Grenzwert x->0 von (sin(x)+xcos(x))/2cos(2x)*2

07.07.2010, 13:06

wtPI

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Grenzwert x->0 von (sin(x)+x*cos(x))/2*cos(2x)*2

Meine Frage:
Der Grenzwert soll berechnet werden:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x \frac{x*sin(x)}{1- cos^2(2x)} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Hallo zusammen.
Ich habs zuerst mit einfachem einsetzen versucht, gibt aber die 0 zu 0 Situation.
Dann wollt ichs mit l' Hospital machen aber das darf ich wegen der periodischen funktion ja auch nicht, mir fehlt der Ansatz um die Aufgabe überhaupt richtig anfangen zu können. Habt ihr da vllt ne Idee?

€dit: Das Ergebnis was mir als Lösung angegeben wird soll 1/4 lauten

07.07.2010, 13:16

Iorek

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So wie es da steht ist der Grenzwert nicht $\begin{eqnarray*} \frac 14 \end{eqnarray*}$ , bist du sicher, dass vor dem Bruch noch ein x stehen soll?

07.07.2010, 13:18

wtPI

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Nee.. das X vor dem Bruch sollte da nicht hin. Das ist irgendwie dahin gekommen als ich das Lim in Latex ergänzt habe..

So lautet das richtig: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{x*sin(x)}{1- cos^2(2x)} \end{eqnarray*}$

07.07.2010, 13:24

Iorek

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Und wieso solltest du L'Hospital hier nicht nutzen dürfen? Das läuft zwar auf einen zweifachen L'Hospital hinaus, aber es ist durchaus legitim den hier anzuwenden.

07.07.2010, 13:27

Mulder

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Zitat:

Original von Iorek
Das läuft zwar auf einen zweifachen L'Hospital hinaus [...]

Wenn man vorher ein bisschen mit Additionstheoremen spielt, reicht auch einmal. Man spart sich dann auch die ganzen lästigen Produktregeln. Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.07.2010, 13:29

Kühlkiste

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Dann wende mal

$\begin{eqnarray*} \sin^2(x)+\cos^2(x)=1 \end{eqnarray*}$ an und erweitere so,

dass alles auf den bekannten Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac {\sin(x)}x=1 \end{eqnarray*}$

zurückzuführen ist.

Übrigens: L'Hospital brauchst die hier -wie so oft- überhaupt gar nicht!

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07.07.2010, 13:29

Iorek

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Joa, ob man jetzt vorher umformt oder schnell die Produktregel zu Rate zieht... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber du hast Recht, man kann es auch mit einmal L'H schaffen.

Edit: @Kühlkiste, in der Schule würde ich nicht unbedingt vorraussetzen, dass $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to 0}\frac {\sin(x)}x \end{eqnarray*}$ bekannt ist.

07.07.2010, 13:39

Mulder

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Zitat:

Original von Iorek
Edit: @Kühlkiste, in der Schule würde ich nicht unbedingt vorraussetzen, dass $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to 0}\frac {\sin(x)}x \end{eqnarray*}$ bekannt ist.

Da war ich mir auch nicht sonderlich sicher... daher hatte ich auch noch einmal L'Hospital angesetzt, für sin(x)/x, bzw. x/(sin(x)).

verwirrt

verwirrt

07.07.2010, 14:03

corvus

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Zitat:

Original von Iorek
in der Schule würde ich nicht unbedingt vorraussetzen, dass
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to 0}\frac {\sin(x)}x \end{eqnarray*}$
bekannt ist.

meinst? .. smile

smile

.. da macht mans halt nur auf quasi elementargeometrischem Weg, zB so:
http://www.krauseplonka.de/math_onl/ma1/grenzwerte/sinxx.htm
.

07.07.2010, 14:04

wtPI

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Vielen dank erstmal für eure Hilfe. Hab den l'Hospital jetzt zweimal angewendet, hilft mir aber auch irgendwie nicht weiter.. wahrscheinlich bin ich einfach nur zu blöd zum richtig rechnen.

Erstes Mal l'H : $\begin{eqnarray*} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{sin(x)*cos(x)*x}{-4*sin(2x)*cos(2x)} \end{eqnarray*}$

Zweites Mal: $\begin{eqnarray*} \frac{f''(x)}{g''(x)} = \frac{cos²(x)*x-x*sin²(x)+cos(x)*sin(x)}{-8*cos²(2x)+8*sin²(2x)} \end{eqnarray*}$

Das hab ich noch zusammengefasst zu $\begin{eqnarray*} \frac{x*(cos²(x)-sin²(x))+cos(x)*sin(x)}{8*(sin²(2x)-cos²(2x))} \end{eqnarray*}$

Nu würd ich das $\begin{eqnarray*} sin^2(x)+cos^2(x)=1 \end{eqnarray*}$ ja gern anwenden aber geht das auch mit Minus dazwischen?

€dit: Ich sehs selbst ich kann einfach die Klammer mit -1 multiplizieren.. sry dass ihr so lang warten müsst bin nich so schnell im Rechnen.

$\begin{eqnarray*} \frac{-x+cos(x)*sin(x)}{-8*(sin²(2x)+cos²(2x))} \end{eqnarray*}$ hab ich jetzt raus.
Kann ich das unten auch einsetzen obwohl da 2*x steht? Also $\begin{eqnarray*} \frac{-x+cos(x)*sin(x)}{-8} \end{eqnarray*}$ ?

07.07.2010, 14:19

AD

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Dass dein Weg umständlich ist, wurde schon zigmal gesagt - aber gut, mach es so.

Wie kommst du jetzt aber trotz deiner Überschrift

Zitat:

Grenzwert x->0 von (sin(x)+x*cos(x))/2*cos(2x)*2

von $\begin{eqnarray*} f(x) = x\cdot \sin(x) \end{eqnarray*}$ auf die falsche Ableitung $\begin{eqnarray*} f'(x) \stackrel{?}{=} \sin(x)\cdot \cos(x)\cdot x \end{eqnarray*}$ statt der richtigen $\begin{eqnarray*} f'(x) = \sin(x) + \cos(x)\cdot x \end{eqnarray*}$ ? Dass es nicht nur ein temporärer Schreibfehler war sieht man an der Tatsache, dass deine zweite Ableitung $\begin{eqnarray*} f''(x) \end{eqnarray*}$ offenbar auf dieser falschen ersten Ableitung basiert.

07.07.2010, 14:25

Kühlkiste

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Zitat:

Original von wtPI
Vielen dank erstmal für eure Hilfe. Hab den l'Hospital jetzt zweimal angewendet, hilft mir aber auch irgendwie nicht weiter.. wahrscheinlich bin ich einfach nur zu blöd zum richtig rechnen.

Erstes Mal l'H : $\begin{eqnarray*} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{sin(x)*cos(x)*x}{-4*sin(2x)*cos(2x)} \end{eqnarray*}$

Zweites Mal: $\begin{eqnarray*} \frac{f''(x)}{g''(x)} = \frac{cos²(x)*x-x*sin²(x)+cos(x)*sin(x)}{-8*cos²(2x)+8*sin²(2x)} \end{eqnarray*}$

Das hab ich noch zusammengefasst zu $\begin{eqnarray*} \frac{x*(cos²(x)-sin²(x))+cos(x)*sin(x)}{8*(sin²(2x)-cos²(2x))} \end{eqnarray*}$

Nu würd ich das $\begin{eqnarray*} sin^2(x)+cos^2(x)=1 \end{eqnarray*}$ ja gern anwenden aber geht das auch mit Minus dazwischen?

Wenn Du so vorgehst, dann ist das sicher ne tolle Geschichte um das Ableiten zu üben.
Hinsichtlich der Aufgabenstellung ist das aber eher ungünstig.
Wie ich schon sagte kann hier die Einsicht, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}x=1 \end{eqnarray*}$

gewinnbringend investiert werden. Das ist für Ausdrücke dieser Art ein Standardtrick, der immer wieder nützlich ist.
Sollte nun (wovon ja offenbar einige Foristen ausgehen) dieser Grenzwert noch nicht bekannt sein, dann wäre dieser doch ein dankbares Opfer für L'Hospital.

Betrachte dann mal:

$\begin{eqnarray*} \frac{x\sin(x)}{1-\cos^2(2x)}=\frac{x\sin(x)}{\sin^2(2x)}=\frac 14\cdot \frac{\sin(x)}x \cdot\left(\frac 1{\frac{\sin(2x)}{2x}}\right)^2 \end{eqnarray*}$

07.07.2010, 14:27

wtPI

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Ganz einfach, weil ich das mit dem Erweitern nicht hinbekommen habe..
Ja du hast recht ich habe falsch abgeleitet und das auch noch falsch übernommen.
Danke für den Hinweis.

07.07.2010, 14:54

wtPI

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Zitat:

Original von Kühlkiste
Betrachte dann mal:

$\begin{eqnarray*} \frac{x\sin(x)}{1-\cos^2(2x)}=\frac{x\sin(x)}{\sin^2(2x)}=\frac 14\cdot \frac{\sin(x)}x \cdot\left(\frac 1{\frac{\sin(2x)}{2x}}\right)^2 \end{eqnarray*}$

Bei dir sieht das so selbstverständlich aus.

Warum ich $\begin{eqnarray*} 1-\cos^2(2x) \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} sin(x) \end{eqnarray*}$ umformen kann hab ich verstanden.
Aber wieso ich das dann weiter zu deinem letzten Teil $\begin{eqnarray*} \frac 14\cdot \frac{\sin(x)}x \cdot\left(\frac 1{\frac{\sin(2x)}{2x}}\right)^2 \end{eqnarray*}$ umformen kann will mir noch nicht so recht einleuchten.

07.07.2010, 15:11

Kühlkiste

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Zitat:

Original von wtPI

Zitat:

Original von Kühlkiste
Betrachte dann mal:

$\begin{eqnarray*} \frac{x\sin(x)}{1-\cos^2(2x)}=\frac{x\sin(x)}{\sin^2(2x)}=\frac 14\cdot \frac{\sin(x)}x \cdot\left(\frac 1{\frac{\sin(2x)}{2x}}\right)^2 \end{eqnarray*}$

Bei dir sieht das so selbstverständlich aus.

Weil es das auch ist.

Zitat:

Original von wtPI
Warum ich $\begin{eqnarray*} 1-\cos^2(2x) \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} sin(x) \end{eqnarray*}$ umformen kann hab ich verstanden.

Du hast doch hoffentlich eher verstanden wie Du $\begin{eqnarray*} 1-\cos^2(2x)\text{ zu } \sin^2(2x) \end{eqnarray*}$ umformen kannst.

Zitat:

Original von wtPI
Aber wieso ich das dann weiter zu deinem letzten Teil $\begin{eqnarray*} \frac 14\cdot \frac{\sin(x)}x \cdot\left(\frac 1{\frac{\sin(2x)}{2x}}\right)^2 \end{eqnarray*}$ umformen kann will mir noch nicht so recht einleuchten.

Wenn's so nicht einsichtig ist, dann 'zäum das Pferd doch mal von hinten auf'.
Multipliziere obigen Term mal aus und kürze, dann dürfte der Groschen fallen.

07.07.2010, 16:04

wtPI

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Aahhh^^ Verstanden, danke smile

smile

07.07.2010, 16:08

Airblader

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Zu sagen, der o.g. Grenzwert sei nicht bekannt, ist ja aber Quatsch. Wenn man den nicht kennt, dann weiß man nicht, dass Sinus abgeleitet Kosinus gibt oder was cos(0) ist.
Aber wenn man das nicht weiß kann man auf die eigentliche Aufgabe schon keinen l'Hospital anwenden.

air

07.07.2010, 16:18

Iorek

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Zitat:

Original von Airblader
Zu sagen, der o.g. Grenzwert sei nicht bekannt, ist ja aber Quatsch. Wenn man den nicht kennt, dann weiß man nicht, dass Sinus abgeleitet Kosinus gibt oder was cos(0) ist.

Doch, der Lehrer gibt vor: Sinus abgeleitet ergibt Cosinus abgeleitet ergibt -Sinus abgeleitet ergibt -Cosinus abgeleitet ergibt Sinus. Und die Werte für den Cosinus kennt man aus der 9ten Klasse, von daher ist der Grenzwert für die Schulmathematik nicht unbedingt wichtig. Ob das mathematisch so korrekt ist sei mal dahingestellt.

07.07.2010, 16:21

Airblader

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Ja. Aber wenn man das gesagt bekommt kennt man auch diesen Grenzwert. Es sei denn, man hat den Begriff "Ableitung" nie definiert. Aber das halte ich doch für ausgeschlossen.

air

07.07.2010, 16:29

Iorek

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Der Begriff der Ableitung wird durchaus definiert, man berechnet mittels der "h-Methode" $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{h\to 0} \frac {f(x+h)-f(x)}h \end{eqnarray*}$ einige Ableitungen und lernt danach die Ableitungsregeln. Aber das war es auch. Es mag durchaus sein, dass das nur bei meinen Bekannten/Nachhilfeschülern so ist, aber die eigentliche Definition der Ableitung spielt danach seltenst eine Rolle. Man kann Ableiten, man kann eine Kurvendiskussion nach "Schema F" durchführen, aber das war es auch schon.

Es ist leider nicht so, dass sich alle Schüler für die Mathematik dahinter interessieren, mit dem Wissen über die Ableitungsregeln schafft man sein Abitur und das ist doch alles was zählt, oder?

07.07.2010, 16:32

Airblader

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Ich glaube, wir verstehen den Begriff "Der Grenzwert ist nicht bekannt" anders. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich denke, dass du das als "nicht bekannt = der Schüler sieht es nicht" verstehst, ich habe es etwas anders aufgefasst.

air

07.07.2010, 16:37

Iorek

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Ok, das kann sein Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich habe es aufgefasst als "Er wird nicht explizit im Unterricht genannt" bzw. "Diesen Grenzwert als Ableitung aufzufassen, sehen die meisten Schüler nicht". Auch die Erweiterung von Kühlkiste (die ja durchaus sehr schön ist), kann man zwar wunderbar zurückrechnen, ich denke aber mal nicht, dass der normale Schüler auf diese Umformung in einer Klausur kommt (mag sein, dass ich mich irre).

07.07.2010, 17:19

Airblader

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Klar, da stimme ich dir zu. Ich denke, ich habe das hier etwas falsch verstanden, da es für mich erst so klang wie "Ein Schüler kann diesen Grenzwert nicht wissen", nicht wie "Ein Schüler würde darauf kaum kommen". Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

07.07.2010, 17:27

AD

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Zitat:

Original von Airblader
"Ein Schüler würde darauf kaum kommen"

Wobei man auch über diese Formulierung wieder streiten könnte. Aber heute nicht, ist ja so angenehmes Wetter, und in paar Stunden wartet der Fußball. Wink

Wink

07.07.2010, 17:28

Airblader

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Irgendwie sorgt dieser doofe Grenzwert immer wieder für Diskussionen. Big Laugh

Big Laugh

air

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