Integration 1/x

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15.07.2010, 11:46	Aisbaer	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration 1/x Hallo, hab folgendes Problem. Und zwar muss ich irgendwie erklären warum Stammfuntion von 1/x der lnx ist. (Brauch des für ein Referat) Ich besuche die BOS 12. Jetzt hat mein Lehrer gesagt auf dem Gymnasium lernt man das und es steht bei denen in den Büchern. Kann mir da irgendwer helfen? Weil hab dieses Mathebuch vom Gymnasium leider nicht. Und finde dazu auch im Internet nichts. Schonmal Vielen Dank im Vorraus mfg Aisbaer
15.07.2010, 12:36	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration 1/x Leite beidseits ab: $\begin{eqnarray} x = e^{ln x} \end{eqnarray}$
15.07.2010, 13:03	Aisbaer	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 1 = 1/x e^{lnx} \end{eqnarray*}$ => 1=1 aber was hat des jetz mit 1/x zu tun? und vorallem wo ist die erklärung dazu?
15.07.2010, 13:46	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
Du wolltest doch zeigen, dass (ln x)' = 1/x ist. Genau diese Tatsache hast du nun aber benützt. Das bringt natürlich nichts. Ich meinte, dass aus $\begin{eqnarray} x = e^{ln x} \end{eqnarray}$ folgt: $\begin{eqnarray} 1 = e^{ln x} \cdot (ln x)' \end{eqnarray}$ Setzt man nun hier wieder $\begin{eqnarray} x = e^{ln x} \end{eqnarray}$ ein, so hat man: $\begin{eqnarray} 1 = x \cdot (ln x)' \end{eqnarray}$ , woraus dann bewiesenermassen folgt: $\begin{eqnarray} 1/x = (ln x)' \end{eqnarray}$ Man hat damit bewiesen, dass ln x Stammfunktion von 1/x ist.
15.07.2010, 13:55	Aisbaer	Auf diesen Beitrag antworten »
ach ok jetz verstehe ich... schonmal vielen dank :-) aber gibts es auch so ne art einfache herleitung? oder einfache erklärung wie man dadrauf gekommen ist?
15.07.2010, 14:01	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
Um ln x ableiten zu können, muss man wissen, wie ln x definiert ist. Die kürzeste Form der Definition von ln x ist x = e^ln x.
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15.07.2010, 14:50	Aisbaer	Auf diesen Beitrag antworten »
ok vielen dank. noch ne kurze andere frage: warum hat lnx bei x= 1 ne nullstelle wenn es die stammfunktion von 1/x ist liet das irgendwie daran das man des einfach so festgelegt hat?
15.07.2010, 15:08	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist Definitionssache. Aus x = e^ln x folgt mit x=1 1 = e^ln 1. Andrerseits ist 1 = e^0. Also ln 1 = 0. (Hätte man allerdings ln x bloss als (irgend-) eine Stammfunktion von 1/x für x>0 definiert, dann wäre die Nullstelle offen (bzw. wählbar) geblieben: Sie hätte dann die Integrationskonstante «vertreten».)
15.07.2010, 16:20	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Bisher sprichst du nur über positive $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ . In deinem Referat solltest du sicher auch darauf eingehen, wie die Stammfunktion(en) von $\begin{eqnarray} \frac{1}{x} \end{eqnarray}$ für negative $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ aussehen...
15.07.2010, 17:22	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, ich soll das nicht. Die Frage war: Warum ist ln x Stammfunktion von 1/x? Explizit nur das.
15.07.2010, 21:32	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
@wisili Eigentlich habe ich mit dem Threadersteller geredet. Entschuldigung, ich wusste nicht, dass du auch ein Referat über dieses Thema halten willst.
17.07.2010, 10:08	Aisbaer	Auf diesen Beitrag antworten »
deshalb ist doch die Stammfunktion von 1/x der Betrag von x also : ln \|x\| oder? oder was sollte man dazu sagen? würde mich über ne Antwort freuen :-) vielen dank schonmal
18.07.2010, 21:19	Aisbaer	Auf diesen Beitrag antworten »
könnt sich dazu noch bitte jemand ganz kurz äussern? also wie Stammfunktionen von 1/x für negative x aussehen
24.07.2010, 17:11	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
Stammfunktionen von f(x) = 1/x sind $\begin{eqnarray} F(x)=\begin{cases} ln(x) + c_1, & \text{wenn }x>0<br /> ln(-x) + c_2, & \text{wenn }x<0<br /> \end{cases} \end{eqnarray}$ mit beliebigen Konstanten $\begin{eqnarray} c_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c_2 \end{eqnarray}$ . (Bei gleichen Konstanten resultiert der Spezialfall F(x) = ln\|x\| + c.)

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