Grammatrix

08.07.2010, 20:36

Bazza

Grammatrix

Hallo,

ich habe ein problem mit der berechnung einer grammatrix.

hier die aufgabenstellung:

Zitat:

Sei V ein 4-dim. $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -VR und $\begin{eqnarray*} B=(v_1,v_2,v_3,v_4) \end{eqnarray*}$ eine Basis von V. Die Bilinearform $\begin{eqnarray*} \beta : V \times V -> \mathbb R \end{eqnarray*}$ sei durch $\begin{eqnarray*} \beta (v,w)=3a_1b_1+2a_2b_2-a_3b_3-2a_4b_4+a_1b_2+5a_1b_3+2a_2b_4+3a_3b_1+2a_3b_4 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} v=a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+a_4v_4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w=b_1v_1+b_2v_2+b_3w_3+b_4v_4 \end{eqnarray*}$ in V definiert. Bestimmen sie die Grammmatrix $\begin{eqnarray*} G:=G_B(\beta )=g_{ij}\in \mathbb R ^{4\times 4} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ bezüglich $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ .

So, ich weiß, dass die einträge der grammatrix die skalarprodukte der entsprechenden basisvektoren sind, also z.b. g_{1,1}=<v_1,v_1>,g_{3,4}=<v_3,v_4}, aber wie kann ich das hier berechnen?

hat jemand einen tipp für mich?
danke schonmal im voraus.

08.07.2010, 20:48

Leopold

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Ersetze $\begin{eqnarray*} \langle v,w \rangle \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \beta(v,w) \end{eqnarray*}$ .

09.07.2010, 07:28

Bazza

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danke für den tipp, leopold.

hieße das, dass ich die entsprechenden werte einfach ablesen kann? also
g_1,1=3 , g_4,4=-2 usw?

aber das wäre doch etwas zu simpel, das kann es wohl kaum sein.

allerdings weiß ich sonst nicht, wie ich die entsprechenden werte berechnen könnte, auch wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} \beta (v,w) \end{eqnarray*}$ betrachte.

hättest du vielleicht noch einen tipp für mich? ich glaube ich stehe immer noch etwas auf dem schlauch.

danke schonmal.

09.07.2010, 13:14

Bazza

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Ich glaube ich habe es nun verstanden.

Um die einzelnen Elemente zu berechnen (beispielsweise für g_1,1) setzt man v=v_1 und w=v_1.

weil $\begin{eqnarray*} v=a_1*v_1+a_2*v_2+a_3*v_3+a_4*v_4 \end{eqnarray*}$ ist, ist dann $\begin{eqnarray*} a_1 = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_2=a_3=a_4=0. \end{eqnarray*}$

analog natürlich für w.

dann setzt man diese werte in die formel ein und muss im prinzip nur noch hinschauen, weil die meisten summen 0 ergeben.

dadurch würde man am ende die folgende matrix erhalten:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 1 & 5 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist meine vorgehensweise richtig?

23.07.2010, 16:40

UeberMath

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Ja schaut doch gut aus

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