normaler Endomorphismus

07.07.2010, 19:03

Merlinius

normaler Endomorphismus

Hey, ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Zitat:

Beweisen oder widerlegen Sie:

a) Sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein endlich-dimensionaler unitärer Vektorraum. Sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ein normaler Endomorphismus von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} <f(v), v> = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} f = 0 \end{eqnarray*}$ .

b) Sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein endlich-dimensionaler euklidischer Vektorraum. Sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ein normaler Endomorphismus von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} <f(v), v> = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} f = 0 \end{eqnarray*}$ .

Also ehrlich gesagt, komm ich auf keinen Ansatz, der in irgendeine erfolgversprechende Richtung führt. Eigentlich sieht die Aufgabe recht leicht aus. Es gelingt mir auch nicht, irgendwo die adjungierte Abbildung einzubauen.

Wenn ein Unterschied zwischen euklidisch und unitärem VR bestehen sollte, dann muss es ja an hermetisch vs. symmetrisch liegen, oder? Oder an der Konstruktion der adjungierten Abbildung?

Es wäre nett, wenn mir jemand einen kleinen Tipp geben könnte, in welche Richtung ich denken muss.

08.07.2010, 01:12

tigerbine

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kleiner Hinweis.

Zitat:

Wenn ein Unterschied zwischen euklidisch und unitärem VR bestehen sollte, dann muss es ja an hermetisch vs. symmetrisch liegen, oder? Oder an der Konstruktion der adjungierten Abbildung?

Wie lauten denn die jeweiligen Skalarkörper?

Im ersten Moment sieht das für mich nach einem Widerspruchsbeweis aus. Was ist, wenn f nicht die Nullabbildung ist. Mehr kann ich dir im Moment leider auch nicht helfen. Morgen kommt sicher ein Kollege. Wink

08.07.2010, 09:23

jester.

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In einem unitären Vektorraum existiert zu jedem normalen Endomorphismus eine ON-Basis aus Eigenvektoren dieses Endomorphismus, sodass man hier in der Tat recht schnell mit dem von Tigerbine vorgeschlagenen Widerspruchsbeweis zum Ziel kommt.
Denn wählt man sich so eine ONB $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , so kann man die Darstellungsmatrix von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sehen als $\begin{eqnarray*} ^B f ^B = \operatorname{diag}(\lambda_1,...,\lambda_n) \end{eqnarray*}$ und ohne Einschränkung $\begin{eqnarray*} \lambda_1\neq 0 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} f\neq 0 \end{eqnarray*}$ nach Annahme. Dann sollte klar sein, wie es weitergeht.

Im euklidischen Fall ist das ganze nicht so einfach, da wir dort (i.A.) erstmal nur für selbstadjungierte Endomorphismen/symmetrische Matrizen eine ONB finden.
Vielleicht kann man für den Fall ein Gegenbeispiel finden.

Nachtrag: Habe eines gefunden. Suche dir eine reelle $\begin{eqnarray*} 2\times 2 \end{eqnarray*}$ -Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , die $\begin{eqnarray*} A^T A-AA^T=0 \end{eqnarray*}$ erfüllt. Da gibt es einen selbstadjungierten (i.e. symmetrischen) und einen anderen Fall. Und dieser andere Fall wird dir wohl weiterhelfen.

09.07.2010, 00:54

Merlinius

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Super, vielen Dank. Ich versuchs mal mit den Tipps.

10.07.2010, 02:58

WebFritzi

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Im unitären Vektorraum gilt die Behauptung sogar witzigerweise für alle Endomorphismen. Das kann man so beweisen:

Es sei also <fv,v> = 0 für alle v in V. Definiere dann

$\begin{eqnarray*} [v,w]_+ := \langle fv,w\rangle + \langle v,fw\rangle \end{eqnarray*}$

sowie

$\begin{eqnarray*} [v,w]_- := i\cdot\left(\langle fv,w\rangle - \langle v,fw\rangle\right). \end{eqnarray*}$

Die Abbildungen $\begin{eqnarray*} (v,w)\mapsto [v,w]_\pm \end{eqnarray*}$ sind beide hermitesche (!) Sesquilinearformen mit

$\begin{eqnarray*} [v,v]_+ = [v,v]_- = 0\;\;\text{für alle }\,v\in V. \end{eqnarray*}$

Nun kann man entweder die Polarisationsformel bemühen oder die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung (die auch für semi-definite innere Produkte gilt). Man erhält so in jedem Fall

$\begin{eqnarray*} [v,w]_+ = [v,w]_- = 0\;\;\text{für alle }\,v,w\in V. \end{eqnarray*}$

Also gilt für alle v,w aus V:

$\begin{eqnarray*} 0 = [v,w]_+ = \langle fv,w\rangle + \langle v,fw\rangle = \langle (f+f^*)v,w\rangle, \end{eqnarray*}$

und damit

$\begin{eqnarray*} f + f^* = 0. \end{eqnarray*}$

Analog zeigt man $\begin{eqnarray*} f - f^* = 0. \end{eqnarray*}$ Folglich gilt f = 0.

Dieses Verfahren können wir im reellen Fall nicht anwenden, da wir keine imaginäre Einheit haben. Immerhin können wir $\begin{eqnarray*} f + f^T = 0 \end{eqnarray*}$ retten. Das führt dich etwas leichter zu jesters Beispiel. Augenzwinkern

10.07.2010, 10:52

jester.

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Schön, Webfritzi! Freude

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