Dichtefunktion

11.07.2010, 19:24

F4lk3

Dichtefunktion

Meine Frage:
Gegeben ist die Funktion
$\begin{eqnarray*} f(t):= \left\{ \begin{pmatrix} 0 \quad t<1 \\ \frac{c}{t^{4}}\quad 1\leq t \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$
a) Bestimmen Sie die Konstante c so, dass f die Dichtefunktion einer zufälligen Größe X ist. Skizzieren Sie den Graphen von f.
Da kommt noch mehr, aber das denke ich alleine lösen zu können wenn meine Konstante stimmt smile

.

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty }^{\infty }f(t)dt=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1=\int_{-\infty }^{\infty }f(t)dt=\int_{-\infty }^{1}0dt+c\int_{1}^{\infty }\frac{c}{t^{4} } f(t)dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c\cdot \left[-\frac{1}{3}t^{-4}\right]_{1}^{\infty } \end{eqnarray*}$

Also ist mein c=3.
Stimmt das vom Aufbau und macht man, dass immer so wenn man zeigen will dass f die Dichtefunktion einer zufälligen Größe X ist?

11.07.2010, 19:36

Cel

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Richtig, bis auf ein paar kleine Schreibfehler - unter dem zweiten Integral kein f, Stammfunktion ^-3. Die Aufgabe soll wohl einfach nur dafür sein, die Charakterisierung $\begin{eqnarray*} \int f = 1 \end{eqnarray*}$ (ganz lapidar geschrieben) zu üben.

11.07.2010, 22:25

F4lk3

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Ja üben oder besser gesagt es ist erst der Anfang einer Aufgabe smile

.

Jetzt soll ich noch den Erwartungswert und die Varianz ausrechnen.
Die Verteilungsfunktion F von X angeben.

$\begin{eqnarray*} E(X)= \int_1^\infty \! xf(x) \, dx = \int_1^\infty \! x\frac{3}{x^{4} } \, dx = \int_1^\infty \! \frac{3}{x^{3} } \, dx=\left[-\frac{3}{2}x^{-2} \right]_{1}^{\infty } = \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

Stimmt das wie ich das so aufgeschrieben habe und auch das Ergebnis? Die Varianz rechnet man ja fast analog.

F(x) anzugeben ist doch "einfach" mein t durch x ersetzen und meine Funktion dann integrieren oder?

12.07.2010, 09:42

Cel

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Jetzt stimmt alles.

Zitat:

Original von F4lk3
F(x) anzugeben ist doch "einfach" mein t durch x ersetzen und meine Funktion dann integrieren oder?

Dann zeig mal, wie du das machst. Vielleicht meinst du das richtige, vielleicht auch nicht.

12.07.2010, 11:22

F4lk3

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$\begin{eqnarray*} F(X)=\left\{ \begin{pmatrix} \int_{-\infty }^x0dt\qquad t<1 \\3 \int_1^x\frac{1}{t^{4} } dt\qquad 1\leq t \end{pmatrix} \right\} = \left\{ \begin{pmatrix} 0\qquad x<1 \\ -\frac{1}{x^{3} } \qquad x\geq 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Also so hätte ich gedacht wird es gemacht.
Und wenn ich dann meine Verteilsfunktion F habe soll ich für eine beliebiges x>1 die bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen:

$\begin{eqnarray*} P(x<X\leq x+\Delta x|X>x) \end{eqnarray*}$

Begründen Sie ob es sich bei der Verteilung von X um eine Verteilung mit oder ohne Gedächtnis handelt.
Da habe ich leider keinerlei Idee, was bedeutet dass überhaupt "mit oder ohne Gedächtnis"?

12.07.2010, 12:59

F4lk3

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Hab einen kleinen Fehler gemacht also ich hab die Grenzen von minus unendlich bis x und dafür ist mein Wert = 0.
Und dann habe ich 3mal das Integral von 1 bis x meiner Funktion also erhalte ich dann:

$\begin{eqnarray*} F(X)=\left\{ \begin{pmatrix} 0 \qquad x<1 \\ -\frac{1}{x^{3} }+1 \qquad x\geq 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

aber das mit der bedingten Wahrscheinlichkeit habe ich noch immer noch verstanden hmmm.

12.07.2010, 13:04

Cel

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OK, das sieht gut aus. Besonders die 1 hinten ist wichtig.

So, wie ist denn die bedingte W' $\begin{eqnarray*} P(A | B) \end{eqnarray*}$ definiert? Eben so:

$\begin{eqnarray*} P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \end{eqnarray*}$

Und du hast alles gegeben, um das auszurechnen. Die Gedächtnislosigkeit machen wir danach.

12.07.2010, 13:11

Huggy

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Zitat:

Original von F4lk3
Und wenn ich dann meine Verteilsfunktion F habe soll ich für eine beliebiges x>1 die bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen:

$\begin{eqnarray*} P(x<X\leq x+\Delta x|X>x) \end{eqnarray*}$

Begründen Sie ob es sich bei der Verteilung von X um eine Verteilung mit oder ohne Gedächtnis handelt.
Da habe ich leider keinerlei Idee, was bedeutet dass überhaupt "mit oder ohne Gedächtnis"?

Eine Verteilung heißt gedächtnislos, wenn die bedingte Wahrscheinlichkeit, die du ausrechnen sollst, nicht von x abhängt. Die Begriffsbildung kommt von den Lebensdauerverteilungen. Wenn die Zufallsgröße X eine Lebensdauer ist, dann ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, die du ausrechnen sollst, die Verteilungsfunktion der Restlebensdauer $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ unter der Bedingung, dass das Objekt schon eine Lebensdauer x hinter sich hat. Meist ist diese Restlebensdauer von der schon vergangenen Lebensdauer abhängig. Beim Menschen ist z. B. die Wahrscheinlichkeit, dass ein 80-jähriger noch eine bestimmte Zeit lebt kleiner als bei einem 20-jährigen. Der atomare Zerfall ist ein Beispiel für eine gedächtnislose Lebensdauerverteilung.

@ Cel
Ich schicke das ab, weil ich gerade mit dem Schreiben fertig, überlasse das weitere aber wieder dir.

12.07.2010, 15:51

F4lk3

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Also ich habe zwei Ereignisse
Ereignis A : $\begin{eqnarray*} P(x+\Delta x) \end{eqnarray*}$
Ereignis B: $\begin{eqnarray*} X>x \end{eqnarray*}$
für x>1 kann man daraus folgen, dass X>1 ist?

Die Formeln der bedingten Wahrscheinlichkeit sind mir bekannt, jedoch weiß ich nicht wirklich wie ich sie auf dieses Beispiel anwenden soll. verwirrt

Danke für die Erklärung des Gedächtnis. Also ich sehe nicht wirklich was ich gegeben habe, ich habe ja eigentlich nur P(Bedingungen).

12.07.2010, 16:04

F4lk3

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Nach meiner Antwort habe ich vll noch was gesehen:

$\begin{eqnarray*} P(x+\Delta x| X>x) = \frac{P(x+\Delta x)}{P(X>x)} \end{eqnarray*}$

und jetzt wie intepretiere ich das ganze jetzt. Wenn ich mir die nebenbedingung nehme x>1 dann habe $\begin{eqnarray*} 1+\Delta x \end{eqnarray*}$ ?

12.07.2010, 18:58

Cel

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Noch mal, das suchen wir:

$\begin{eqnarray*} P(x<X\leq x+\Delta x|X>x) \end{eqnarray*}$

Das schreiben wir um. Deine Intuition war richtig, deine Schreibweise leider nicht:

$\begin{eqnarray*} P(x<X\leq x+\Delta x|X>x) = \frac{P(x < X \leq x + \Delta x \cap X > x)}{P(X > x)} = \frac{P(x < X \leq x + \Delta x)}{P(X > x)} \end{eqnarray*}$

Und das kannst du doch ausrechnen? Mit der Verteilungsfunktion?

$\begin{eqnarray*} P(a < X < b) = F(b) - F(a) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(X > x) = 1 - P(X \leq x) = 1 - F(x) \end{eqnarray*}$ sollten helfen.

13.07.2010, 22:14

F4lk3

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$\begin{eqnarray*} \frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{1-F(x)} = \frac{1\frac{-1}{(x+\Delta x)^{3} } - 1\frac{-1}{x^{3}} }{1-(1-\frac{1}{x^{3}}) } \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \frac{x^{3} }{(x+\Delta x)^{3} } + 1 = 1-(\frac{x}{x+\Delta x})^{3} \end{eqnarray*}$

Das hier geht ja gegen 0. Ich hoffe ich konnte das umsetzen was du mir als Tipp gegeben hast, denn ich bin mir nicht ganz sicher :P. Aber vielen dank erst mal für alles hast mir sehr weitergeholfen.

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