Fluß durch Halbkugel

07.07.2010, 20:57	Analytiker 1	Auf diesen Beitrag antworten »
Fluß durch Halbkugel Hallo, folgende Aufgabe habe ich versucht zu rechnen: [attach]15443[/attach] Fluß durch Mantelfläche: Kugelparameter: $\begin{eqnarray} x=sin\theta\cdot cos\phi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=sin\theta\cdot sin\phi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z=cos\theta \end{eqnarray}$ Halbkugel: $\begin{eqnarray} 0\leq \phi\leq 2\pi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0\leq \theta\leq \pi/2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{F}(\vec{r}) =\begin{pmatrix} 2x \\ 2y \\2z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} grad\,\phi=\begin{pmatrix} 2x \\ 2y \\ 2z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{N} =\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{F}\cdot \vec{N} =2(x^2+y^2+z^2)=2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} dA=r^2\cdot sin\theta \, d\theta \, d\phi \end{eqnarray}$ für r=1 $\begin{eqnarray} dA= sin\theta \, d\theta \, d\phi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int\int_{A1} \! (\vec{F}\cdot \vec{N)} \, dA = 2\int_0^{2\pi } \int_0^{\frac{\pi }{2} }\! sin\theta \, d\theta \, d\phi =2\pi \end{eqnarray}$ stimmt das so?
08.07.2010, 09:09	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Aufgabe kann man mit dem Gaußsche Satz stark vereinfachen. Man berechnet dabei für die Halbkugel nicht das Obeflächenintegral über die Flussdichte $\begin{eqnarray} \vec F=2\cdot \vec x \end{eqnarray}$ , sondern das Volumenintegral über den Integranden $\begin{eqnarray} div(\vec F)=2 \end{eqnarray}$ Das Volumenintegral lautet also $\begin{eqnarray} \int_{R=0}^1 \int_{\phi=0}^{360°} \int_{\theta=0}^{90°} \! 2 \cdot \underbrace{R^2 \sin(\theta)}_{Funktionaldeterminante} \, dR d\phi d\theta \end{eqnarray}$ Ohne den Integranden 2 wäre das gerade das Volumen der Halbkugel mit dem Radius R=1 (weil über theta nur von 0° bis 90° integriert wird). Wegen des Integranden 2 ergibt sich also das Volumen der Vollkugel mit dem Radius R=1, also $\begin{eqnarray} \frac{4}{3}R^3\pi=\frac{4}{3}\pi \end{eqnarray}$
08.07.2010, 12:17	Analytiker 1	Auf diesen Beitrag antworten »
also wäre der Fluß durch die Halbkugel gleich dem Volumen der Halbkugel, ist das richtig? Der Fluß durch die Halbkugel wäre dann 2/3 pi ?
08.07.2010, 13:09	Analytiker 1	Auf diesen Beitrag antworten »
also so ganz klar ist mir das noch nicht, weil ich bekomme $\begin{eqnarray} div(\vec F)=6 \end{eqnarray}$ und dann wäre mein Ergebis $\begin{eqnarray} 4\pi \end{eqnarray}$
08.07.2010, 13:10	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, div(F)=6. Also mein Faktor sist falsch.

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