Zwickelraumfüllung in kubisch dichtester Kugelpackung |
| 08.07.2010, 12:13 | che_che85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Zwickelraumfüllung in kubisch dichtester Kugelpackung Hallo, eine Fragestellung aus der Erdölgeologie/ingenieurswissenschaften, bei der ich leider nicht so recht auf einen Lösungsansatz komme: "Eines der großen Probleme in den Erdölingenieurswissenschaften ist es möglichst viel Erdöl aus einem Reservoir zu holen. Doch selbst mit modernsten Techniken lassen sich maximal 30-90% der Kohlenwasserstoffe fördern, der sogenannte "oil-recovery-factor". Ein Hauptgrund dafür ist, dass die einzelnen Kohlenwasserstoffmoleküle adhäsiv durch Kapillarkräfte an den Körnern kleben, sogenannte gebundene Fluide (Körner sind die Komponenten eines Gesteins, in diesem Fall eines Reservoirgesteins, dies kann zum Beispiel ein Sandstein sein, somit also Sandkörner (meist Quarz)). Das Volumen der gebundenen Fluide ist bei gleichbleibenden Druck eine Funktion der Korngröße im Reservoir. So steigt das Volumen der gebundenen Fluide mit kleiner werdender Korngröße, bis zu einem Punkt wo sich die Adhäsionsfilme benachbarter Körner alle miteinander berühren. Man spricht dann von einem sogenannten "capillary seal". Zur Aufgabe: Man soll die Korngröße (Durchmesser) bestimmen, wo genau das eintritt, sich also die Adhäsionsfilme aller benachbarten Körner berühren, so dass kein Zwickelraum mehr zwischen den einzelnen Körnern vorhanden ist. Die Annhamen sind: Kubisch dichteste Kugelpackung, sphärische Körner und eine konstante Fluiddicke von 10µm um alle Körner. Eine Skizze des Problems ist als .pdf Datei angehängt. Meine Ideen: Ich bin leider noch nicht sehr weit mit Lösungsansätzen, da ich mir noch nicht einmal sicher bin ob man die Aufgabe in 2D mit drei sich berührenden Kugeln machen kann, indem man sich über Dreiecksberechnungen zum Ergebnis hangelt oder ob man doch den 3D Raum hierfür braucht und es dann über den Tetraederwinkel versucht zu berechnen. Vielen Dank für Hilfe! |
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| 08.07.2010, 21:36 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Zwickelraumfüllung in kubisch dichtester Kugelpackung Über Kugelpackungen findest Du ja einige Artikel im I-Net. Ich habe mal mit der Lösung begonnen, indem ich von einer Kugelanordnung ausgehe, die in der Ebene den größtmöglichen Dichtegrad hat. Dabei bekommt man das bekannte Muster aus Kreisen, in dem jeder Kreis von sechs Kreisen umgeben ist, und wenn man die Mittelpunkte verbindet, hat man immer Winkel von 30° bzw. 60°. [attach]15454[/attach] In einer weiteren einfachen Skizze habe ich versucht darzustellen, wie man den Mittelpunkt eines solchen Zwickels findet, wohlgemerkt, nur in der Ebene. Die rot markierte Linie entspricht vorerst mal der Filmdicke, bei der der Zwickelraum vollständig gefüllt ist. Wenn man aus dieser 2D-Struktur eine 3D-Anordnung erstellen will, müßt man weitere solche Schichten aufeinander legen, und zwar so, dass sich - die Kugeln berühren (das ist ja logisch), - und jeder Kugemittelpunktl unter sich den Mittelpunkt eines Zwickelraumes hat. Das muss ich mir noch anschauen, aber vielleicht kommst Du ja schon damit zurecht. |
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| 08.07.2010, 22:20 | che_che85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Zwickelraumfüllung in kubisch dichtester Kugelpackung Hallo Gualtiero, genau so weit war ich auch schon. Genau das habe ich mir auch aufgezeichnet. Jetzt ist die Frage ob man nun schon so in der Ebene auf eine Lösung kommt, mit der Annahme das die rote Linie, die du eingezeichnet hast = 10µm lang ist. Aber selbst das will mir nicht gelingen, habe seitenweise Skizzen gezeichnet komme aber über Dreicksgeometrie nie zu einem Ergebnis. Ich weiß auch nicht ob man in einer 3D Anordnung rechnen muss. Da bin ich genauso am überlegen. Aber mein Gefühl sagt mir, dass es auch in der Ebene geht. Ich komme nur nicht auf die richtige Dreicksbeziehung. Vielen Dank für Deine Überlegungen. |
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| 08.07.2010, 22:36 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Zwickelraumfüllung in kubisch dichtester Kugelpackung Zum Schritt von 2 in 3 Dimensionen: hier [attach]15456[/attach] |
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| 08.07.2010, 23:43 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Zwickelraumfüllung in kubisch dichtester Kugelpackung
Ja, musst Du. Abbildung (4) von Wisilis Zeichnung (und viel ausführlicher sein Link) zeigt genau das, was ich nicht gut ausgedrückt habe. Nochmal genauer: Die Kugel-Schichten sind so übereinander angeordnet, dass jede Kugel - über dem Mittelpunkt eines Zwickelraumes liegt, - dabei drei Kugeln unter sich, - drei über sich, - und sechs Kugeln in der gleichen Schicht berührt (hier nicht relevant). Je vier Kugeln umschließen einen Zwickelraum, ihre Mittelpunkte bilden einen Tetraeder. Und der Abstand vom Mittelpunkt (oder Schwerpunkt . . .) zu einem Eckpunkt des Tetraeders setzt sich im Idealfall zusammen aus Kugelradius und Filmdicke. Die Aufgabe heißt also, den Mittelpunkt eines Tetraeders in Abhängigkeit der Seitenlänge zu finden. So verstehe ich es. |
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| 09.07.2010, 00:00 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Zwickelraumfüllung in kubisch dichtester Kugelpackung Die Kugelpackung hat beiderlei Hohlräume. Und da der oktaedrische grösser ist, ist dieser es, der den kritischen Kugelradius bestimmt, nicht der tetraedrische. (Das macht die Aufgabe leichter, jedenfalls nicht schwieriger!). |
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| 09.07.2010, 00:04 | che_che85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Zwickelraumfüllung in kubisch dichtester Kugelpackung Ja, du hast recht...jetzt wo ich mir diesen äußerst hilfreichen Artikel durchgelesen habe! Mensch total auf der falschen Spur gewesen. Also nochmal von neuem... |
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| 09.07.2010, 00:08 | che_che85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Zwickelraumfüllung in kubisch dichtester Kugelpackung hm, könnte man dann auch um es noch einfacher zu machen mit dem Würfel rechnen? Würde das was ändern?.... |
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| 09.07.2010, 09:52 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Zwickelraumfüllung in kubisch dichtester Kugelpackung Nein, da du die Annahme einer dichtesten Kugelpackung triffst, ist das eckenzentrierte kubische Gitter das falsche Modell (hast du das mit dem Würfel so gemeint?). |
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| 09.07.2010, 10:23 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Zwickelraumfüllung in kubisch dichtester Kugelpackung
che schreibt aber: kubisch dichteste packung, und das wäre das kubisch flächenzentrierte gitter wobei ich mich frage, ob das hier die geeignete wahl ist 
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| 09.07.2010, 10:30 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Zwickelraumfüllung in kubisch dichtester Kugelpackung Ich schrieb «einer dichtesten Kugelpackung», weil es neben der kubischen auch noch die (genau so dichte) hexagonale gibt. |
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| 09.07.2010, 11:19 | che_che85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Zwickelraumfüllung in kubisch dichtester Kugelpackung Also nochmal, es soll hier um eine kubisch dichteste Kugelpackung gehen. Eine kubisch dichteste Kugelpackung besteht aus Tetraeder- und Oktaederlücken. Um den kleinstmöglichen Kugeldurchmesser zu finden bei dem der Hohlraum zwischen den Kugeln durch sich allseitig berührende Flächen konstanter Filmdicken gefüllt ist, muss man mit den Oktaederlücken rechnen, da sie die größeren Hohlräume bieten. So weit richtig oder? Jetzt ist meine Frage ob man die Oktaederlücken als Würfel darstellen kann, wobei der Abstand von den 8 Eckpunkten des Würfels jeweils r+10µm ist. Mit r=Kugelradius. Vielleicht komme ich so weiter ist jetzt meine Idee... |
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| 09.07.2010, 12:17 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Zwickelraumfüllung in kubisch dichtester Kugelpackung meine vermutung: aber, wenn ich mir das aufzeichne, ist es halt sehr,sehr klein 
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| 09.07.2010, 13:32 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Zwickelraumfüllung in kubisch dichtester Kugelpackung 1. Jede dichteste Kugelpackung hat Tetraeder- und Oktaederlücken. 2. Ja, eine Oktaederlücke kann natürlich am Würfel untersucht werden (weil Würfel und Oktaeder duale Polyeder sind). Die 6 Kugelzentren wären in den Würfelflächenzentren, aber ein geeigneter Schnitt tut es auch. Der kritische Kugelradius ist Mikrometer (ca. 24.1 µm) |
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| 09.07.2010, 16:24 | che_che85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Zwickelraumfüllung in kubisch dichtester Kugelpackung Hallo wisili, danke erstmal für Deine Antwort. Ich kann sie leider nicht ganz nachvollziehen. Kannst du sie noch etwas weiter erläutern? |
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| 09.07.2010, 17:06 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Zwickelraumfüllung in kubisch dichtester Kugelpackung In Figur (5) oben sind 6 Kugeln oktaedrisch angeordnet. Legt man eine Schnittebene durch 4 ihrer Zentren, so kann man die Lücke diagonal messen, bzw. rechnen. |
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| 09.07.2010, 19:43 | che_che85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Zwickelraumfüllung in kubisch dichtester Kugelpackung Ich komm aber immer noch nicht auf Deine Berechnung. Eine Kantenlänge sind 2r *10µ oder? also Die Raumdiagonale eines Würfels wird beschrieben mit: Wie stellst du nach r um? |
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| 09.07.2010, 20:23 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Zwickelraumfüllung in kubisch dichtester Kugelpackung Die folgenden unterstützenden Figuren stammen von hier. Lege in der ersten Figur die Quadratdiagonale: Sie besteht aus 2 Radien r und der doppelten Adhäsionsfilmdicke 2*10 Mikrometer. Andrerseits ist ihre Länge . Zu lösen ist also die Gleichung . [attach]15472[/attach][attach]15471[/attach][attach]15469[/attach] |
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| 10.07.2010, 16:47 | che_che85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Zwickelraumfüllung in kubisch dichtester Kugelpackung Vielen Dank für die Hilfe, ich habe es jetzt auch raus! 
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| 10.07.2010, 16:53 | che_che85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Zwickelraumfüllung in kubisch dichtester Kugelpackung Eine sehr gute online Lerneinheit rund um kubisch dichteste Packungen findet man übrigens hier: hier klicken |
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