Wo ist der Fehler ? (affine Abbildungen, Unterräume)

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Tarnfara Auf diesen Beitrag antworten »
Wo ist der Fehler ? (affine Abbildungen, Unterräume)
Servus, ich bin hier am Verzweifeln über einer Aufgabe, die ich eigentlich für einfach hielt:

Es sei K ein Körper, der dreidimensionale affine Standardraum über K (mit Koordinatensystem

und eine affine Abbildung mit Koordinatendarstellung:



bezüglich E für

Zeigen Sie, dass die Menge der Fixpunkte im Falle eine Hyperebene H ist und geben Sie die definierende Gleichung an.



Nachdem ich mir ne Weile den Kopf zerbrochen habe, ob es da eine schnelle Lösung gibt, weil die Matrix so hübsch ausschaut, habe ich den Gedanken verworfen und wollte eigentlich so vorgehen:

Ansatz:
P Fixpunkt von

also ein inhomogenes GS.

Dann wollte ich den Gauss draufjagen, um eine spezielle Lsg. zu erhalten, die dann um abgeändert alle Lsg des inhomogenen Lgs liefern sollte.

Soweit der Plan, aber kommt nur Mist raus ?

Hier meine Rechnung:



O.B.d.A







So und hier hakts bei mir jetzt.

Ist vielleicht peinlich, aber ich habe jetzt X_3 = 1 gesetzt:



?? :-(

Help.

Edit: Ich denke, ich muss wohl oder übel durch den Kram da teilen, aber muss ich dann nicht eine Fallunterscheidung machen, um auszuschließen, dass das 0 ist ?
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wo ist der Fehler ? (affine Abbildungen, Unterräume)
Probiere es mal so (I ist die Einheitsmatrix):

. Berechne die rechte Seite als Spalte.
 
 
Tarnfara Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, super Tipp. Danke.

Mittlerweile habe ich es zwar brutalst möglich ausgex-t, aber dein Ansatz ist natürlich 100 mal besser und vor allem nicht falsch (so wie meiner).

Mit meinem Ansatz hatte ich ja nach einer Lösung für
gesucht, was natürlich nur Kappes ergeben konnte.

Jetzt soll ich zeigen, dass die Abbildung genau dann bijektiv ist, wenn

Grüße
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tarnfara
Jetzt soll ich zeigen, dass die Abbildung genau dann bijektiv ist, wenn


Die Abbildung und ihre Eigenschaften hängen nur von a, b und c ab. Bijektivität ist keine Eigenschaft von Punkten (x1,x2,x3). Lautet die Frage wirklich so?
Tarnfara Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von wisili
Zitat:
Original von Tarnfara
Jetzt soll ich zeigen, dass die Abbildung genau dann bijektiv ist, wenn


Die Abbildung und ihre Eigenschaften hängen nur von a, b und c ab. Bijektivität ist keine Eigenschaft von Punkten (x1,x2,x3). Lautet die Frage wirklich so?


Nenene, hab mich vertippt. Ist schon spät.

War aber nicht schwer. Die affine Abbildung ist bijektiv, wenn die zugehörige lineare Abbildung auf dem Vektorraum bijektiv ist (Satz aus Vorlesung), das ist aber genau dann der Fall, wenn diese invertierbar ist, was wiederum genau dann der Fall ist, wenn die Determinante nicht null ist, was wiederum genau dann passiert, wenn

Im Moment beiße ich mir die Zähne an was anderem aus:

gegen ist mit einer affinen Abbildung und zwei Punkten P und Q, die nicht gleich sind. Weiterhin ist und .

in a) habe ich gezeigt, dass die zugehörige lineare Abbildung auf dem zugehörigen Vektorraum den Eigenwert -1 hat.

in b) soll ich zeigen, dass die affine Abbildung einen Fixpunkt hat.
Als Kandidat schwebt mir da vor. Allerdings haben wir immernur mit der zugehörigen linearen Abbildung gerechnet und irgendwie habe ich immer das Gefühl, bei meinen Rechnungen die Syntax zu verletzen, weil ich einfach nicht weiß, wie man "korrekt" ausrechnet. :-(
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wo ist der Fehler ? (affine Abbildungen, Unterräume)
Du hast recht mit deiner Vermutung:

Gemäss Voraussetzung gilt:

Daraus folgt:

Per Definition ist auch: , was ja wegen Linearität wiederum ist:

Somit: , d.h. ist Fixpunkt.

(Ob die «Punkte»-Addition syntaktisch in Ordnung geht, kann ich nicht beurteilen.)
Tarnfara Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wo ist der Fehler ? (affine Abbildungen, Unterräume)
Ja, danke.

Ich habe es am Schluss so gelöst, dass ich mir ein Koordinatensystem mit P als Ursprung gewählt und dann mit Koordinaten gerechnet habe. Ob das nun syntaktisch einwandfrei war, werde ich bei der Rückgabe herausfinden.

Peinlich war, dass ich den allg. Strahlensatz (Aufg. 3) nicht beweisen konnte. (Ok, um 5 Uhr morgens vielleicht auch kein Wunder) und Aufgabe 4 nichtmal angeschaut.

Ich hab einfach so wenig Zeit. :-(
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