6mal Würfeln.

12.07.2010, 16:06

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lieselotte

6mal Würfeln.

Hallo zusammen,

ich bin neu hier und habe eine kleine Frage, die nicht so schwer ist, mir aber erhebliche Probleme bereitet. Über Antworten würde ich mich freuen und sage schon im voraus danke. Also:

Ich werfe 6 Mal mit einem Sechs-Augen-Würfel.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass

a) 1 Zahl
b) 2 Zahlen
c) 3 Zahlen
d) 4 Zahlen
e) 5 Zahlen
f) 6 Zahlen

erscheinen? verwirrt

verwirrt

12.07.2010, 16:13

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tigerbine

RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung

Hallo,

nenne die Elementarereignisse zum Ereignis "eine Zahl".

12.07.2010, 16:28

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lieselotte

RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung

Hallo,

das sind folgende.

{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}

12.07.2010, 16:40

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tigerbine

RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung

Nein, das sind sie nicht. Du würfelst doch 6mal. Die Elementarereignisse sind dann Folgen von 6 Zahlen aus {1,...,6}. Klar?

Wie ws ist es die Folge 111111 zu würfeln (Pfadregel). Welche Ausgänge gibt es noch mit nur einer Zahl? Wie ws sind die?

Was sagt eine andere Pfadregel, wie man daraus die WS : "nur 1 Zahl" erhält?

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12.07.2010, 16:56

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lieselotte

RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung

Naja,

also "eine Zahl" ist

111111
222222
333333
444444
555555
666666.

12.07.2010, 17:28

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tigerbine

RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung

richtig. Ich hatte noch mehr Fragen gestellt.

12.07.2010, 17:46

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lieselotte

RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung

Eine Zahl bedeutet die Folge

111111 (WS = 1/46656) oder
222222 (WS = 1/46656)
333333 (WS = 1/46656)
444444 (WS = 1/46656)
555555 (WS = 1/46656)
666666 (WS = 1/46656).

Eine andere Pfadregel wäre z.B.

111112.

Díe WS, daraus "eine Zahl" zu erhalten beträgt 1/6.

12.07.2010, 18:09

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tigerbine

RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung

Die WS für 1,2,3,4,5,6 beträgt 1/6. Die Pfadws eines Pfades ist (1/6)^6, es wird ja 6mal gwürfelt. Es gibt 6 Elementarereignisse zu "genau 1 Zahl2. Also ist die WS 6 * (1/6)^6 = (1/6)^5

12.07.2010, 18:47

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lieselotte

RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung

Vielen Dank, das hat mir sehr weitergeholfen. Schönen Tag.

12.07.2010, 19:12

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tigerbine

RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mit dieser Idee solltest du auch die anderen Teilaufgaben lösen können. Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.07.2010, 19:14

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AD

Das ist ein gesunder Optimismus - na wollen wir's hoffen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.07.2010, 19:18

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tigerbine

Optimismus ist eben, dass man auch alle die verschiedenen Möglichkeiten für "2Zahlen" usw. denkt. Denn die Einzelpfadws wird bleiben....

12.07.2010, 19:23

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AD

Hoffentlich denkt lieselotte auch dran. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Es gibt übrigens auch einen Lösungsweg, der unisono a) - f) in einer gemeinsamen Formel erschlägt. Allerdings basiert das auf der Siebfornel, und da rennen die meisten mit Schreikrämpfen weg, also unterlasse ich es lieber, den Weg hier aufzudrängen. Big Laugh

Big Laugh

12.07.2010, 19:49

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Huggy

@ tigerbine
Ich bin mir nicht sicher, ob du den Einwand von Arthur richtig würdigst. Hast du mal versucht, die Wahrscheinlichkeit für 3 verschiedene Zahlen (genau 3, keine mehr und keine weniger) über Pfade zu berechnen. Das kann auch bei kühlem Wetter zu einer schweißtreibenden und Papier füllenden Angelegenheit werden.

12.07.2010, 20:12

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tigerbine

Wie anstrengend es wird, habe ich mir bei den Temperaturen hier nun nicht überlegt. Wenn ihr sie also mit der Formel schneller zum Ziel bringen könnt, nur zu. Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.07.2010, 21:40

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AD

NUR zum Vergleich, falls es bei den unübersichtlichsten Fällen zu irgendwelchen Verhedderungen kommt:

Zitat:

Allgemeine Situation: [latex]N[/latex]

[latex]N[/latex]

Würfe mit einem Würfel, der [latex]n[/latex]

[latex]n[/latex]

gleichberechtigte Seiten aufweist (hier also N=6,n=6).

Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit [latex]p_m[/latex]

[latex]p_m[/latex]

, dass genau [latex]m[/latex]

[latex]m[/latex]

verschiedene Zahlen in der Wurffolge auftauchen?

Antwort: $[latex]p_m = \frac{1}{n^N}\cdot \binom{n}{m} \cdot \sum_{k=1}^m (-1)^{m-k} \cdot \binom{m}{k} \cdot k^N[/latex]$ für $[latex]1\leq m\leq n[/latex]$

Geduldig erklären kann ich diese Formel heute bei der Hitze nicht. Big Laugh

Big Laugh

Und wahrscheinlich strecken manche schon die Waffen, wenn es um die bloße Anwendung (d.h. eigentlich nur "Einsetzen") dieser Formel geht.

13.07.2010, 13:14

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AD

@lieselotte

Rein mathematische Fragen bitte nur hier im öffentlichen Forum, nicht per PN.

Nebenbei bemerkt hätte ich dir sowieso nicht per PN antworten können: Du hast deinen PN-Empfang nicht aktiviert. unglücklich

unglücklich

13.07.2010, 13:25

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lieselotte

Ok Arthur.

Super Formel, finde ich gut. Freude

Freude

Kannst du sie heute bitte etwas erklären, da es nicht ganz so heiß ist wie gestern.

Der Mittelteil ist doch ein paar Nummern zu groß für mich. Vielleicht kannst sie einfach ausgeschrieben am Beipiel von drei Zahlen noch einmal darstellen.

Vielen Dank. Mit Zunge

Mit Zunge

13.07.2010, 13:44

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AD

Ich möchte dich nochmals nachdrücklich warnen:

Die obige Formel basiert auf der Siebformel von Poincaré und Sylvester, eine Erklärung dessen sprengt den Rahmen dieser Aufgabe und ist im Rahmen der Schulmathematik wirklich nur den mathematisch aufgewecktesten Schülern zu empfehlen - wenn du dich zu letzteren zählst, dann mache ich das gern. Andernfalls ist es sicher besser, den von tigerbine vorgezeigten Weg zu nehmen.

13.07.2010, 15:24

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Mystic

Aus algorithmischer Sicht gibt's allerdings schon sowas wie einen "Königsweg", wenngleich die Erklärungen, warum das so funktioniert, wiederum den Rahmen der Schulmathematik bei weitem sprengen würden... Dabei macht man sich zunutze, dass man die Stirlingzahlen zweiter Art [latex]S_2(6,k)[/latex]

[latex]S_2(6,k)[/latex]

,k=0,1,...,6, auf die letzlich alles hinausläuft, auch wenn Arthur sie jetzt nicht explizit verwendet, sehr leicht und alle auf einmal über ein Differenzenschema bekommen kann, wie man es ähnlich auch für die Newtonsche Interpolation benötigt.. Die erste Zeile des Differenzenschemas bilden dabei die Potenzen [latex]k^6[/latex]

[latex]k^6[/latex]

,k=0,1,...,6, und jede weitere Zeile geht aus der vorhergehenden einfach durch Bildung der Differenzenfolge und Division durch die Zeilennummer (0-basiert!) hervor, also

Zeile 0: 0, 1, 64, 729, 4096, 15625, 46656
Zeile 1: 1, 63, 665, 3367, 11529, 31031
Zeile 2: 31, 301, 1351, 4081, 9751
Zeile 3: 90, 350, 910, 1890
Zeile 4: 65, 140, 245
Zeile 5: 15, 21
Zeile 6: 1

Damit ist dann die jeweils erste Zahl in der k-ten Zeile gerade [latex]S_2(6,k)[/latex]

[latex]S_2(6,k)[/latex]

, k=0,1,..,6, und der daraus gebildete Vektor ist

[latex]u=(0,1,31,90,65,15,1) [/latex]

[latex]u=(0,1,31,90,65,15,1) [/latex]

Um auf den Vektor der gesuchten Wahrscheinlichkeiten zu kommen, benötigt man noch den weiteren Vektor

$[latex]v=(\frac1{6!},\frac1{5!},\frac1{4!},\frac1{3!},\frac1{2!},\frac1{1!},\frac1{0!})[/latex]$

den man sich leicht merken kann, da er bei gleicher Länge wie u aus den ersten Summanden der Reihe für e (verkehrt herum angeschrieben) gebildet wird... Der gesuchte Vektor p der Wahrscheinlichkeiten ist dann

$[latex]p=\frac {6!}{6^6} (u \odot v) =\frac 5{324} (u \odot v) =(0,\frac 1{7776},\frac {155}{7776},\frac {25}{108},\frac {325}{648}, \frac {25}{108},\frac 5{324}) [/latex]$

wobei das Vektorprodukt $[latex]\odot[/latex]$ hier die komponentenweise Multiplikation bezeichnet...

13.07.2010, 15:25

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Huggy

Ich will mal versuchen, die Formel anhand eines Beispiels plausibel zu machen. Das ist natürlich kein Beweis, nimmt ihr aber vielleicht doch einiges von ihrem Schrecken.

N = 6, also 6 Würfe
n = 6, also ein gewöhnlicher Würfel mit 6 Seiten
m = 4, gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, genau 4 Zahlen zu werfen

Für dieses Beispiel lautet die Formel:

$[latex]p_m=\frac{1}{6^6}\binom 6 4 \sum_{k=1}^4 (-1)^{4-k} \binom 4 k k^6[/latex]$

$[latex]p_m=\frac{1}{6^6}\binom 6 4 \left (- \binom 4 1 1^6 + \binom 4 2 2^6- \binom 4 3 3^6 + \binom 4 4 4^6 \right )[/latex]$

Der Grundaufbau der Formel ist klar. Es wird eine Laplace-Wahrscheinlichkeit angenommen. Die Wahrscheinlichkeit [latex]p_m[/latex]

[latex]p_m[/latex]

wird daher nach der Methode

$[latex]\frac{Zahl \, der \, guenstigen \, Faelle}{Geamtzahl \, der \, Faelle}[/latex]$

berechnet. [latex]n^N=6^6[/latex]

[latex]n^N=6^6[/latex]

ist die Gesamtzahl der Fälle. Der Rest der Formel sind also die günstigen Fälle.

Der Faktor $[latex]\binom n m = \binom 6 4[/latex]$ vor der Summe ist die Anzahl der Möglichkeiten 4 von 6 Zahlen auszuwählen. Die Summe ist daher die Zahl der Möglichkeiten, mit 6 Würfen 4 bestimmte Zahlen (z. B. die Zahlen 1, 2, 3 und 4) zu werfen, jede mindestens einmal. Diese Summe ist die eigentliche Siebformel.

Diese Summe wird nun von hinten nach vorne aufgedröselt. Der letzte Summand

$[latex]\binom 4 4 4^6 = 4^6[/latex]$

ist die Zahl der Möglichkeiten mit 6 Würfen ausschließlich 4 bestimmte Zahlen zu werfen. Dabei sind die Fälle, bei denen eine oder mehrere dieser 4 Zahlen gar nicht geworfen werden, eingeschlossen. Das sind also noch zu viele Fälle. Das wird durch die vorherigen Summanden sukzessive korrigiert. Mit dem vorigen Summanden

$[latex]-\binom 4 3 3^6[/latex]$ werden Fälle abgezogen, bei denen nur 3 oder weniger der 4 Zahlen geworfen werden. Allerdings ist diese Korrektur zu stark. Fälle, bei denen nur 2 oder weniger Zahlen geworfen werden, sind darin mehrfach enthalten. Wenn z. B. nur 1 und 2 geworfen wird, ist das in Fällen, bei denen nur 1, 2, und 3 geworfen wird, enthalten, aber auch in den Fällen, bei denen nur 1, 2 und 4 geworfen wird. Das wird wieder durch den davor stehenden Summanden korrigiert. Da werden Fälle addiert, bei denen höchstens 2 Zahlen aus den 4 geworfen werden. Auch diese Korrektur ist zu stark, weil darin Fälle, bei denen nur eine Zahl geworfen wird, mehrfach enthalten sind. Das wird durch eine letzte Korrektur mit dem ersten Summanden ins Lot gebracht.

So ergibt die Summe schließlich die exakte Zahl der Fälle, bei denen 4 bestimmte Zahlen bei 6 Würfen mindestens einmal geworfen werden. Wobei das wie gesagt kein Beweis ist, sondern eine Plausibilitätserklärung. Der exakte Beweis erfordert die systematische Anwendung des Distributivgesetzes bei Mengenoperationen.

@ Arthur
Es ist nicht meine Absicht, mit dieser Wischi-Waschi-Erläuterung deinen Blutdruck in Wallung zu bringen. Ganz ehrlich nicht!

13.07.2010, 15:30

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AD

Zitat:

Original von Huggy
Es ist nicht meine Absicht, mit dieser Wischi-Waschi-Erläuterung deinen Blutdruck in Wallung zu bringen.

Ach wo! Ich bewundere Leute, die den Mut zum Versuch haben, die Siebformel verbal verständlich zu machen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.07.2010, 16:34

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lieselotte

@ huggy

Sag doch bitte mal zur Überprüfung den Wert von "4 Verschiedene aus 6"

Danke

13.07.2010, 17:01

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Huggy

Zitat:

Original von lieselotte
Sag doch bitte mal zur Überprüfung den Wert von "4 Verschiedene aus 6"

$[latex]p_4= \frac{1}{6^6}\binom 6 4 \left (-\binom 4 1 1^6 + \binom 4 2 2^6- \binom 4 3 3^6 + \binom 4 4 4^6 \right )[/latex]$

$[latex]p_4=\frac{15}{46656}\left (-4+6\cdot 64-4\cdot 729 +4096\right )[/latex]$

$[latex]p_4=\frac{15}{46656}1560=\frac{23400}{46656}[/latex]$

14.07.2010, 09:57

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lieselotte

Huggy, sehr gut erklärt. Jetzt hab sogar ich es verstanden. Und wenn`s auch noch stimmt, dann ab jetzt Prof. Dr. Huggy.

Gott

Gott

14.07.2010, 10:42

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AD

Evtl. Zweifel an der Richtigkeit sind blanke Blasphemie. Teufel

Teufel

14.07.2010, 11:29

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Huggy

Den Dank nehme ich gern entgegen. Die Titel gegen aber besser an Arthur, an den ich sie hiermit kraft einer Befugnis, die ich mit selbst erteilt habe, weitergebe. smile

smile

14.07.2010, 11:43

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AD

Für olle Kamellen gibt es keine Professorentitel, denn wie Mystic ja richtig anmerkte, geht es hier im wesentlichen um das Partitionsproblem und die dazu gehörenden Stirlingzahlen - auch wenn mir das oben zunächst nicht bewusst war. Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.07.2010, 11:50

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Huggy

Sei nicht so kleinlich! Markowitz hat sogar den Nobelpreis bekommen, weil er eine Formel, die in jedem Statistikbuch steht, auf die Portfoliozusammenstellung angewendet hat. Big Laugh

Big Laugh

15.07.2010, 13:08

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mathchild

Also, die Siebformel habe ich jetzt verstanden oder besser verstehe wie die Summenformel zu lesen ist. Aber wie kommt man jetzt von dem Problem mit den Würfeln auf die unten stehende Formel. Igendwie komme ich mit der Anwendung der Siebformel nicht klar:

Zitat:

Allgemeine Situation: [latex]N[/latex]

[latex]N[/latex]

Würfe mit einem Würfel, der [latex]n[/latex]

[latex]n[/latex]

gleichberechtigte Seiten aufweist (hier also N=6,n=6).

Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit [latex]p_m[/latex]

[latex]p_m[/latex]

, dass genau [latex]m[/latex]

[latex]m[/latex]

verschiedene Zahlen in der Wurffolge auftauchen?

Antwort: $[latex]p_m = \frac{1}{n^N}\cdot \binom{n}{m} \cdot \sum_{k=1}^m (-1)^{m-k} \cdot \binom{m}{k} \cdot k^N[/latex]$ für $[latex]1\leq m\leq n[/latex]$

15.07.2010, 14:20

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AD

Zitat:

Original von mathchild
Aber wie kommt man jetzt von dem Problem mit den Würfeln auf die unten stehende Formel.

In dieser allgemeinen Art gefragt ist das schon ein ziemlicher Schlag in Huggys Gesicht: Schließlich hat er den Großteil seines obigen ausführlichen Beitrags genau dieser Frage gewidmet. Könntest du also bitte so freundlich sein, dir das nochmal (oder erstmals) durchzulesen und dann deine Fragen bitte etwas konkreter stellen, d.h., welcher Teil denn nun genau unklar ist.

Ansonsten muss ich wieder drauf verweisen, was ich oben gesagt habe: Bleib beim einfacheren, von tigerbine skizzierten Weg.

15.07.2010, 17:30

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mathchild

oh nein! Ich habe natürlich niemanden beleidigen wollen.

Den Beitrag von huggy ahbe ich gelesen. Ich verstehe auch, wie das mit dem abwechselnden Hinzuzählen und Wiederabziehen funktioniert. Mir fehlt aber der formale Zusammenhang zwischen der Siebformel und der Aufgabe mit den Würfeln. Also die Siebformel erlaubt es doch die Anzahl

|A1 U A2 U .... U AN| = ...

zu berechnen.

Wie kann ich jetzt daraus formal die Aufgabe lösen, beim Werfen mit N Würfeln die Wahrscheinlichkeitt der Würfe mit n-gleichen Zahlen zu berechnen.

Klar ist das wir im Nennen die Anzahl aller Fälle also 6 hoch N haben. Nun brauchen wir noch die Anzahl der günstigen Fälle und die werden wohl mit der Siebformel berechnet. Was sind aber jetzt die A1, A2, .... ,AN ???? Und wie bestimme ich der Terme auf der rechten Seite, also etwa |A1 + A2 + A3| ??? (+ steht für den Durchschnitt).

Ich hoffe ich habe mich einigermaßen klar ausdrücken können. Ich habe schon öfters Lösungen mit der Siebformel gesehen und nie verstanden, wie man den Zusammenhang mit der Aufgabe herstellt. Wahrscheinlich stell ich mich da einfach dumm an.

15.07.2010, 21:05

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Huggy

Der Einstieg in die Mengenakrobatik sieht so aus:

Sei [latex]G_m[/latex]

[latex]G_m[/latex]

die Menge der N-tupel, die genau m bestimmte Zahlen enthalten, o. B. d. A. die Zahlen 1, ..., m. [latex]H_m[/latex]

[latex]H_m[/latex]

sei die entsprechende Menge der N-tupel, die höchstens diese m Zahlen enthalten. Dann gilt:

$[latex]G_m=H_m- \bigcup_{i=1}^m H_{m-1,i}[/latex]$

und

$[latex]\left |G_m \right |= \left | H_m \right |- \left | \bigcup_{i=1}^m H_{m-1,i}\right |[/latex]$

Dabei sind $[latex]H_{m-1,i}[/latex]$ die Teilmengen von [latex]H_m[/latex]

[latex]H_m[/latex]

, die die Zahl i nicht enthalten. Das Wesen der Siebformel besteht in der weiteren Behandlung obiger Vereinigungsmenge und ihrer Elementzahl

15.07.2010, 23:08

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mathchild

Und wie stelle ich jetzt den Bezug her, zu der Anzahl der 6er Tupel die genau k gleiche Zahlen enthalten??????

Also irgendwie fehlt mir da noch etwas!

16.07.2010, 08:03

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Huggy

Wie meinst du das? [latex]G_m[/latex]

[latex]G_m[/latex]

ist doch genau das. verwirrt

verwirrt

16.07.2010, 08:15

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mathchild

Da habe ich mich jetzt dumm ausgedrückt. Wie stelle ich den Bezug ZU DER FORMEL für die Anzahl der 6er Tupel die genau k gleiche Zahlen enthalten??????

Was setze ich denn für |Hm| ein??? Und was für |H(m-1,i) ????

16.07.2010, 09:05

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Huggy

Es ist

[latex]|H_m|=m^N[/latex]

Das stand doch schon in meinem obigen längeren Beitrag. Und die Mengen $[latex]H_{m-1,i}[/latex]$ enthalten alle die gleiche Zahl von Elementen. Deshalb kann man kurz schreiben

$[latex]|H_{m-1,i}|=|H_{m-1}|[/latex]$

Für den weiteren Übergang zur Formel von Arthur ist die weitere Verarbeitung der Vereinigungsmenge notwendig. Es ist

$[latex]\left | \bigcup_{i=1}^m H_{m-1,i} \right |=\left | H_{m-1,1} \cup \bigcup_{i=2}^m H_{m-1,i} \right |=|H_{m-1,1}|+\left | \bigcup_{i=2}^m H_{m-1,i} \right |-\left | H_{m-1,1} \cap \bigcup_{i=2}^m H_{m-1,i} \right |[/latex]$

Mit $[latex]|H_{m-1,1}|[/latex]$ hast du den ersten Beitrag zu dem Summanden mit k = m - 1 in der Formel von Arthur. Der nächste Schritt bei der Verarbeitung der verbliebenen Vereinigungsmenge bringt dann den Beitrag $[latex]|H_{m-1,2}|[/latex]$ usw. für i = 3, ..., m. Insgesamt gibt das m gleich große Beiträge, die den Term für k = m -1 ergeben:

$[latex]\sum_{i=1}^m |H_{m-1,i}|= \binom m {m-1} (m-1)^N[/latex]$

Die Verarbeitung der Schnittmenge bringt dann im ersten Schritt erstmalig $[latex]H_{m-2}[/latex]$ zum Vorschein.

16.07.2010, 14:23

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mathchild

Also erst mal herzlichen Dank für deine Geduld.

Ich glaube mein Problem liegt darin, dass mir die Definitionen von Gm und Hm nicht klar sind.

Zitat:

Original von Huggy

Sei [latex]G_m[/latex]

[latex]G_m[/latex]

die Menge der N-tupel, die genau m bestimmte Zahlen enthalten, o. B. d. A. die Zahlen 1, ..., m. [latex]H_m[/latex]

[latex]H_m[/latex]

sei die entsprechende Menge der N-tupel, die höchstens diese m Zahlen enthalten.

Also wenn Gm die gesuchte Menge ist, dann müsste doch gelten

[latex]G_m[/latex]

[latex]G_m[/latex]

die Menge der N-tupel, die genau m gleiche Zahlen enthalten.[latex]

G3 enthält (1,1,1,4,5,6)

G3 enthält nicht (1,1,1,1,5,6), (1,1,3,4,5,6), (1,1,1,2,2,6), (1,1,1,2,2,2)

Wie sieht es dann mit H3 aus? Ist das die Menge der Tupel die höchstens drei gleiche Zahlen beinhalten?

H3 enthält (1,1,1,4,5,6), (1,1,3,4,5,6)
H4 enthält nicht (1,1,1,1,5,6)

Was ist mit (1,1,2,2,5,6) ? enthalten oder nicht enthalten?
Was ist mit (1,2,3,4,5,6) ? enthalten oder nicht enthalten?

Ohne zu wissen, wie die Mengen Gm und Hm genau definiert sind, kann ich deine Überlegungen halt nicht nachvollziehen.

Ich hoffe, du verlierst nicht die Geduld mit mir!

16.07.2010, 14:38

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AD

Ich weiß nicht, ob du dir die Erklärungen richtig durchliest. Jedenfalls scheinst du sie gründlich misszuverstehen. unglücklich

unglücklich

Bleiben wir mal beim Beispiel m=3, also [latex]G_3[/latex]

[latex]G_3[/latex]

und

[latex]H_3[/latex]

.

Zunächst mal müssen wir uns drauf einigen, welche 3 der 6 möglichen Zahlen wir hier betrachten wollen. Nehmen wir z.B. mal 1,4,5 - Huggy hat oben in der Berechnung 1..m genommen, weil es für die Anzahlberechnung gleichgültig ist, welche 3 das sind.

Um das jetzt erstmal klarzustellen: Sämtliche 6-Tupel aus [latex]G_3[/latex]

[latex]G_3[/latex]

und

[latex]H_3[/latex]

enthalten nun ausschließlich diese 3 Zahlen als Tupelelemente. Bei [latex]G_3[/latex]

[latex]G_3[/latex]

muss zusätzlich auch jede dieser 3 Zahlen als Element auftreten, während das bei [latex]H_3[/latex]

[latex]H_3[/latex]

nicht gefordert wird. Somit ist schon erstmal klar, dass $[latex]G_3 \subset H_3[/latex]$ gilt.

Jetzt ein paar Beispiele von Tupeln

(1,5,1,1,4,5) gehört zu [latex]H_3[/latex]

[latex]H_3[/latex]

und auch zu [latex]G_3[/latex]

[latex]G_3[/latex]

.

(4,5,5,5,1,5) gehört zu [latex]H_3[/latex]

[latex]H_3[/latex]

und auch zu [latex]G_3[/latex]

[latex]G_3[/latex]

.

(5,4,5,1,4,1) gehört zu [latex]H_3[/latex]

[latex]H_3[/latex]

und auch zu [latex]G_3[/latex]

[latex]G_3[/latex]

.

(5,4,4,5,5,5) gehört zu [latex]H_3[/latex]

[latex]H_3[/latex]

, aber nicht zu [latex]G_3[/latex]

[latex]G_3[/latex]

, da die 1 fehlt.

(1,4,1,1,1,1) gehört zu [latex]H_3[/latex]

[latex]H_3[/latex]

, aber nicht zu [latex]G_3[/latex]

[latex]G_3[/latex]

, da die 5 fehlt.

(1,4,4,4,2,4) gehört weder zu [latex]H_3[/latex]

[latex]H_3[/latex]

noch zu

[latex]G_3[/latex]

, da die 2 nicht zur Menge {1,4,5} der hier zugelassenen Tupelelemente gehört.

------------------------

[latex]G_3[/latex]

[latex]G_3[/latex]

ist nun auch noch nicht die gesuchte Menge (bzw. deren Mächtigkeit) mit genau 3 verschiedenen Zahlen: Wir hatten uns hier ja erstmal auf die drei konkreten Zahlen 1,4,5 eingeengt. Das muss abschließend natürlich noch korrigiert werden, indem man die hier gefundene Anzahl [latex]|G_3|[/latex]

[latex]|G_3|[/latex]

mit der Anzahl der Auswahlmöglichkeiten von 3 aus 6 Ziffern multipliziert, das wäre dann der Faktor $[latex]\binom{6}{3} = 20[/latex]$ (in der allgemeinen Formel oben ist dies das $[latex]\binom{n}{m}[/latex]$ vor der Summe).

16.07.2010, 15:31

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mathchild

Zitat:

Original von Huggy
Wie meinst du das? [latex]G_m[/latex]

[latex]G_m[/latex]

ist doch genau das. verwirrt

verwirrt

Wieso???? Also G3 ist doch NICHT die gesuchte Menge!!!!

G3 ist also die Menge der N-Tupel, die genau aus drei bestimmten vorgegebenen verschiedenen Zahlen bestehen. Wenn man drei beliebige verschiedene Zahlen vorgibt, dann muss man G3 noch mit (n über 3) multiplizieren. Das verstehe ich jetzt.

Und warum ist G3 * (n über 3) jetzt die Anzahl der gesuchten Menge der N-Tupel bei denen genau drei Zahlen übereinstimmen???

Vielleicht begreife ich langsam oder aber die Definitionen sind nicht immer präzise formuliert. Aber ich habe mir eure Beiträge genau durchgelesen.

16.07.2010, 15:35

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AD

Zitat:

Original von mathchild
Menge der N-Tupel bei denen genau drei Zahlen übereinstimmen???

Darum geht es in der Aufgabe nicht: Es geht um die Tupel, die aus genau 3 verschiedenen Zahlen bestehen. Wie oft dann jede dieser 3 Zahlen im Tupel auftaucht, ist völlig irrelevant - nun gut, mindestens einmal sollte es natürlich jeweils sein.

Ist schon ziemlich traurig, dass dir das bis jetzt nicht klar ist. unglücklich

unglücklich

16.07.2010, 15:44

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mathchild

Zitat:

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass a) 1 Zahl b) 2 Zahlen c) 3 Zahlen d) 4 Zahlen e) 5 Zahlen f) 6 Zahlen erscheinen?

Das habe ich tatsächlich falsch interpretiert, dahingehend dass 1, 2 ... 6 gleiche Zahlen erwartet werden.

Tut mir leid, wenn ich euch damit unnötig belastet habe.

16.07.2010, 16:13

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AD

Ich würde dir wirklich mal dringend raten, die Beiträge gründlicher zu lesen. Selbst wenn du die Aufgabenstellung anders aufgefasst hast, so habe ich doch bereits am 12.07.2010, 21:40 unmissverständlich geschrieben:

Zitat:

Original von Arthur Dent
Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit [latex]p_m[/latex]

[latex]p_m[/latex]

, dass genau [latex]m[/latex]

[latex]m[/latex]

verschiedene Zahlen in der Wurffolge auftauchen?

Da bleibt kein Spielraum für Ausreden. unglücklich

unglücklich

16.07.2010, 19:32

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mathchild

Nachdem auch ich jetzt die Aufgabe verstanden habe, will ich mal alles zusammentragen, was ich bisher gelernt habe:

Wir führen [latex]N[/latex]

[latex]N[/latex]

Würfe aus, mit einem Würfel, der [latex]n[/latex]

[latex]n[/latex]

gleichberechtigte Seiten aufweist.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit [latex]p_m[/latex]

[latex]p_m[/latex]

, dass genau [latex]m[/latex]

[latex]m[/latex]

verschiedene Zahlen in der Wurffolge auftauchen.

Behauptung:

$[latex]p_m = \frac{1}{n^N}\cdot \binom{n}{m} \cdot \sum_{k=1}^m (-1)^{m-k} \cdot \binom{m}{k} \cdot k^N[/latex]$ für $[latex]1\leq m\leq n[/latex]$

Beweis:

Sei [latex]G_m[/latex]

[latex]G_m[/latex]

die Menge der N-tupel, die genau m bestimmte Zahlen enthalten, o. B. d. A. die Zahlen 1, ..., m.

Dann ist

$[latex]p_m = \frac{1}{n^N}\cdot \binom{n}{m} \cdot |G_m|[/latex]$ für $[latex]1\leq m\leq n[/latex]$

Bleibt also noch [latex]|G_m|[/latex]

[latex]|G_m|[/latex]

zu berechnen.

[latex]H_m[/latex]

[latex]H_m[/latex]

sei die Menge der N-tupel, die höchstens die vorgegebenen m Zahlen enthalten. Dann gilt:

$[latex]G_m=H_m- \bigcup_{i=1}^m H_{m-1,i}[/latex]$ <-- ich hab zwar eine Ahnung, aber richtig verstehe ich das leider nicht!

und

$[latex]\left |G_m \right |= \left | H_m \right |- \left | \bigcup_{i=1}^m H_{m-1,i}\right |[/latex]$

Dabei sind $[latex]H_{m-1,i}[/latex]$ die Teilmengen von [latex]H_m[/latex]

[latex]H_m[/latex]

, die die Zahl i nicht enthalten.

Es ist

$[latex]|H_{m}| = m^N[/latex]$

Außerdem ist

$[latex]|H_{m-1,i}|=|H_{m-1}|= (m-1)^N[/latex]$

Und jetzt würde ich ganz naiv versuchen die Siebformel anzuwenden:

$[latex]\left |G_m \right |= \left | H_m \right |- \left | \bigcup_{i=1}^m H_{m-1,i}\right |[/latex]$

$[latex]= m^N - \sum_{k=1}^m (-1)^{k-1} \cdot {(k-1)}^N[/latex]$

Bin ich noch auf dem richtigen Dampfer? Das passt irgendwie nicht mehr zur obigen Behauptung!

Und wie wird die Gleichung bewiesen, die ich nicht nachvollziehen kann?

16.07.2010, 20:26

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mathchild

Ich sehe schon, das mit der Siebformel habe ich vollkommen falsch angewandt. Man muss ja erst noch die Sache mit den Durchschnitten bilden. Leider kann ich meinen Beitrag nicht mehr ändern!

17.07.2010, 10:47

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Huggy

@ mathchild
Ich habe gezögert, noch einmal auf deine Fragen einzugehen, weil ich den Eindruck habe, dass du zwar an dem Thema interessiert bist, aber dass du nicht bereit bist, genügend Arbeit und Zeit zu investieren, wie dazu einfach notwendig ist. Mathematische Texte kann man nicht lesen wie die Tageszeitung. Man muss sich über jeden Satz, ja jedes Wort, jede Formel Gedanken machen. Man muss sich Beispiele machen, diese noch mal mit den Erklärungen vergleichen, eventuell korrigieren, noch mal vergleichen, etc. Wenn du das gemacht hättest, hätten die Miss- und Unverständnisse, die Arthur dann aufgeklärt hat, gar nicht entstehen können. Mathematik ist nun mal zu über 90 % Transpiration und nur der kleine Rest ist Inspiration.

Es war und ist nicht meine Absicht, einen vollständigen und formalen Beweis der Siebformel und der daraus resultierenden Arthur-Formel zu geben. Ich wollte den Weg der Entstehung so verständlich machen, dass man zum Schluss auch ohne Beweis überzeugt ist, da muss zwangsläufig genau das herauskommen, was Arthur als Formel hingeschrieben hat. Diese Art von Verständnis ist aus meiner Sicht mindestens so wichtig und nützlich, wie der Beweis selbst.

Um dieses Ziel zu erreichen, ist notwendig:

(1) Die Ausgangsformel

Zitat:

$[latex]\left |G_m \right |= \left | H_m \right |- \left | \bigcup_{i=1}^m H_{m-1,i}\right |[/latex]$

Dabei sind $[latex]H_{m-1,i}[/latex]$ die Teilmengen von [latex]H_m[/latex]

[latex]H_m[/latex]

, die die Zahl i nicht enthalten.

zu verstehen. Was bedeuten die Mengen und weshalb ist die Formel richtig? Wenn du die Erläuterungen sorgfältig liest und dir Beispiele machst, solte dir das gelingen. Wenn es dir nicht gelingt, solltest du dich mit dem Gedanken vertraut machen, dass du für dieses Thema noch nicht bereit bist.

(2) Man muss den Reduktionsprozess für die Vereinigunsmengen verstehen. Zu Anfang hat man eine Vereinigungsmenge aus m Mengen. Nach dem ersten Reduktionsschritt hat man 2 Vereinigungsmengen aus m - 1 Mengen. Auch das muss man sich im Detail und an Beispielen klar machen. In meinen bisherigen Erläuterungein fehlt dabei noch der Schritt, den Schnitt einer Menge mit einer Vereinigungsmenge mit dem Distributivgesetz in eine Vereinigung von Schnittmengen umzuformen.

(3) Man muss das Verfahren für kleine m explizit und vollständig durchführen. m = 2 ist trivial. m =2, 3, 4 geht problemlos. m = 5 bewältigt man zur Not auch noch. Danach hat man die Arthur-Formel für diese m bewiesen und dabei gesehen, wie sie zu Stande kommt. Und danach sollte einem klar sein, dass die Formel für beliebiges m genau so aussehen muss, wie sie aussieht, obwohl das kein Beweis ist.

Der vollständige und formale Beweis für beliebiges m, welcher natürlich ein Induktionsbeweis ist, beginnt mit der Schwierigkeit, die dabei auftretenden Mengen zu indizieren. Wenn man sich z. B. den Artikel in der Wikipedia zur Siebformel anschaut, sieht man, dass man dabei als Index Mengen verwendet. Das ist im Vergleich zu dem, was man kennt, schon mächtig gewöhnungsbedürftig.

@Edit
Wenn du das liest, wirst du vermutlich verärgert sein. Aber bedenke, würde ich einen so langen Beitrag schreiben, nur um jemanden zu ärgern, den ich gar nicht kenne?

@Edit2
Bei der Ausführung des Vefahrens für kleine m würde ich eine Änderung der Indizierung empfehlen. Ich würde empfehlen, dann für die H-Mengen als Index die Zahlen zu verwenden, die sie höchsten enthalten sollen. Statt [latex]H_4[/latex]

[latex]H_4[/latex]

würde man also schreiben $[latex]H_{1234}[/latex]$ . Und $[latex]H_{4,1}[/latex]$ wäre dann $[latex]H_{234}[/latex]$ .

17.07.2010, 18:28

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mathchild

@Huggy

Zitat:

Wenn du das liest, wirst du vermutlich verärgert sein.

Wie kommst du denn da drauf! Du bist doch sehr freundlich. Und natürlich ist diese Thematik recht abstrakt. Und ganz sicher vertue ich mich sehr häufig.

Also mir geht es nicht um den Beweis der Siebformel. Den Induktionsbeweis der Siebformel habe ich verstanden und auch wie die Sache funktioniert - was ja aus einem Beweis mit Induktion nicht immer hervorgeht. Jetzt würde ich gern die Siebformel anwenden, um die Aufgabe mit den Würfeln zu lösen.

Bisher haben wir doch erreicht

$[latex]\left |G_m \right |= \left | H_m \right |- \left | \bigcup_{i=1}^m H_{m-1,i}\right |[/latex]$

Es ist

$[latex]|H_{m}| = m^N[/latex]$

Jetzt geht es darum, die Siebformel auf den verbleibenden Ausdruck anzuwenden.

$[latex]|\bigcup_{i=1}^m H_{m-1,i}| = \sum_{k = 1}^{m} (-1)^{k-1} \sum_{1 \leq i_1 \leq ... \leq i_i\leq m} |\bigcap_{j=1}^k H_{m-1,i_j}|[/latex]$

Ich hoffe mal, dass bis hierher alles noch richtig ist. Aber dann komme ich mit der Auswertung der Schnittmenge nicht klar. Du versuchst wohl den Ausdruck schrittweise zu reduzieren. Aber dann müsste man ja jetzt irgendwie mit Induktion an die Sache herangehen. Oder übersehe ich da etwas.

17.07.2010, 19:08

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mathchild

Habe erst jetzt deinen letzten Beitrag so ganz bis in alle Einzelheiten studiert. Also muss man die Durchschnitte mit Induktion bearbeiten, wobei im Index Mengen verwendet werden. Das klingt wirklich ganz schön verzwickt. Wobei die resultierende Formel dann erstaunlich einfach ausfällt.

17.07.2010, 19:15

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AD

Das sind ja gerade die Hauptanwendungsfälle der Siebformel: Wo die Durchschnitte (genauer gesagt deren Mächtigkeiten bzw. Wahrscheinlichkeiten) einfach berechenbar sind, ganz im Gegensatz zu den im Endeffekt interessierenden Vereinigungen - siehe z.B. auch Wichtelproblem.

17.07.2010, 21:07

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mathchild

Ja und wie leitet man jetzt aus dem mit der Siebformel erhaltenen Ausdruck die Lösung der Aufgabe ab? Also das schrittweise Vorgehen von Huggy zum Behandeln der Durchschnitte verstehe ich ja, aber die Induktion kriege ich nicht hin.

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