Basis UVR polynome

08.07.2010, 20:27

karstenez

Basis UVR polynome

hallo,

also gegeben ist der UVR $\begin{eqnarray*} P=\{ \alpha _{0} + \alpha _{1} \cdot x + \alpha _{2} \cdot x^{2} | \alpha _{i} \in \mathbb R \} \end{eqnarray*}$

nun soll man eine basis von P angeben...allerdings hatten wir sonst immer vektorräume und keine räume von polynomen...wie kann ich am besten vorgheen?

Edit: LaTeX korrigiert. Geschweifte Klammern mit \{ und \}. Gruß, Reksilat.

08.07.2010, 20:44

Leopold

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Sicher hattet ihr den abstrakten Vektorraumbegriff und dann auch das Beispiel mit den Polynomen. Mache dir klar, daß es hier nicht um die Natur der Objekte geht, sondern um die Rollen, die sie spielen. Und hier spielt eben ein Polynom die Rolle eines Vektors: Man kann zwei Polynome (Vektoren) addieren und erhält wieder ein Polynom (einen Vektor). Für diese Addition gelten die Eigenschaften einer abelschen Gruppe, wobei das Nullpolynom die Rolle des Nullvektors übernimmt. Ferner kann man ein Polynom (einen Vektor) skalar mit einer reellen Zahl multiplizieren und erhält wieder ein Polynom (einen Vektor). Dabei gelten die Eigenschaften der skalaren Multiplikation einer Zahl mit einem Vektor.

Daß man von Polynomen Nullstellen berechnen kann, daß man sie differenzieren kann, ihre Graphen studieren kann, daß man sie multiplizieren, vielleicht faktorisieren, potenzieren und weiß der Teufel was noch kann, ist hier nicht wichtig. Nur die Rolle, die sie spielen, nämlich die als Vektor, das ist interessant.

08.07.2010, 23:32

karstenez

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ok,dann wäre eine Basis vllt:

$\begin{eqnarray*} \left\{ t^{2},0,0\right\},\left\{ 0,t,0 \right\} , \left\{0,0,1\right\} \end{eqnarray*}$

09.07.2010, 12:26

karstenez

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ok, ich glaub eher dass $\begin{eqnarray*} \{t^{2},t,1\} \end{eqnarray*}$ eine basis wäre..kann das sein?

und warum ist es möglich, daraus sämtliche polynome vom grad 2 zu erzueugen?

09.07.2010, 14:34

Mulder

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Zitat:

Original von karstenez
ok, ich glaub eher dass $\begin{eqnarray*} \{t^{2},t,1\} \end{eqnarray*}$ eine basis wäre..kann das sein?

Richtig.

Zitat:

Original von karstenez
und warum ist es möglich, daraus sämtliche polynome vom grad 2 zu erzueugen?

Warum denn nicht? Nimm dir ein beliebiges Polynom vom Grad kleiner gleich 2:

$\begin{eqnarray*} f= a_1 t^2 + a_2t+a_3 \quad , \, \, a_i \in \mathbb R \ \ \mbox{beliebig gewählt} \end{eqnarray*}$

Wenn du dieses Polynom als eindeutige Linearkombination der Elemente deiner Menge darstellen kannst, dann hast du doch ein Erzeugendensystem. Und da die Elemente deiner Menge offensichtlich linear unabhängig sind, ist diese zwangsläufig auch eine Basis.

09.07.2010, 15:19

karstenez

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danke, das ist nun klarer geworden,
in aufgabenteil b sieht der unterraum nun so aus:

$\begin{eqnarray*} W=\{ a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} | a_{0} + a_{1}=0\} \end{eqnarray*}$

wiederum soll man eine basis angeben.

damit sieht W ja derart aus: $\begin{eqnarray*} W=\{ a_{0} - a_{0}x + a_{2}x^{2} | a_{0} + a_{1}=0\} \end{eqnarray*}$

was wäre hier nun eine basis?

09.07.2010, 15:21

karstenez

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sorry, meine so:

damit sieht W ja derart aus: $\begin{eqnarray*} W=\{ a_{0} - a_{0}x + a_{2}x^{2} | a_{i} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

09.07.2010, 15:25

Mulder

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Zitat:

Original von karstenez
was wäre hier nun eine basis?

Tja, das herauszufinden ist ja deine Aufgabe. Augenzwinkern

Ich schreibe dir die Menge mal leicht um:

$\begin{eqnarray*} W= \{a_0-a_0x+a_2x^2 \, | \, a_i \in \mathbb R \} = \{a_0(1-x) + a_2 x^2 \, | \, a_i \in \mathbb R \} \end{eqnarray*}$

Kannst du nun eine Basis finden?

09.07.2010, 17:12

karstenez

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ok, also das würd ich sagen ist die Menge $\begin{eqnarray*} \{(1-x),x^{2}\} \end{eqnarray*}$ hier eine Basis und es wäre dim(W)=2 oder?

09.07.2010, 17:46

Mulder

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Richtig.

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