Gewinnfunktion Ableitung mit 2 Variablen

13.07.2010, 20:29	Stecknadel	Auf diesen Beitrag antworten »
Gewinnfunktion Ableitung mit 2 Variablen Meine Frage: Hallo da draußen, wahrscheinlich ist es sehr einfach, aber ich wäre für eine gute Erklärung wirklich sehr dankbar. ich habe folgende Gewinnfunktion mit 2 verschiedenen Gütern: pi = -2x^2 - 2xy - 2y^2 + 36 x + 42y - 158 Es sind die Extremwerte zu ermitteln. Die Ableitungen dazu sind pi ' (x) = - 4x - 2y + 36 = 0 pi ' (y) = - 2x - 4x + 42 = 0 Bei einer Variablen weiß ich, wie man die Ableitung bilder aber hier verstehe ich nicht... .. warum man 2 Ableitungen jeweils für x und y bildet und ...wie man auf diese kommt. Ist für mich nicht schlüssig :/. Meine Ideen: Wenn man ? ' (x) nach x auflöst erhält man x = 9 + 0,5 y und setzt das in die andere Ableitung ein, sodass man y = 8 und x = 5 erhält. Bitte helft mir, nach welcher allgemeinen REgel man da vorgeht! 1000 Dank und liebe Grüße Stecknadel
13.07.2010, 23:15	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gewinnfunktion Ableitung mit 2 Variablen Es wundert mich, dass wenn dir diese Funktion gegeben ist, du anscheinend noch nichts von partiellen Ableitungen gehört hast? Auch der Begriff Gradient scheint dir nicht geläufig zu sein. Diese solltest du nun einmal nachschlagen. Dass der Gradient dann gleich dem Nullvektor ist, ist eine notwendige Bedingung für einen lokalen Extremwert auf dem IR² Kommen noch Forderungen an x und y hinzu, Boardsuche: Lagrange. Es gab in letzter Zeit viele Aufgaben dazu.
14.07.2010, 10:38	Stecknadel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gewinnfunktion Ableitung mit 2 Variablen Hallo Tigerbine, danke für deine Hinweise! Das ist ein Teil einer VWL- Aufgabe und ich konnte zu der Übung leider nicht da sein.. Schul- Ableitungen sind leider schon zu lange her . Also ich hab mich jetzt weiter informiert und verstehe, dass ich bei partiellen Ableitungen die 2. variable als konstant annehme und sie bei der Extremwertberechnung in der Ableitung null setze... (ja.. ?!) . Wenn ein Term der Funktion beide variablen enthält, wie 2xy, dann ist y mein b, was einfach so bleibt wie es ist. ABER: ich verstehe nicht, wie bei der Ableitung nach y - 4x . Ich hätte an der STelle - 4 y Du hattest außerdem die Lagrange- Methode erwähnt. Dazu brauch ich doch Nebenbedingungen, die hier doch höchstens sein könnten, dass x und y größer Null sein müssen, aber wie bring ich das denn da rein? danke danke danke für die Hilfe. lg Stecknadel
14.07.2010, 14:22	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gewinnfunktion Ableitung mit 2 Variablen Fangen wir mal an, das ordentlich hinzuschreiben. $\begin{eqnarray} f(x,y):= -2x^2 - 2xy - 2y^2 + 36 x + 42y - 158 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)= -4x - 2y + 36 \stackrel{!} =0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)= - 2x - 4y + 42 \stackrel{!} =0 \end{eqnarray}$ Keine Angst vor der Schreibweise. Wir müssen eben symbolisch ausdrücken, wonach wir ableiten. Es gibt auch kürzere Schreibweisen, auf die ich nun aber nicht eingehen will. Nun ist die Forderung !=0 hier sehr leicht zu lösen. Es ist ja einfach nur ein LGS. Daher, löse es und prüfe dann, ob die Lösung nichtnegativ ist. Danach mußt du mit der Hessematrix prüfen, ob Min, Max.
14.07.2010, 16:27	Stecknadel	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Extrempunkte hab ich doch schon, das ist ja auch nicht mein Problem, erfreulicherweise . Ich weiß nur nicht, wie man bei der Ableitung von y auf die - 4x kommt ..... .
14.07.2010, 16:37	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
weil -2x² abgeleitet nach x eben -22x = -4x ist ?
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