Konstruktion einer Folge mithilfe der Mengenlehre

08.07.2010, 19:04	ChristianII	Auf diesen Beitrag antworten »
Konstruktion einer Folge mithilfe der Mengenlehre Hi, Zunächst folgende Definition: Es seit I :=[a, b], $\begin{eqnarray} f: I \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ eine stetige Funktion mit f(a) < f(b). Mir macht nun die Fragestellung zu schaffen, ob folgende Behauptung gelten kann: Die Funktion f kann so konstruiert sein, dass es zu jedem x aus dem Inneren von I ein y < x gibt mit: f(y) > f(x). Ich würde dies verneinen. Als Argumentation bemühe ich die Mengenlehre; da ich mir dieses Gebiet anlesen musste, bitte ich um Hilfe, ob mir irgendwo ein Fehler unterlaufen ist. Beweisskizze: Es sei $\begin{eqnarray} z \in I \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(a) < f(z) \end{eqnarray}$ Wir zeigen: Es gibt eine Folge a(n), die gegen a konvergiert und für deren Folgenglieder gilt: $\begin{eqnarray} f(x_{n}) > f(z) \end{eqnarray}$ . (Anmerkung: Damit wäre dann gezeigt, dass f in a nicht stetig sein kann.) Zunächst sei M :=]a, z]. Wir betrachten nun die Menge Mf aller Folgen mit endlich und abzählbar unendliche vielen Folgengliedern, die Elemente aus M enthalten und folgendes erfüllen: $\begin{eqnarray} x_{1} = z \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x_{n+1}) > f(x_{n}) \end{eqnarray}$ Nach Voraussetzung ist Mf nicht leer. Mf ist eine Teilnmenge der Potzenzmenge P(M) von M. Zudem ist Mf von endlichen Charakter. (Anmerkung Definition: Eine Menge Mf, die Teilmenge der Potenzmenge P(X) der Menge X ist, hat genau dann endlichen Charakter, wenn gilt: Eine Teilmenge Y von X gehört genau dann zu Mf, wenn jede endliche Teilmenge von Y zu Mf gehört.) Nach dem Lemma von Turkey enthält Mf ein maximales Element, das sich nach unserer Konstruktion als Folge a(n) darstellen lässt. Diese Folge hat in dem kompakten Intervall I einen maximalen Häufungspunkt m. Angenommen, es sei a < m. Laut unserer Konstruktion ist zunächst wegen der Stetigkeit von f: $\begin{eqnarray} f(m) > f(x_{1}) \end{eqnarray}$ Daher existiert ein a < p < m mit $\begin{eqnarray} f(x_{1}) < f(p) < f(x_{2}) \end{eqnarray}$ Wir definieren nun eine anderen Folge y(n) mit $\begin{eqnarray} y_{1} = z \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_{2} = p \end{eqnarray}$ und für n > 2 $\begin{eqnarray} y_{n} = x_{n-1} \end{eqnarray}$ y(n) ist eine Folge aus Mf. Zudem ist die Menge der Folgengliedern von a(n) echt in der Menge der Folgengliedern von y(n) enthalten: Widerspruch dazu, dass die Folgenglieder von a(n) eine maximales Element aus Mf bilden. Damit wäre die anfängliche Behauptung widerlegt. Was haltet Ihr davon? Gruß und nicht soviel Stress bei der Hitze.
08.07.2010, 20:14	ChristianII	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, zur Ergänzung: Im Grunde könnte man die Behauptung auch dadurch widerlegen, indem man davon ausgeht, dass f aufgrund der Stetigkeit auf dem kompaktem I sein Maximum annimmt. Dieses kann augrund der Definition aber nur bei a liegen, da im Inneren von I und in b kein Maximum aufgrund der Eigenschaften sein kann. Tatsächlich ist meine Ausgangsproblematik auch komplizierter. Wenn aber die vorherige Beweisführung mithilfe der Mengenlehre richtig wäre, könnte ich sie übertragen. Gruß
09.07.2010, 09:59	ChristianII	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Fehler sind mir mittlerweile aufgefallen. Korrekturen zur ersten Beweisskizze. 1. Bei "m" darf es sich nicht um den größen, sondern es muss sich um den kleinsten Häufungspunkt handeln. 2.Man muss sicherstellen, dass der definierte Punkt p nicht in der Folge a(n) enthalten ist; dies kann erfolgen durch: Da m der kleinste Häufungspunkt von a(n) ist, gibt es zu jedem c > 0 nur entdlich viele Folgenglieder aus a(n), die kleiner als "m - c" sind. Aus diesem Grund kann ein solches p wirklich gefunden werden. Somit würde ich auch mit diesen Änderungen zur gleichen Schlussfolgerung kommen. Gruß

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