Gruppe

13.07.2010, 15:48

Studi2010

Gruppe

Hallo

also im prinzip hab ich das thema gruppe verstanden. ich weiß wie die gruppenaxiome gehen und so. aber bei dieser aufgabe musste ich wirklich stocken. vllt könnt ihr mir ja weiterhelfen?!
los gehts:

Es sei c > 0 eine Konstante, z.B. die Höchstgeschwindigkeit auf Strassen
innerhalb geschlossener Ortschaften im Saarland. Auf dem Intervall (-c; c)
wird eine Addition $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ durch

a $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ b= $\begin{eqnarray*} \frac{a+b}{1+\frac{ab}{c^{2}} } \end{eqnarray*}$

erklärt. welche gruppenaxiome gelten? ist es eine abelsche gruppe?

meine anfänge:

also beim neutralen element kann ich ja einfach den oben geschriebenen bruch nehmen und schauen, wann er sich nicht ändert, wenn ich etwas dazuaddiere. das wäre dann hier die 0.
das inverse element ist der kehrbruch, da ich durch multiplikation dann 1 erhalte. beim assoziativgesetz und beim kommutativgesetz weiß ich nicht, wie ich das anwenden soll.
wäre dankbar um hilfe

liebe grüße

13.07.2010, 17:22

Leopold

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RE: Gruppe

Zitat:

Original von Studi2010
Es sei c > 0 eine Konstante, z.B. die Höchstgeschwindigkeit auf Strassen
innerhalb geschlossener Ortschaften im Saarland.

Zumindest hat der Aufgabensteller einen subtilen Humor. Ob die Saarländer tatsächlich mit Lichtgeschwindigkeit über ihre Straßen ziehen? (Wer Honecker und Lafontaine hervorgebracht hat, dem könnte man auch das zutrauen.)

In der Aufgabe hast du mehrere Dinge zu erledigen:

1. Zunächst ist gar nicht klar, ob $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ tatsächlich eine Operation auf $\begin{eqnarray*} G = (-c,c) \end{eqnarray*}$ ist, ob also

$\begin{eqnarray*} \oplus: \ G \times G \to G \end{eqnarray*}$

gilt. Das wäre noch zu überprüfen.

2. Die Kommutativität der Operation ist offensichtlich (warum?).

3. Daß 0 (die reelle Null) ein neutrales Element ist, stimmt. Das hast du selbst bereits herausgefunden.

4. Die Sache mit dem Kehrbruch stimmt nicht. Wenn $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ das Inverse von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ sein soll, muß ja

$\begin{eqnarray*} x \oplus y = 0 \end{eqnarray*}$

gelten. Man sieht eigentlich sofort, wie man $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ zu wählen hat.

5. Bei der Assoziativität hast du die Terme $\begin{eqnarray*} (x \oplus y) \oplus z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \oplus (y \oplus z) \end{eqnarray*}$ miteinander zu vergleichen. Wenn mein CAS richtig gerechnet hat, liefern beide Ausdrücke

$\begin{eqnarray*} \frac{xyz + (x+y+z)c^2}{xy + yz + zx +c^2} \end{eqnarray*}$

14.07.2010, 14:29

studi2010

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ohje klar stimmt das nich. wir sind ja in der addition^^
das mit dem assoziativgesetz is mir jetzt klar. is ja nur bisschen schreibarbeit. und das kommutativgesetz is ja auch ganz einfach. ich muss nur mal die augen aufmachen Big Laugh

vielen dank fürs "pieksen"

14.07.2010, 20:56

Leopold

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Am schwierigsten finde ich den Nachweis der Abgeschlossenheit von $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ . Mir hat er jedenfalls einige Mühe bereitet. Aber vielleicht habe ich ja auch den kurzen Weg nur nicht gesehen.

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