Anfangswertproblem?

12.07.2010, 17:41

bandchef

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Anfangswertproblem?

Hi Leute!

Ich hab folgende Aufgabe gegeben: Lösen sie das AWP gegeben durch $\begin{eqnarray*} y'+y*cos(x)=sin(x)*cos(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y(0)=1 \end{eqnarray*}$

Wenn ich hier jetzt mal soweit zusammenfasse komme ich auf das hier: $\begin{eqnarray*} y'=cos(x)*(sin(x)-y) \end{eqnarray*}$

Jetzt kann ich aber die Variablen nicht so trennen, wie es der "Satz" "trennung der Variablen" eigentlich vorsieht. Was mache ich jetzt? Könnt ihr mir weiterhelfen?

12.07.2010, 17:58

Mulder

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RE: Anfangswertproblem?

Zitat:

Original von bandchef
Jetzt kann ich aber die Variablen nicht so trennen, wie es der "Satz" "trennung der Variablen" eigentlich vorsieht. Was mache ich jetzt?

Variation der Konstanten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.07.2010, 18:02

bandchef

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Sorry aber das kenne ich nicht

12.07.2010, 18:23

bandchef

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Was versteht man denn unter einer "Variation der Konstanten"?

12.07.2010, 18:39

bandchef

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Kann mir keiner wetierhelfen?

12.07.2010, 19:03

bandchef

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Ich hab mich jetzt noch weiter informiert und auf eine vielleicht hilfreiche anleitung gestoßen.

Ich hab jetzt das hier stehen:

$\begin{eqnarray*} c'(x)*e^{-sin(x)}+2cos(x)+c(x)*e^{-sin(x)}=sin(x)*cos(x) \end{eqnarray*}$

Leider weiß ich jetzt nicht mehr weiter... Könnt ihr mir helfen?

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12.07.2010, 19:22

Mulder

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Das ist falsch. Es sieht sehr danach aus, als hättest du das homogene Problem richtig gelöst (das wiederum ging dann ja auch wieder mit Trennung der Variablen), aber du wirst dann danach falsch in die DGL eingesetzt oder falsch umgeformt haben.

Also, wie lautet die Lösung für das homogene Problem (damit es nochmal dasteht)? Was ist der Ansatz für das inhomogene Problem? Wie sieht die Ableitung davon aus? Und wie sieht das dann aus, wenn du es in die DGL einsetzt?

Ich finde es befremdlich, dass du diese Aufgabe lösen sollst, aber noch nie etwas von VdK gehört hast. Vielleicht geht es hier ja irgendwie anders (durch eine Substitution oder so), aber im Moment sehe ich keine andere Möglichkeit...

12.07.2010, 19:53

bandchef

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Ich hab da stehen:

$\begin{eqnarray*} y(x)=c(x)*e^{-\int \! cos(x) \, dx} \end{eqnarray*}$

das hab ich dann in die DGL der umgestellten Form $\begin{eqnarray*} y'+cos(x)*y=sin(x)*cos(x) \end{eqnarray*}$ eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \left(c(x)*e^{-\int \! cos(x) \, dx}\right)'+cos(x)*c(x)*e^{-\int \! cos(x) \, dx}=sin(x)*cos(x) \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste ich ja nur noch die Klammer ableiten (erst integrieren und dann Produkregel?) und dann alles soweit zusammenfassen, oder? Wie gehts dann weiter?

12.07.2010, 19:57

Mulder

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Sieht gut aus bis hierhin. Freude

Freude

Jetzt links die Klammer noch ableiten und dann zusammenfassen, ja. Dabei wirst du wohl einen Fehler gemacht haben. Denn es wird sich eine ganze Menge wegkürzen, wenn du es richtig machst.

12.07.2010, 20:09

bandchef

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Zur ableitung der Klammer: Damit ich ableiten kann, muss ich ja die Produkregel anwenden, vorher aber noch den exponenten der e-Fkt. integrieren. Wenn ich diese nun integriere, dann bekomm ich ja eigentlich auch noch eine konstanten c. muss ich die mit hinschreiben?

12.07.2010, 20:15

bandchef

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Ich hab jetzt einfach mal "mathematisch richtig" gehandelt und die Konstanten mit hingeschrieben. Und es hat sich wirklich die hälfte weggekürzt! Jetzt sieht's so aus:

$\begin{eqnarray*} c'(x)*e^{-\int \! cos(x) \, dx}=sin(x)*cos(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c'(x)*e^{-sin(x)+c}=sin(x)*cos(x) \end{eqnarray*}$

Wie gehts jetzt weiter?

12.07.2010, 20:19

Mulder

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RE: Anfangswertproblem?

Zitat:

Original von bandchef
$\begin{eqnarray*} c'(x)*e^{-\int \! cos(x) \, dx}=sin(x)*cos(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c'(x)*e^{-sin(x)+c}=sin(x)*cos(x) \end{eqnarray*}$

Vorsicht, das +c, das du da jetzt im Exponenten der e-Funktion dazugepackt hast, darf da nicht hin! Das steckt schon in dem c(x) drin! Schau dir die Vorgehensweise nochmal genau an (Wikipedia erklärt das alles ganz gut). Das +c im Exponenten muss weg, sonst stimmt es.

Und dann... nunja, unser Ziel ist es ja, c(x) zu bestimmen. Was könnte man also machen?

12.07.2010, 20:20

bandchef

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Ich frage mich gerade die ganze Zeit was mich jetzt eigentlich interessiert zu wissen. Da ich ja das c(x) einfach "eingefügt" habe, könnte ich ja jetzt quasi c'(x) isolieren und auf c(x) integrieren, oder?

12.07.2010, 20:21

bandchef

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Das würde dann so aussehen:

$\begin{eqnarray*} c(x)=\int \! \frac{sin(x)*cos(x)}{e^{-sin(x)}} \, dx \end{eqnarray*}$

Ist das korrekt?

12.07.2010, 20:25

bandchef

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Diesen Prügelterm nun allerdings von Hand zu integrieren, ist für mich (fast) unlösbar... Kann man den Term vor der Integration noch vereinfachen?

12.07.2010, 20:26

Mulder

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Genau, lös nach c'(x) auf und integriere dann. So erhälst du c(x). Das wollen wir ja haben. Nochmal:

Die Lösungsmenge für das homogene Problem sind alle Funktionen der Form

$\begin{eqnarray*} y_H = ce^{-\sin(x)} \end{eqnarray*}$

mit einem konstanten c. So, nun macht man das, was eigentlich namensgebend für diese Methode ist: Wir lassen die Konstante c variieren und machen aus ihr eine nichtkonstante Funktion c(x). Das ist der Ansatz, um die inhomogene DGL zu lösen.

Warum? Wenn c nicht mehr konstant ist, dann ist man beim Ableiten plötzlich auf die Produktregel angewiesen. Dadurch entsteht gegenüber der homogenen Lösung mit konstantem c beim Ableiten ein zweiter Summand. Bei der homogenen Lösung oben hingegen bleibt das konstante c durch die Faktorregel einfach erhalten.

So, und dieser zweite Summand, der beim Ableiten dazukommt, den wollen wir so beschaffen, dass es genau passt und mit dem c(x) die inhomogene DGL gelöst wird. Darum machen wir den ganzen Quatsch.

12.07.2010, 20:30

bandchef

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Ok, das war schon mal sehr aufschlussreich. Ich hab jetzt allerdings wirklich Probleme, die das übrigbleibende Integral $\begin{eqnarray*} c(x)=\int \! \frac{sin(x)*cos(x)}{e^{-sin(x)}} \, dx \end{eqnarray*}$ zu integrieren. wie gehe ich da am besten vor? Soll ich es mit part. Integration versuchen?

12.07.2010, 20:32

Mulder

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Das sieht viel komplizierter aus, als es eigentlich ist. Substituiere mal

$\begin{eqnarray*} \sin(x)=t \end{eqnarray*}$

, dann wird das schon mal viiiieeel humaner. Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.07.2010, 20:38

bandchef

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Cool!

Nach der Subs. steht jetzt da:

$\begin{eqnarray*} [latex]c(x)=\int \! \frac{t)}{e^{-sin(x)}} \, dt \end{eqnarray*}$ [/latex]

Jetzt kann ich wahrscheinlich part. integrieren, oder?

12.07.2010, 20:40

Mulder

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Was ist denn mit dem Exponenten der e-Funktion? Da steckt auch ein Sinus drin. Warum hast du den weggelassen? verwirrt

verwirrt

x muss vollständig ersetzt werden, überall!

12.07.2010, 20:41

bandchef

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Tja, Entschuldigung; das war wohl Unachtsamkeit meinerseits!

12.07.2010, 20:50

bandchef

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Ich komm da jetzt auf (das is jetzt noch vor der Resub):

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^{-t}}*\frac{1}{2}t^2-\frac{1}{6}t^3*e^t=e^t(\frac{1}{2}t^2-\frac{1}{6}t^3) \end{eqnarray*}$

12.07.2010, 20:55

Mulder

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Das ist nun wirklich völlig daneben. Vielleicht solltest du erstmal den lästigen Bruch beseitigen:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{t}{e^{-t}} \, \dd t = \int t \cdot e^t \, \dd t \end{eqnarray*}$

Und dann wähle f' und g genau andersrum, als du es getan hast.

12.07.2010, 21:00

bandchef

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Stimmts so?

$\begin{eqnarray*} c(x)=e^t(t-1) \end{eqnarray*}$

12.07.2010, 21:03

Mulder

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Zitat:

Original von bandchef
Stimmts so?

$\begin{eqnarray*} c(x)=e^t(t-1) \end{eqnarray*}$

Vorher rücksubstituieren! Ein c(x), das aber nur von t abhängt, ist etwas sinnfrei in diesem Fall.

Und nicht die Integrationskonstante vergessen!

12.07.2010, 21:04

bandchef

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Resub: $\begin{eqnarray*} e^{sin(x)}(sin(x)-1) \end{eqnarray*}$

Nun hab ich c(x) ermittel. Wo muss ich jetzt weiter ansetzen?

12.07.2010, 21:08

Mulder

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Vergiss nicht die Integrationskonstante, sonst fällst du auf die Schnauze!

$\begin{eqnarray*} c(x) = e^{\sin(x)}(\sin(x)-1) + D \end{eqnarray*}$

Jetzt bist du im Prinzip fertig. Setz das ein, wie sieht die vollständige Lösung der inhomogenen DGL aus? Danach bestimmst du das D so, dass auch der Anfangswert hinhaut. Fertig.

12.07.2010, 21:17

bandchef

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Ich muss jetzt $\begin{eqnarray*} c(x) = e^{\sin(x)}(\sin(x)-1) + D \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} y(x)=c(x)*e^{-\int \! cos(x) \, dx} \end{eqnarray*}$ einsetzen, oder?

12.07.2010, 21:19

bandchef

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Das sieht dann so aus:

$\begin{eqnarray*} y(x)=(e^{\sin(x)}(\sin(x)-1) + D)*e^{-sin(x)} \end{eqnarray*}$

12.07.2010, 21:21

Mulder

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Ja. Weiter vereinfachen.

12.07.2010, 21:21

bandchef

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Darf ich anstatt dem $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ als Konstante auch ein $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ schreiben?

12.07.2010, 21:23

Mulder

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Zitat:

Original von bandchef
Darf ich anstatt dem $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ als Konstante auch ein $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ schreiben?

Du kannst die Konstante auch Anton nennen, das ist doch völlig egal. ich hatte es vorhin nur D genannt, weil das c schon durch das c(x) belegt war.

12.07.2010, 21:24

bandchef

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Ich hab jetzt als Endergebnis:

$\begin{eqnarray*} y(x)=(sin(x)-1)+D*e^{-sin(x)} \end{eqnarray*}$

Jetzt noch meine Werte für das gegeben AWP einsetzen und ich bin fertig oder?

12.07.2010, 21:24

Mulder

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Ja.

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