Splines

11.07.2010, 18:22

Tuba

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Splines

Betrachten Sie die Funktion $\begin{eqnarray*} s: \left[-1,2\right] \mapsto \mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert durch

$\begin{eqnarray*} s(x)=\begin{cases} 3+\alpha x-x^2+\beta x^3, & \text{für }-1\leq x \leq 1\\ 2+\gamma x-\delta x^2+\frac{2}{3}x^3, & \text{für } 1<x\leq 2 \end{cases} \end{eqnarray*}$

a) Bestimme Sie die Menge aller Parameter $\begin{eqnarray*} \alpha, \beta, \gamma , \delta\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ für welche die Funktion $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ ein kubischer Spline mit natürlichen Randbedingungen bezüglich der drei Knoten $\begin{eqnarray*} x_0=-1, x_1=1, x_2=2 \end{eqnarray*}$ ist.

Meine Vorgehensweise:
Die natürlichen Randbedingungen sind $\begin{eqnarray*} s''(x_0)=s''(x_n)=0 \end{eqnarray*}$ .
Daraus erhalte ich die Werte $\begin{eqnarray*} \beta=\frac{1}{3} , \delta=4 \end{eqnarray*}$ .

Nun gilt wegen der Stetigkeit: $\begin{eqnarray*} 3+\alpha-1+\frac{1}{3}=2+\gamma-4+\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

Also folgt: $\begin{eqnarray*} \alpha+\frac{11}{3}=\gamma \end{eqnarray*}$

Vergesse ich irgendwo eine Bedingung oder was mache ich generell falsch?

Danke

11.07.2010, 19:10

tigerbine

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RE: Splines

Zitat:

Vergesse ich irgendwo eine Bedingung oder was mache ich generell falsch?

Wieso fragst du dich das?

Bislang hast du nur 3 Bedingungen für 4 Variablen. Das wird nicht eindeutig. An den Inneren Knoten muss aber mehr als nur "Stetigkeit" gelten.
[WS] Spline-Interpolation - Theorie

Deine Zahlenwerte habe ich nicht überprüft.

11.07.2010, 19:46

Tuba

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RE: Splines
Danke also muss desweiteren gelten:

Ich setze mal:
$\begin{eqnarray*} s_0(x)=3+\alpha x-x^2+\frac{1}{3}x^3 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} s_1(x)=2+\gamma x-4x^2+\frac{2}{3}x^3 \end{eqnarray*}$

Also muss weiterhin gelten:
$\begin{eqnarray*} s'_0(1)=s'_1(1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha -2+1=\gamma -8+2\Rightarrow \alpha+5=\gamma \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun die beiden Gleichungen gleichsetze erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \alpha+5=\alpha+\frac{11}{3} \end{eqnarray*}$

Hier stimmt aber etwas nicht, weil sich das nicht auflösen lässt.

11.07.2010, 19:57

tigerbine

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RE: Splines
$\begin{eqnarray*} s(x)=\begin{cases} 3+\alpha x-x^2+\beta x^3, & \text{für }-1\leq x \leq 1\\ 2+\gamma x-\delta x^2+\frac{2}{3}x^3, & \text{für } 1<x\leq 2 \end{cases} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s'(x)=\begin{cases} \alpha -2x+ 3\beta x^2, & \text{für }-1\leq x \leq 1\\ \gamma -2\delta x+2x^2, & \text{für } 1<x\leq 2 \end{cases} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s''(x)=\begin{cases} -2+ 6\beta x, & \text{für }-1\leq x \leq 1\\ -2\delta +4x, & \text{für } 1<x\leq 2 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Daraus erhält man:

$\begin{eqnarray*} -2- 6\beta =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2\delta +8=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3+\alpha -1+\beta = 2+\gamma -\delta +\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha -2+ 3\beta = \gamma -2\delta +2 \end{eqnarray*}$

Dieses Umformen und ein LGs aufstellen. Wenn eindeutig lösbar, auf Stetigkeit der zweiten Ableitung prüfen. Bei den Polynomen sind ja schon Koeffizienten festgelegt worden. Formal, wenn die zweite Ableitung dann aber nicht stetig ist, sollte man es nicht interpolierenden kubischen Spline nennen oder eben explizit darauf hinweisen.

11.07.2010, 20:13

Tuba

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RE: Splines
Leitest du nicht falsch ab?

Du behälst dein $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} s''(x) \end{eqnarray*}$ dabei ist es in $\begin{eqnarray*} s'(x) \end{eqnarray*}$ nur eine Konstante.

11.07.2010, 20:16

tigerbine

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RE: Splines
Sorry, hatte nur Strg+C genommen. Ich besser das aus.

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11.07.2010, 21:31

Tuba

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RE: Splines
Ok grade ist WM Finale. Ist es ok wenn ich dir morgen wieder was dazu schreibe und du schaust nochmal nach?

Vielen lieben Dank Big Laugh

Big Laugh

11.07.2010, 21:32

tigerbine

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RE: Splines
Hehe, ich gucke auch Fußí. Du musst wissen, bis wann du die Aufgabe fertig haben musst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.07.2010, 21:43

Tuba

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RE: Splines
Ich bekomme raus: $\begin{eqnarray*} \beta=-\frac{1}{3} , \delta=4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha-\gamma=-3 \end{eqnarray*}$

Also nicht eindeutig. Was bedeutet das jetzt genau?

12.07.2010, 21:45

tigerbine

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RE: Splines
Dann nimm noch die Gleichheit der zweiten Ableitungen am inneren Punkt dazu. Wird es dann eindeutig?

12.07.2010, 21:53

Tuba

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RE: Splines
Wenn ich mich nicht irre wird es auch dann nicht eindeutig, da in der 2ten Ableitung nur Informationen über $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ sind und diese sind schon bestimmt.

12.07.2010, 22:01

tigerbine

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RE: Splines
Dann mach bitte mal die Probe. Stimmen alle Forderungen?

12.07.2010, 22:07

Tuba

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RE: Splines
Probe stimmt auch und die Forderungen müssten auch richtig sein.
So ein Mist

12.07.2010, 22:11

tigerbine

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RE: Splines
Dann ist das bei den Vorgaben nicht eindeutig.

Zitat:

Bestimme Sie die Menge aller Parameter $\begin{eqnarray*} \alpha, \beta, \gamma , \delta\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Spricht da ja nicht gegen. Könnte daran liegen, dass man sonst ja die Punkte kennt, durch die der Spline geht. Die sind nun ja frei. Das ding muss im inneren nur glatt genug sein, um am Rand "Krümmungsfrei".

12.07.2010, 22:23

Tuba

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RE: Splines
Das kann gut möglich sein.
Es gibt ja noch einen 2ten Teil zu der Aufgabe.

b) Geben sie eine beliebige Basis des Raums der kubischen Splines zu den drei Knoten $\begin{eqnarray*} x_0=-1 , x_1=1, x_2=2 \end{eqnarray*}$ an. (Die Basis enthält dabei Funktionen $\begin{eqnarray*} \phi_i:[x_0,x_2]\mapsto \mathbb R \end{eqnarray*}$ .)

Wie gehe ich hier vor?

12.07.2010, 22:53

tigerbine

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RE: Splines
Naja, wir haben da doch nur diesenen einen Freiheitsgrad. Wie sieht das erste Teilpolynom nun mal "konkret" aus, wie das zweite?

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