negativen Radikanden [Negative Wurzel?]

13.07.2010, 14:46

bandchef

negativen Radikanden [Negative Wurzel?]

Hi Leute!

Ich soll $\begin{eqnarray*} \sqrt{-36} \end{eqnarray*}$ berechnen. Mir ist klar, dass das nur Komplex geht. Ich habe schon den Betrag davon berechnet. Der lautet: $\begin{eqnarray*} |z|=\sqrt{(-36)^2+0^2}=36 \end{eqnarray*}$ .

Ich weiß auch, dass $\begin{eqnarray*} z=(|z|*e^{j\phi})^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ ist. Mir gehts nun um den Winkel $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ . Ich habe mir zur Berechnung des Winkels das "komplexe KS" hingezeichnet. die imaginäre Achse ist ja gleich 0 und die reelle Achse ist ja -36. $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ist ja eigentlich $\begin{eqnarray*} arctan(\frac{Im}{Re})=arctan(\frac{0}{-36}) \end{eqnarray*}$ . Nun mein Problem: Ich weiß jetzt ja eigentlich nicht in welchem Quadranten ich mich in meinem KS befinde; ich befinde mich ja quasi dazwischen, oder? Ich habe herausgefunden, wenn ich nun $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ zum arctan() addiere, komme ich auf das richtige Ergebnis. $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ addiert man aber allerdings nur, wenn man sich im zweiten Quadranten befindet...; da ich aber irgendwie nicht weiß in welchem Quadranten ich mich befinde wird das jetzt irgendwie schwierig für mich! Könnt ihr mir helfen?

13.07.2010, 14:57

klarsoweit

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RE: Negative Wurzel?

Zitat:

Original von bandchef
Ich weiß auch, dass $\begin{eqnarray*} z=(|z|*e^{j\phi})^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ ist.

Die Formel ist in dieser Form Unfug.

Nun zu deiner Frage: es geht doch im Grunde um den Winkel zwischen der positiven und der negativen Koordinatenachse. Und der ist schlicht und einfach pi. Da braucht man keinen arctan, Quadranten oder sonstwas bemühen.

13.07.2010, 16:08

bandchef

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Zitat:

Die Formel ist in dieser Form Unfug.

Kannst du mir sagen warum sie in dieser Form unfug ist?

Ist es kein Unfug mehr wenn ich schreibe: $\begin{eqnarray*} z=\sqrt{|z|*e^{j\phi}} \end{eqnarray*}$ ?

Hier bei meinem Fall ist ja die Re-Achse des KS <0 und die Im-Achse des KS =0.

Was ist nun der Winkel wenn die Re-Achse des KS >0 und die Im-Achse nachwievor =0 ist? Ist der Winkel dann $\begin{eqnarray*} -\pi \end{eqnarray*}$ ?

13.07.2010, 18:09

Leopold

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Vielleicht sollte man einmal festhalten, daß es nicht um eine negative Wurzel, sondern um einen negativen Radikanden geht. Das gedankliche Ineinssetzen von Ein- und Ausgabe ist ein Quelle für schwerwiegende Fehler. Bitte den Titel ändern.

13.07.2010, 20:21

bandchef

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Wie sieht's jetzt mit der Beantwortung meiner Frage aus?

Stimmt nun im pos. Bereich der Re-Achse, dass da dann $\begin{eqnarray*} -\pi \end{eqnarray*}$ gilt?

14.07.2010, 09:08

klarsoweit

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Zitat:

Original von bandchef
Stimmt nun im pos. Bereich der Re-Achse, dass da dann $\begin{eqnarray*} -\pi \end{eqnarray*}$ gilt?

Kannst du die Frage so formulieren, daß man halbwegs versteht, was du fragen willst?

Im Grunde geht es um die Lösungen von der Gleichung z² = -36. Was hindert dich, dazu mal die einschlägige Fachliteratur zu befragen, beispielsweise http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_%28M...omplexen_Zahlen ?

14.07.2010, 09:37

bandchef

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Wenn ich die 2. Wurzel aus der negativen Zahl -36 ziehe, dann ist mein Winkel den ich in der e-Fkt. hab $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ .

Meine erste Frage: Warum ist das so, da ich mich ja quasi zwischen dem 2. und 3. Quadranten befinde und ich somit nicht weiß welchen Winkel ich benutzen muss. Mir ist eben nur aufgefalen, dass das richtige Ergebnis rauskommt, wenn ich den Winkel des zweiten Quadranten benutze.

Zitat:

Original von klarsoweit es geht doch im Grunde um den Winkel zwischen der positiven und der negativen Koordinatenachse. Und der ist schlicht und einfach pi. Da braucht man keinen arctan, Quadranten oder sonstwas bemühen.

Das hab ich leider nicht verstanden...

Meine 2. Frage:
Wenn ich nun aber die 2. Wurzel aus der positiven Zahl 36 ziehen möchte ist das natrürlich 6. Aber: Welchem Winkel entspricht dies dann? Wahrscheinlich 0, da dann die e-Fkt. 1 wird und keinen Beitrag mehr liefert. Stimmt das jetzt so?

14.07.2010, 09:54

klarsoweit

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Eine grundsätzliche Anmerkung: innerhalb der komplexen Zahlen kann man eigentlich keine Wurzeln ziehen, da diese nicht eindeutig bestimmt ist. Man kann allenfalls Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray*} x^n = z \end{eqnarray*}$ bestimmen. Insofern wundert micht etwas die Aufgabenstellung.

Jetzt zu der Frage, wie man an den Winkel kommt: zeichne die komplexe Zahl z = a + b*i in die komplexe Zahlenebene. Jetzt brauchst du nur den Winkel zwischen den Strecken $\begin{eqnarray*} \overline{(0, 0), (1,0)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline{(0, 0), (a,b)} \end{eqnarray*}$ . Für b=0 und a > 0 ist der Winkel Null und für b=0 und a < 0 ist der Winkel pi. Das kann dir aber jeder Mittelstufenschüler erklären.

14.07.2010, 11:02

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@bandchef

Das Grundübel ist, dass für die Umrechnung $\begin{eqnarray*} a+bi = re^{i\varphi} \end{eqnarray*}$ in die Polardarstellung die Winkelformel

$\begin{eqnarray*} \varphi = \arctan\left( \frac{b}{a} \right) \end{eqnarray*}$

im Fall $\begin{eqnarray*} a<0 \end{eqnarray*}$ einfach nicht stimmt. Wenn man es mit $\begin{eqnarray*} \arctan \end{eqnarray*}$ ausdrücken will, dann über Fallunterscheidung

$\begin{eqnarray*} \varphi = \begin{cases}\arctan\displaystyle\frac{b}{a}&\;\mbox{für}\,a>0\;\mbox{(1.+4.Quadrant + positive reelle Achse)}\\[4mm] \pi+\arctan\displaystyle\frac{b}{a}&\;\mbox{für}\,a<0,\,b\geq 0\;\mbox{(2.Quadrant + negative reelle Achse)}\\[4mm] -\pi+\arctan\displaystyle\frac{b}{a}&\;\mbox{für}\,a<0,b<0\;\mbox{(3.Quadrant)}\\[4mm] \displaystyle\frac{\pi}{2}&\;\mbox{für}\,a=0,\,b>0\\[4mm] -\displaystyle\frac{\pi}{2}&\;\mbox{für}\,a=0,\,b<0\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Das ganze gilt, wenn man den Winkel $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ im Bereich $\begin{eqnarray*} (-\pi,\pi] \end{eqnarray*}$ haben will. Sollte man $\begin{eqnarray*} [0,2\pi) \end{eqnarray*}$ bevorzugen, dann sieht die Fallunterscheidung leicht anders aus.

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