Extrema unter Nebenbedingung

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Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »
Extrema unter Nebenbedingung
Hallo,

soll für folgende Funktion f mit Nebenbedingung Extremas berechnen:



Nebenbedingung:

(Ellipse)


Mein Ansatz:





Gradienten:







Nun die drei Bedingungen aufstellen:

(1)
(2)
(3)

Nun habe ich versucht die drei Gleichungen zu lösen indem ich für Gleichung (3) setze. (quadratische Matrizen kann ich noch nicht lösen)

Also ergibt sich für (3) : woraus folgt, dies in (2) eingesetzt ergibt das ich x und y beliebig wählen dürfte, was ja nicht sein kann, weil Gleichung (1) dann nicht erfüllt wäre.

Für y=0 wäre x=0 was auch nicht sein kann wegen (1).

Was mach ich falsch, hab ich mich verrechnet?

Gruß Physinetz

puh ist das hoot
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extrema unter Nebenbedingung
Erst findest du richtigerweise



Und dann arbeitest du trotzdem noch mit



Sollte es nicht eher



heißen?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Muss man denn bei so einer Aufgabe den Lagrange-Multiplikation verwenden? Das geht doch ohne viel schneller.
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

und wie?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja setzte doch die Nebenbedinung einfach mal in deine Funktion ein und überlege welches Intervall y durchläuft, wenn es die NB erfüllen soll.
greg121 Auf diesen Beitrag antworten »

hat jemand dazu eine lösung?
würde mir weiterhelfen
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das sollte kein Problem sein:

in f(x,y) einsetzen -->



Ableiten, Null setzen, mit 2. Abl. auf Extremum prüfen.

Ergebnis: (-2;0) und (2;0), es sind die Hauptscheitel der Ellipse

mY+
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

kann man die Methode ohne Lagrange eigentlich auch grundsätzlich immer nehmen? irgendwie viel einfacher...
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Das geht halt nur, wenn sich die Nebenbedingung explizit nach einer der Variablen auflösen lässt.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Das geht halt nur, wenn sich die Nebenbedingung explizit nach einer der Variablen auflösen lässt.

Was aber hier nicht stimmt, denn die Nebenbedingung



lässt sich ja offensichtlich nicht nach einer der Variablen x oder y auflösen, zumindestens nicht global...
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist so einer der Fälle, wo ich zweifle, dass du helfen möchtest.

Da die Zielfunktion nur von den Quadraten abhängt, kann man diese als die Variablen betrachten. Aber auch wenn man x und y als Variablen betrachtet, kann man auflösen, wenn man das Wort nicht so engstirnig betrachtet. Man muss dann halt mit den beiden Vorzeichen vor der Wurzel leben. Hier fallen sie eh gleich wieder weg. Und wenn nicht, hat das auch noch niemanden umgebracht.

Jedenfalls halte ich es für ziemlich abartig, einem Fragesteller zu suggerieren, er müsse mit dem Lagrange-Multiplikator arbeiten, nur weil bei der Aufkösung der Nebenbedingung eventuell eine Wurzel auftacht.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Das ist so einer der Fälle, wo ich zweifle, dass du helfen möchtest.

Aus meiner Sicht ist das einer der (zugegebenermaßen überaus seltenen) Fälle, wo du ganz klar nicht durchschaut hast, worum es eigentlich geht... geschockt

Zitat:
Original von Huggy
Da die Zielfunktion nur von den Quadraten abhängt, kann man diese als die Variablen betrachten.

So ist es... Insbesondere ist als eine Auflösung der Nebenbedingung nach x oder y, welche wie gesagt hier nicht möglich ist, auch nicht erforderlich, womit du dich auf sehr schöne Weise selbst widerlegt hast...

Zitat:
Original von Huggy
Aber auch wenn man x und y als Variablen betrachtet, kann man auflösen, wenn man das Wort nicht so engstirnig betrachtet. Man muss dann halt mit den beiden Vorzeichen vor der Wurzel leben. Hier fallen sie eh gleich wieder weg. Und wenn nicht, hat das auch noch niemanden umgebracht.

Mag sein, aber warum sollte man überhaupt so wilde "Verrenkungen" durchführen, wenn es auch sehr viel einfacher geht, wie du ja gerade selbst auch gesagt hast?... verwirrt

Zitat:
Original von Huggy
Jedenfalls halte ich es für ziemlich abartig, einem Fragesteller zu suggerieren, er müsse mit dem Lagrange-Multiplikator arbeiten, nur weil bei der Aufkösung der Nebenbedingung eventuell eine Wurzel auftacht.

Habe ich das suggeriert? Wenn ja, bitte das entsprechende Zitat... In Wahrheit ist der von Mythos vorgeschlagene Weg auch nach meiner Meinung hier klar der einfachste... Aber es wird - nochmals sei es gesagt -, dazu nicht benötigt, dass man die Nebenbedingung nach x oder y auflösen kann, was ja hier auch aus rein prinzipiellen Gründen gar nicht möglich ist...

Damit das auch wirklich klar ist: Ich spreche hier die ganze Zeit von der Unmöglichkeit der globalen Auflösbarkeit... Die lokale Auflösbarkeit ist klarerweise gegeben (ich brauche ja dazu nur von der Wurzel das jeweils "richtige" Vorzeichen zu nehmen) und die muss man ja auch mindestens verlangen, damit die Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren überhaupt funktioniert...
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic
[quote]Habe ich das suggeriert? Wenn ja, bitte das entsprechende Zitat... In Wahrheit ist der von Mythos vorgeschlagene Weg auch nach meiner Meinung hier klar der einfachste... Aber es wird - nochmals sei es gesagt -, dazu nicht benötigt, dass man die Nebenbedingung nach x oder y auflösen kann, was ja hier auch aus rein prinzipiellen Gründen gar nicht möglich ist...

Es ist dir gelungen, mich völlig zu verwirren. Physinetz hat doch die Frage gestellt, ob man die Einsetzungsmethode generell verwenden könne. Das war nicht nur auf diesen speziellen Fall bezogen. Meine Anwort war, dazu brauche man die Auflösbarkeit und damit meinte ich die lokale Auflösbarkeit. Dann kam dein Einwand, die Auflösbarkeit sei in diesem speziellen Fall gar nicht gegeben.

Jetzt betonst du noch mal:

Zitat:
Damit das auch wirklich klar ist: Ich spreche hier die ganze Zeit von der Unmöglichkeit der globalen Auflösbarkeit... Die lokale Auflösbarkeit ist klarerweise gegeben (ich brauche ja dazu nur von der Wurzel das jeweils "richtige" Vorzeichen zu nehmen) und die muss man ja auch mindestens verlangen, damit die Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren überhaupt funktioniert...

Daraus schließe ich, du bist der Meinung, dass für die generelle Anwendbarkeit der Einsetzungsmethode die globale Auflösbarkeit erforderlich sei, für die Lagrange-Methode aber die lokale Aulösbarkeit genüge.
Wie soll ich denn sonst den Einwand mit der globalen Auflösbarkeit bezüglich der generellen Anwendbarkeit der Einsetzungsmethode verstehen.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Es ist dir gelungen, mich völlig zu verwirren. Physinetz hat doch die Frage gestellt, ob man die Einsetzungsmethode generell verwenden könne. Das war nicht nur auf diesen speziellen Fall bezogen. Meine Anwort war, dazu brauche man die Auflösbarkeit und damit meinte ich die lokale Auflösbarkeit.

Nein deine Anwort war:

Zitat:
Original von Huggy
Das geht halt nur, wenn sich die Nebenbedingung explizit nach einer der Variablen auflösen lässt.

Ich bin der Meinung (und damit bin ich, denke ich, nicht allein), dass man das eigentlich nur so interpretieren kann, dass man dafür eine der Variablen als Funktion der anderen ausdrücken können muss, d.h., die globale Auflösbarkeit nach einer der Variablen muss garantiert sein...

Zitat:
[...] Daraus schließe ich, du bist der Meinung, dass für die generelle Anwendbarkeit der Einsetzungsmethode die globale Auflösbarkeit erforderlich sei[...]

Keine Ahnung, wie man das aus dem von mir Gesagten schließen kann, Tatsache ist, dass ich diesen Fehlschluß gerade dir vorwerfe (oder unterstelle, um genauer zu sein)...

Ich glaube eigentlich immer fester daran, dass der tiefere Grund für unsere Meinungsverschiedenheit darin liegt, dass wir beide glauben, über dieselbe Sache zu sprechen, was aber dann doch nicht der Fall ist... Vielleicht sollte ich daher einige Dinge nochmals definieren (nicht allgemeinst, was mir zu mühsam ist, sondern bereits in Hinblick auf unser Beispiel), damit besser sichtbar wird, wo wir auseinanderdriften...

Einsetzungsmethode (wie von Physinetz erwähnt): Ausdrücke aus der Nebenbedingung (wie in unserem Beispiel ), welche auch in der Zielfunktion vorkommen, werden dort substituiert, um zu einer Extremwertsaufgabe ohne Nebenbedingungen zu kommen... Diese Ausdrücke sind oft, aber nicht notwendigerweise, eine der Variablen selbst...

Globale Auflösbarkeit: Eine der Variablen selbst aus der Nebenbedingung läßt sich als Funktion der anderen ausdrücken (diese Voraussetzung ist daher spezieller als die aus Einsetzungsmethode und daher insbesondere nicht notwendig, sondern nur hinreichend dafür, dass diese funktioniert)...

Lokale Auflösbarkeit: Für jeden Punkt des betrachteten Bereichs läßt sich eine Umgebung angeben, sodass sich dort eine der Variablen als Funktion der anderen ausdrücken lässt... Die Bedingungen dafür findet man im sog. Hauptsatz über implizite Funktionen ... (Man braucht das beweistechnisch, wenn man zeigen will, warum die Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren funktioniert...)
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic
Zitat:
Original von Huggy
Das geht halt nur, wenn sich die Nebenbedingung explizit nach einer der Variablen auflösen lässt.

Ich bin der Meinung (und damit bin ich, denke ich, nicht allein), dass man das eigentlich nur so interpretieren kann, dass man dafür eine der Variablen als Funktion der anderen ausdrücken können muss, d.h., die globale Auflösbarkeit nach einer der Variablen muss garantiert sein...

Diese Interpretation von explizit als global finde ich nun gar nicht naheliegend. Spätestens nach meinen Bemerkungen in der Antwort

Zitat:
Man muss dann halt mit den beiden Vorzeichen vor der Wurzel leben. Hier fallen sie eh gleich wieder weg. Und wenn nicht, hat das auch noch niemanden umgebracht.

war aber klar, dass ich damit nicht die globale Auflösbarkeit meine.

Zitat:
Zitat:
[...] Daraus schließe ich, du bist der Meinung, dass für die generelle Anwendbarkeit der Einsetzungsmethode die globale Auflösbarkeit erforderlich sei[...]

Keine Ahnung, wie man das aus dem von mir Gesagten schließen kann, Tatsache ist, dass ich diesen Fehlschluß gerade dir vorwerfe (oder unterstelle, um genauer zu sein)...

Das finde ich beinahe wieder lustig. Nun gut, ich verbuche die Diskussion als klassisches wechselseitiges Missverständnis und beerdige sie von meiner Seite.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, das Ganze wird für mich auch immer rätselhafter...Passagen in deiner Antwort wie

Zitat:
Original von Huggy
Spätestens nach meinen Bemerkungen in der Antwort
Zitat:
Man muss dann halt mit den beiden Vorzeichen vor der Wurzel leben. Hier fallen sie eh gleich wieder weg. Und wenn nicht, hat das auch noch niemanden umgebracht.

war aber klar, dass ich damit nicht die globale Auflösbarkeit meine.

kann man eigentlich nur so deuten, dass ich später nachgelieferte Erklärungen (auch wenn sie, wie in diesem Falle, haarsträubend sind) schon von allem Anfang an nach einem Blick in die Kristallkugel hätte berücksichtigen müssen...

Zitat:
Original von Huggy
Nun gut, ich verbuche die Diskussion als klassisches wechselseitiges Missverständnis und beerdige sie von meiner Seite.

Ja, ich hab mir redlich Mühe gegeben, den logischen Knäuel irgendwie zu entwirren, nehme aber mit Bedauern zur Knenntnis, dass mir das offenbar nicht gelungen ist... Schade drum... unglücklich
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