[Aufgabensammlung Geometrie] Frage & Antwort

Neue Frage »

Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
[Aufgabensammlung Geometrie] Frage & Antwort
Zu den einzelnen Aufgaben:

Verhältnis Pyramidenspitze - Pyramidenstumpf
Pyramidenförmiges Turmdach
Kegelförmiges Kelchglas
Fläche einer Kalotte
Einfacher Vektorzug
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
Verhältnis Pyramidenspitze - Pyramidenstumpf
In welchem Abstand von der Spitze einer Pyrmide mit der Höhe h muss eine Parallelebene zur Grundfläche gelegt werden, wenn das abgeschnittene Stück dem Volumen nach
a) die Hälfte,
b) der n-te Teil des ursprünglichen Volumens sein soll?
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
Antwort: Verhältnis Pyramidenspitze - Pyramidenstumpf
Vereinbarung:
G, H: Grundfläche und Höhe der ganzen Pyramide
g, h: Grundfläche und Höhe der abgeschnittenen P.

Zu Teilfrage a): Das Volumen der kleinen Pyramide ist die Hälfte des Volumens der großen Pyramide, was durch folgende einfache Gleichung ausgedrückt werden kann:



Als nächster Gedankenansatz dient die Überlegung, dass Höhe und Grundfläche sowohl in der ganzen, als auch in der abgeschnittenen Pyramide gleich sind. Damit kann man eine Proportion definieren und z. B. nach g auflösen.





Dieses g setzen wir in Gleichung (1) ein und formen weiter um.



Nach Multiplikation mit 6 H und Division durch G erhalten wir:



Woraus folgt:



Teilfrage b) läßt sich dann beantworten, indem wir in der Volumenformel durch ersetzen.



Dementsprechend bekommen wir nach gleicher, wie vorhin gezeigter Umformung:

Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
Pyramidenförmiges Turmdach
Ein Turmdach hat die Gestalt einer regelmäßigen achtseitigen Pyramide mit der Grundkante a=1,8 und Höhe h=5,6.
Wie groß ist die Dachfläche?
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
Antwort: Pyramidenförmiges Turmdach
Vereinbarung:
a: Seite der regelmäßig achteckigen Grundfläche
s: Seite des Quadrates, aus dem das Achteck als Grundfläche hervorgegangen ist.
h: Höhe der Pyramide
fh: Seitenflächenhöhe

Die gesuchte Fläche besteht aus acht gleichschenkeligen Dreiecken mit der Grundseite a = 1,8 und der Seitenflächenhöhe, die noch zu bestimmen ist. Dazu kann man sich ein rechtwinkliges Dreieck mit folgenden Seiten vorstellen:
- Pyramidenhöhe h;
- halbe Seite des Quadrates, in dem die Grundfläche liegt;
- Seitenflächenhöhe als Hypotenuse.

Die Seite des Quadrates (siehe Skizze) kann folgendermaßen berechnet werden:







Damit können wir jetzt das vorhin erwähnte rechtwinklige Dreieck auflösen.



Nach Einsetzen von a und h ergibt sich:



Die Fläche eines Dreiecks ist dann:



Die Gesamtfläche aus acht solchen Dreiecksflächen beträgt .

[attach]15462[/attach]
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
Kegelförmiges Kelchglas
Ein kegelförmiges Glas mit dem Öffnungwinkel von 60° soll einen halben Liter fassen.
Wie hoch muss es sein, wenn die Eichmarke einen Zentimeter vom oberen Rand entfernt sein soll?
 
 
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
Antwort: Kegelförmiges Kelchglas
Vereinbarung:
r: Radius des Kegels
h: Höhe des Kegels bis zur Eichmarke
l: Liter = 1dm³ als Volumeneinheit und somit dm als Längeneinheit

Nachdem das Glas die Form eines umgedrehten Kegels hat, sind für uns alle Formeln des Kegels wichtig.
Für das Volumen lautet die gängige Formel:



Laut Angabe ist das Volumen (0,5 l) zwar bekannt, aber in der Gleichung blieben dann immer noch zwei Unbekannte, r und h. Daher müssen wir mit der Winkelangabe von 60° eine Beziehung zwischen r und h herstellen.
Wenn wir uns den Kegel vertikal durch seine Spitze durchgeschnitten denken, bleibt als Schnittfläche ein gleichschenkeliges Dreieck mit der Grundseite 2r und der Höhe h . Da der Winkel in der Spitze 60° ist, bleibt als Basiswinkel

,

was soviel bedeutet, dass das Dreieck auch gleichseitig ist.

Und hier gilt zwischen Seite (2r) und Höhe des Dreiecks:

Dieses h, das sich vorerst nur bis zur Eichmarke bezieht, und das geforderte Volumen von 0.5 setzen wir in die Volumenformel ein und erhalten:







Eine zweite Möglichkeit, r und h miteinander in Beziehung zu setzen, wäre, das Schnittdreieck vertikal zu teilen, worauf wir zwei rechtwinklige Dreiecke bekommen mit r und h als Katheten. Der Winkel in der durchschnittenen Spitze ist 30°, und es gilt:





Und damit kommen wir auf die gleiche Definition von h wie oben:

Je nachdem, ob die 1 cm vom Trinkrand zur Eichmarke senkrecht oder entlang der geneigten Glaswand gemessen werden sollen, beträgt die endgültige Höhe des Kelchglases dann entweder 1 cm oder ca. 0.87 cm (sin 60°) mehr.
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
Fläche einer Kalotte
Angenommen die Erde wäre eine ideale Kugel mit einem Radius r=6370 km. Welche Fläche der
Erdoberfläche kann ein Ballonfahrer überblicken, wenn er sich in einer Höhe von 2,5 km befindet?
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
Antwort: Fläche einer Kalotte
Das Gesichtsfeld von einem Beobachtungspunkt aus wie dem des Ballonfahrers ist durch einen Kreis begrenzt, da man ja in alle Richtungen gleich weit sehen kann. Die Fläche, die ein Kreis auf einer Kugel umschließt, ist die Oberfläche eines Kugelabschnittes (Kalotte). Der Radius dieses Kreises ist aber nicht die Sichtweite, sondern muss anhand einer einfachen Dreiecksauflösung unter Verwendung des Pythagoräischen Lehrsatzes errechnet werden.

Stellen wir uns den Ballonfahrer vor, wie er genau bis zum äußersten Rand seines Gesichtsfeldes blickt (Luftspiegelungen und andere Beeinträchtigungen der Sicht lassen wir außer Acht), und legen wir in Gedanken eine Gerade in seine Sehachse. Geometrisch gesehen haben wir jetzt eine Tangente an einer Kugel, oder, wenn wir diese Konstellation der Einfachheit halber in die Ebene verlegen, eine Tangente an einem Kreis. Wir betrachten nun das Dreieck BMT und stellen fest, dass es rechtwinklig ist und soviele Angaben enthält, dass es bestimmt werden kann.

Vereinbaren wir km als Längenmaßeinheit und nennen wir die Strecke TB = x,
und halten noch mal fest: Strecke MT = 6370 und Strecke MB = 6370 + 2,5 = 6372,5.

Dann bekommen wir mithilfe des Pythagoras:



Der Radius des Sichtkreises liegt jetzt schon nahe. Es ist die Entfernung von Punkt T zu seinem Lotfußpunkt auf der Strecke MB.
Durch das Lot (k) zerfällt unser erstes Dreieck in zwei weitere rechtwinklige Dreiecke, die die Lotlinie als gemeinsame Kathete haben. Die jeweils anderen zwei Katheten werden insgesamt von der ursprünglichen Hypotenuse gebildet, und zwar einmal durch die Strecke von M zum Lotfußpunkt - nennen wir sie f -, und der Strecke vom Lotfußpunkt zu Punkt B (siehe Skizze).

[attach]15465[/attach]


Lösen wir beide Dreiecke einmal nach Pythagoras auf und stellen nach k um.





Wir multiplizieren die Klammer aus und setzen die beiden gleich, dann bekommen wir:



Die beiden entfallen, und nach Umstellung nach f lautet das Ergebnis:



Dieses f in eine der beiden Ausgangsgleichungen eingesetzt ergibt dann für unseren gesuchten Radius den Wert 178,413.

Betrachten wir jetzt einmal die Formel für die Oberfläche unseres Kugelabschnittes.



Von den benötigten Größen kennen wir bereits r (idealisierter Erdradius) und k (Radius des Gesichtsfeldes).
h als die Höhe der Kalotte müssen wir noch bestimmen.

Ein Blick auf die Skizze sagt uns, dass sie sich ergibt aus:

Somit können wir das endgültige Ergebnis berechnen:

Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
Einfacher Vektorzug
Punkt D teilt die Strecke BC im Verhältnis 3 : 1.

Errechne, in welchem Verhältnis der Punkt S die Seitenhalbierende auf teilt.

Siehe dazu die Skizze.

[attach]18667[/attach]
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
Antwort: Einfacher Vektorzug
Der Ansatz besteht darin, einen in sich geschlossenen Vektorzug aufzustellen, der z. B. beginnend bei Punkt A nach S geht und von dort über einen anderen Weg wieder zu A zurückkehrt.



Die Vektoren und kann man mit den gegebenen Vektoren und ausdrücken:





Wir bilden den Vektorzug wie oben vorgeschlagen, also von A über S nach E und zurück zu A:



Für und setzen wir die obigen Definitionen ein:



Ausmultipliziert ergibt das:



Jetzt werden und ausgeklammert:



Diese Gleichung betrachten wir jetzt etwas näher.
Wir können davon ausgehen, dass die Vektoren und voneinander linear unabhängig sind, denn wir haben ein allgemeines Dreieck, bei dem gilt, dass die Summe zweier Seiten immer größer als die jeweils dritte ist.
Das bedeutet, dass ihre Parameter - das sind die Klammerausdrücke - 0 sein müssen, denn andernfalls könnte die Summe der beiden Vektoren nicht 0 sein.
Daher können wir jeden Klammerausdruck nullsetzen und bekommen zwei lineare Gleichungen mit den Unbekannten und .





Aus (1) folgt:

Aus (2) folgt:

Das ergibt:

Dieses in (1) und (2) engesetzt ergibt:

Mit der Berechnung dieses Parameters ist auch die Frage beantwortet: Punkt S teilt die Strecke EC im Verhältnis 3 : 2.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »