folgende Matrizen und dieses Ergebnis vom Online-Rechner:

[attach]15434[/attach]

Die Zahlen, die ein Kästchen haben, sind diejenigen, bei denen ich andere Ergebnisse habe.

Habe ich mich verrechnet oder kann der Onlinerechner nicht mit a rechnen?

ich habe folgende Matrix raus:



Wäre jemand so lieb und würde man die Kästchenzahlen nachrechnen, ob ich es richtig gemacht habe. Falls ich mich nicht verrechnet habe, kann mir jemand einen online-Rechner nennen, der auch mit Variablen klar kommt?
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Außerdem habe ich noch eine weitere Frage:

Generell darf man ja nicht die Reihenfolge bei Matrizen willkürlich vertauschen.
Aber bei meinem char. Poly. ist die Reihenfolge der Linearfaktoren doch egal. Kann ich mir damit dann auch die Reihenfolge der Matrizen zur Multiplikation aussuchen?


Die Links sind ja für die Jordan Normalform, da gibt es scheinbar auch Einträge über der Hauptdiagonalen. Das darf ich doch bei der Jordan-Zerlegung nicht haben oder?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Fragen nach einem geeigneten Online-Rechner kann ich nur verurteilen. Solch billige Rechnungen solltest du selber noch durchführen können. Stattdessen verschwendest du deine Zeit und schreibst hier Romane rein. Rechne!


Zitat:
Original von Claudia105
Außerdem habe ich noch eine weitere Frage:

Generell darf man ja nicht die Reihenfolge bei Matrizen willkürlich vertauschen.
Aber bei meinem char. Poly. ist die Reihenfolge der Linearfaktoren doch egal. Kann ich mir damit dann auch die Reihenfolge der Matrizen zur Multiplikation aussuchen?


Ja.


Zitat:
Original von Claudia105
Die Links sind ja für die Jordan Normalform, da gibt es scheinbar auch Einträge über der Hauptdiagonalen. Das darf ich doch bei der Jordan-Zerlegung nicht haben oder?


Wie habt ihr denn "Jordan-Zerlegung" definiert?
 
 
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich HABE gerechnet! Ich habe die ganze Rechnung bestimmt 8 mal durchgeführt und ständig kam Mist raus, weil ich immer mal nen Vorzeichen verdreht habe. Deshalb wollte ich lediglich Zwischenschritte vergleichen, um festzustellen, ob nach der ersten Multiplikation noch alles richtig ist oder ab da schon der Fehler drin steckt. Das war alles. Also wirklich nur Kontrolle und nichts anderes smile

Mittlerweile hat es aber geklappt und ich weiß, dass Minimal-Pol. = char. Pol. ist.

Wir haben Jordan-Zerlegung wie folgt definiert:


Sei K ein Körper, V ein endl-dim. K-Vektorraum, phi ein Endomorphismus von V.
Eine Jordan-Zerlegung von phi ist ein Paar (delta, gamma) von Endomorphismen von V, delta diagonalisierbar, gamma nilpotent, so dass gilt:
1.) phi = delta + gamma
2.) delta*gamma = gamma*delta

Wir haben ein Beispiel dazu aufgeschrieben und da ist phi, welches zerlegt werden soll, schon so angegeben, dass es auf der Diagonalen die Eigenwerte hat (die gleichen immer zusammen) und dann kann es nur noch Einträge geben in dem jeweiligen Block unter der Diagonalen. Also quasi eine untere Dreiecksmatrix, wobei bei der auch nicht überall Zahlen unter der Hauptdiagonalen sind, sondern nur in Blöcken um die Eigenwerte.

Die Eigenwert habe ich ja bereits und könnte damit basteln:

mit b aus K.

Das würde ja zur Definition passen. Aber kann ich von der ersten matrix ausgehen, da sie mit den Eigenwerten der in der Aufgabe gegebenen Eigenwerten erstellt wurde oder muss ich die gegebene Matrix umformen, bis sie dann so aussieht?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid für die verspätete Antwort.

Zuerst: Die Jordansche Normalform lässt sich je nach Definition mit Einträgen sowohl über als auch unter der Diagonalen schreiben; letztlich kommt es aufs gleiche raus.
Wenn Du nun zu Deiner Ausgangsmatrix eine JNF hast, d.h. Du hast eine Transformationsmatrix gefunden, mit , dann lässt sich ja zerlegen in einen Diagonalanteil und einen nilpotenten Anteil . (Das hast Du ja in Deinem letzten Beitrag auch schon gemacht. Statt muss da aber ein stehen.)

Damit ist also und Du hast Deine Jordanzerlegung, denn da Diagonalgestalt hat, ist gewiss diagonalisierbar und so wie ist dann auch nilpotent.

Gruß,
Reksilat.
gast21 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo claudia..

du musst auf jeden fall ne unterscheidung machen..
1. fall:
a ungleich 0

2. fall
a gleich 0

hat paul in der sprechstunde gesagt.

du hast bis jetzt lediglich den 1. fall betrachtet..
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

"Hat Paul in der Sprechstunde gesagt" ist aber keine sinnvolle Begründung dafür, irgendeinen Sonderfall zu betrachten. Entweder der Fall ergibt sich irgendwo oder eben nicht. Erzwingen kann man da nichts.
smile

Gruß,
Reksilat.
gast21 Auf diesen Beitrag antworten »

wir sind an der selben uni Augenzwinkern

und unser prof hat das den hiwis wohl zum weiterleiten aufgetragen..
nur leiten nicht alle hiwis sowas weiter..
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Ist alles schon klar, nur ist es eben völlig sinnlos, eine Fallunterscheidung zu machen, wenn man sie nicht benötigt. Das kann ein Hinweis sein, dass irgendwo was falsch ist - muss aber nicht.
gast21 Auf diesen Beitrag antworten »

glaub mir, das habe ich auch gesagt..
aber er sagte, dass unser prof darauf besteht und dass wir sowas wissen sollten, falls es auch in der klausur so eine aufgabe geben sollte..

der prof ist wohl der meinung, dass es KLAR ist, dass man hier ne fallunterscheidung machen soll..
er hat es eh gern anders als alle anderen.. :Pi
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Reksilat für deine Antwort!

Im Zusammenhang mit Jordan-Zerlegung haben wir kein einziges Mal von einer transponierten Matrix gesprochen, ist ja merkwürdig.

b=0 kann es ja nicht werden, da es sonst mit dem Minimalpolynom nicht hin haut oder?

Oh man, mir graust schon vor der Klausur *g*
gast001 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi alle zussammen. Also die Fallunterscheidung ist zunächst einmal gar nicht klar.
Um jedoch zu überprüfen, ob das Minimalpolynom ist, setz man ja in die ausmultiplizierte Gleichung ein. Für ergibt sich

und diese Matrix ist eben nur für die Nullmatrix.
Somit folgt, dass für das Minimalpolynom schon für gegeben ist. Für alle ergibt sich das Minimalpolynom erst für .
Somit folgt also diese Fallunterscheidung. Ich hoffe ich konnte eure Frage damit ausreichend beantworten.
Schöne Nacht wünsche ich noch.

P.S. die Jordan-Zerlegung sollte mit stimmen.
Auch hier muss wieder Fallunterscheidung nach dem Minimalpolynom vorgenommen werden.
Für bzw. folgt und für
bzw. für alle und somit muss gelten.
irgendwer123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Fehler bei der Berechnung ist mir aufgefallen. Man darf nicht in die nicht ausmultiplizierte Gleichung einsetzen.
Denn: Ein Polynom ist ja nach Definition eine Linearkombination der Potenzen einer Veränderlichen über einem Ring. Also sagen wir mal von der Grundform eben diese ausmultiplizierte Gleichung. Wenn man einsetz, rechnet man ja nicht mit den Endomorphismen, sondern mit der darstellenden Matrix, deswgen denke ich, dass die an der nicht Kommutativität des Matrixproduktes liegt.

Na jedenfalls habe ich diese Problem auch schon einmal gehabt. und mir damals ein Beispiele mit _Matzizen gebastelt. Da ging es eben immer nur in der ausmultiplizierten Form auf, wenn mehr als ein Linearfaktor vorliegt.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von irgendwer123
Ein Fehler bei der Berechnung ist mir aufgefallen. Man darf nicht in die nicht ausmultiplizierte Gleichung einsetzen.

Auch wenn man die nicht ausmultiplizierte Form verwendet, sollte das kein Problem darstellen. Assoziativität gilt auch bei Matrixmultiplikation und die einzigen beteiligten Matrizen sind die Matrixdarstellung von und skalare Vielfache der Einheitsmatrix - diese vertauschen aber alle miteinander, so dass hier die Nichtkommutativität keine Rolle mehr spielt.

Außerdem gilt:
Sei , dann ist für , immer:

Bezüglich welcher Basis ich rechne, ist also auch nicht wichtig.

Problematisch wird es höchstens bei mehreren Veränderlichen, denn im Polynomring gilt ja , was bei beliebigen eingesetzten Matrizen eben nicht mehr gilt.

Gruß,
Reksilat.
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