Gram-Schmidt

10.07.2010, 10:53

DeppVomDienst

Gram-Schmidt

hallo,

ich rätsel schon seit stunden, wo ich einen fehler gemacht habe, aber anscheinend seh ich den wald vor lauter bäumen nicht. könnte mir jemand helfen, den/die fehler zu finden?

zunächst mal die aufgabenstellung:

Zitat:

Wir betrachten den R-Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^4 \end{eqnarray*}$ mit seinem Standartskalarprodukt. Wenden sie das Gram-Schmidt'sche Orthogonalisierungsverfahren auf das 4-tupel $\begin{eqnarray*} (u_1,u_2,u_3,u_4) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u_1=(0,2,1,0)^t,u_2=(1,-1,0,0)^t,u_3=(1,2,0,-1)^t,u_4=(1,0,0,1)^t \end{eqnarray*}$
an, um eine Orthogonalbasis zu erhalten.

zuerst hab ich dann auf lineare unabhängig überprüft, und sie sind es. dann hab ich so weiter gemacht:

$\begin{eqnarray*} ||u_1||=\sqrt5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_1=\frac{u_1}{||u_1||} =\frac{1}{\sqrt{5} } \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_2=u_2-<u_2,v_1>*v_1 =\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \frac{1}{5} *(-2)*\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\begin{pmatrix} 1 \\ -1/5 \\ 2/5 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann hab ich das 5-fache von y_2 genommen, um nicht dauernd mit brüchen weiterrechnen zu müssen:
$\begin{eqnarray*} y_2'=\begin{pmatrix} 5 \\ -5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ||y_2'||=\sqrt{150} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_2=\frac{y_2'}{||y_2'||}=\frac{1}{\sqrt{150} } *\begin{pmatrix} 5 \\ -5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_3=u_3-<u_3,v_1>*v_1-<u_3,v_2>*v_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} -\frac{1}{5}* 4*\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} -\frac{1}{150} * (-5)*\begin{pmatrix} 5 \\ -5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\begin{pmatrix} 7/6 \\ -1/30 \\ -7/15 \\ -1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

auch hier wieder ein vielfaches genommen:
$\begin{eqnarray*} y_3'=\begin{pmatrix} 35 \\ -1 \\ -14 \\ -30\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ||y_3'||=\sqrt{2322} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_3=\frac{1}{\sqrt{2322} } *\begin{pmatrix} 35 \\ -1 \\ -14 \\ -30 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

danach geht es entsprechend weiter mit
$\begin{eqnarray*} y_4=u_4-<u_4,v_1>*v_1-<u_4,v_2>*v_2-<u_4,v_3>*v_3 \end{eqnarray*}$

aber wenn der fehler in diesem ersten teil liegt, ist der natürlich falsch.

danke schonmal für eure hilfe.

10.07.2010, 14:39

klarsoweit

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RE: Gram-Schmidt

Zitat:

Original von DeppVomDienst
dann hab ich das 5-fache von y_2 genommen, um nicht dauernd mit brüchen weiterrechnen zu müssen:
$\begin{eqnarray*} y_2'=\begin{pmatrix} 5 \\ -5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das solltest du nochmal nachrechnen. smile

Im übrigen heißt es "Standard" und nicht "Standart". Letzteres wäre die Art eines Standes, und darum geht es ja wohl nicht. Augenzwinkern

10.07.2010, 15:15

DeppVomDienst

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danke klarsoweit,

so ein offensichtlicher fehler ist ja schon fast peinlich, aber ich glaube, ohne deine hilfe hätte ich das auch nach weiteren stunden des grübelns nicht entdecken können.

10/5 = 2 smile

mit dem "Standard" hast du natürlich recht, wird nicht wieder vorkommen smile

11.07.2010, 11:43

klarsoweit

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Zitat:

Original von DeppVomDienst
10/5 = 2 smile

Ich hoffe, du hast auch gesehen, daß die 2. Komponente (-5) ebenfalls falsch ist. Augenzwinkern

11.07.2010, 12:03

DeppVomDienst

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hallo,

ja, das ist mir auch aufgefallen, allerdings hatte ich vergessen, es im letzten post noch zu erwähnen, und ich wollte keinen doppelpost machen.

trotzdem danke für die aufmerksame hilfe smile

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