ggt von komplexen Zahlen |
| 15.07.2010, 14:52 | edi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| ggt von komplexen Zahlen Berechnen Sie z=ggt(4+22i,5i-1) in Z[i] und eine Linearkombination x(4+22i)+y(5i-1)=z Meine Ideen: Ich habe den ggt bereits ermittelt: ggt(4+22i,5i-1)=1-i. Ich weiß aber nicht wie ich auf die Linearkombination komme. |
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| 15.07.2010, 15:16 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: ggt von komplexen Zahlen Löse x(4+22i)+y(5i-1)=1-i. (Vergleiche je Real- und Imaginärteil.) |
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| 15.07.2010, 15:42 | edi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: ggt von komplexen Zahlen ich komme i-wie nicht drauf für x=2 und y=9 ist man zwar nah dran aber es stimmt nicht.... |
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| 15.07.2010, 16:26 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mein Mathematica liefert für den GGT aber anstatt . |
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| 15.07.2010, 16:28 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: ggt von komplexen Zahlen Ich bekomme x=2/21, y=-13/21. Aber ich habe dummerweise nicht rückgefragt, welchem Zahlbereich x und y entstammen sollen; meine Lösung gilt nur für die reelle Zahlmenge. Du suchst womöglich die Lösung in der Gauss'schen Zahlmenge (komplex-ganzzahlig). Diese lässt sich aus dem Algorithmus, der dich zum ggT geführt hat, konstruieren. @system-agent Der ggT ist im Gauss'schen Zahlring nicht eindeutig. |
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| 15.07.2010, 16:44 | edi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: ggt von komplexen Zahlen Sry, wenn ich das Ergebnis falsch angegeben habe. Ein Freund hatte jedoch auch das selbe Ergebnis, nichts gegen dein Mathematica 
.Ich muss wohl die Aufgabe erneut rechnen. Mal schauen was ich diesmal rausbekomme.... |
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| 15.07.2010, 16:48 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: ggt von komplexen Zahlen Du brauchst nicht zu rechnen. Beide Resultate sind richtig. Der ggT ist nicht eindeutig (s. assoziierte Zahlen). |
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| 15.07.2010, 18:02 | edi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: ggt von komplexen Zahlen Gibt es eine Vorgehensweise wie man x und y bestimmen kann oder muss man Zahlen einsetzen und vergleichen?? Danke für die Antworten Ihr seid eine große Hilfe. |
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| 15.07.2010, 18:10 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: ggt von komplexen Zahlen Beschreibe doch mal, wie du auf den ggT gekommen bist. (Das ist nämlich der Schlüssel zum Finden der Faktoren x und y.) |
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| 15.07.2010, 18:15 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Setze x=a+bi, y=c+di, dann ist (a+bi)(4+22i)+(c+di)(5i-1)=1-i . Das gibt durch Vergleich von Real- und Imaginärteil 2 lineare Gleichungen in a,b,c,d . Das LGS kannst du lösen, die Lösung ist offensichtlich nicht eindeutig. |
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| 15.07.2010, 18:21 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
edi sagt uns eben leider weder, dass die x, y komplex-ganzzahlig (Gauss'sche Zahlen) sein sollen und auch nicht, dass die Beträge vermutlich Schranken einhalten sollen (wie es der euklidische Divisionsalgorithmus erlaubt). |
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| 15.07.2010, 18:51 | edi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei der Aufgabenstellung stand in Klammern Gaußsche Zahlen. Ich habe gedacht für die Rechnung ist das nicht wichtig. sry. Also beim ggT dividiert man zwei Zahen angenommen a_0 / a_1. Dann erhält man einen Restwert= a_2. Dann dividiert man a_1/a_2 usw. bis a_n=0 ergibt. a_n-1 ist der ggT. Jetzt miuss man durch rückwärtseinsetzen die Koeffizienten bestimmen, glaube ich jedenfalls. Ich probier es mal aus. |
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| 15.07.2010, 19:23 | edi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hat nicht geklappt... |
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| 15.07.2010, 20:10 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sei also a0 = 4+22i und a1 = 5i-1. Wie berechnest du a2? |
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| 15.07.2010, 20:32 | edi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
a0 / a1 = q1 => a2=a0-(a1*q1) a1 / a2 = q2 => a3=a1-(a2*q2) a0/a1 =(4+22i)(-1-5i) / (-1+5i)(-1-5i) = 4-2i = q1 => a2 = a0-(a1*q1) = -2 a1/a2 =(-1+5i) / (-2) = (1-3i) => a3 = a1-(a2*a3) = 1-i a2/a3 =(-2)(1+i) / (1-i)(1+i) = -1-i => a4 = a2-(a3*a4) = 0 => ggT= 1-i |
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| 15.07.2010, 21:04 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke, damit kann ich nun zeigen, wie man zu x und y gelangt. (Die Ganzzahl-Rundungen bei q1 und q2 hast du verschwiegen!) Setzt man a2=a0-(a1*q1) ein in a3=a1-(a2*q2) so erhält man a3=a1-(a0-a1*q1)*q2 und vereinfacht ggT(a0,a1) = a3 = -q2*a0 +(1+q1*q2) a1 Somit ist x = -q2 und y = 1+q1*q2 |
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| 15.07.2010, 22:45 | edi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich danke dir wisili. Nun habe ich verstanden wie man solche Aufgaben löst. |
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| 24.11.2010, 15:20 | sorry_lb | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
sorry ich weiß, das thema ist jetzt schon etwas alt, aber ich sitze gerade an ähnlichem. wenn ich den ggt bestimmen will, muss ich doch die größere durch die kleinere teilen. da ich im komplexen bin und da ein größer und kleiner etwas schwierig ist, habe ich mir überlegt erst die Norm anzuschauen und somit einen vergleich zu haben... ist das unsinn? |
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| 24.11.2010, 15:38 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, das ist richtig. |
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| 24.11.2010, 15:46 | sorry_lb | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
super danke. aber wie jetzt weiter, wenn ich rechne wie oben, komme ich dann auf q´s mit rationalen "koeffizienten". nun runden... aber wie am besten? gibt es da ne regel? |
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| 24.11.2010, 15:55 | sorry_lb | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok hab´s 
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