Wahrscheinlichkeiten und Kreise

16.07.2010, 09:28	TasteLikeCrab	Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeiten und Kreise Hallo, Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass 3 unabhängig gleichverteilte Punkte auf einem Kreis ein Rechtwinkliges Dreieck bilden? Ideen? Danke
16.07.2010, 09:55	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeiten und Kreise Nach der Umkehrung des Satz des Thales müssen sich zwei der drei Punkte diametral gegenüberliegen. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist Null.
16.07.2010, 10:51	TasteLikeCrab	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeiten und Kreise Ok ist einzusehen, was ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass der Kreismittelpunkt im Dreieck liegt?
16.07.2010, 11:30	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeiten und Kreise Das Dreieck darf nicht stumpfwinklig sein. Damit lässt sich die Wahrscheinlichkeit leicht berechnen.
16.07.2010, 11:42	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
Woolhouse (1986)
16.07.2010, 11:46	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Link finde ich nicht ganz treffend. Hier liegen die Punkte gleichverteilt auf einer Kreislinie. Damit hat man wohldefinierte Wahrscheinlichkeiten.
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16.07.2010, 11:55	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
«Hier liegen die Punkte gleichverteilt auf einer Kreislinie» deckt sich mit «Woolhouse (1986) löste es mittels gleichförmig verteilter Punkte auf einem Einheitskreis und erhielt: 9/8 - 4/pi^2» Nachtrag: Aufgrund der Form des Ergebnisses vermute ich, dass Woolhouse die Kreisscheibe, nicht die -peripherie berücksichtigt hat. (Also hat Huggy mit seinem Zweifel doch recht.) Für die Kreisperipherie erhalte ich 3/4. Später Nachtrag (vgl. den nächsten Beitrag von Huggy, auf den ich antworte): Ja, ich habe (abgelenkt durch Woolhouse, der dasselbe anzielt) den stumpfwinkligen Fall berechnet; das Gegenereignis hat somit (Huggys Rechnung bestätigend) die Wahrscheinlichkeit 1/4.
18.07.2010, 08:35	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Da der Fragesteller sich nicht mehr meldet, das Problem aber ganz nett ist, hier noch die Lösung: Wenn drei Punkte unabhängig voneinander gleichverteilt auf dem Umfang eines Kreises angeordnet sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit P(M), dass sich der Mittelpunkt des Kreises innerhalb des Dreiecks liegt 1/4. Wislli hat wohl lediglich innerhalb und außerhalb getauscht. Seien P1, P2 und P3 die drei Punkte. Sei b der kleinere der beiden Kreisbögen zwischen P1 und P2 und $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ dessen Winkelausdehnung. $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ist dann gleichverteilt im Intervall $\begin{eqnarray} [0, \pi] \end{eqnarray}$ und hat daher die Dichtefunktion $\begin{eqnarray} f(\varphi)=\frac{1}{\pi} \end{eqnarray}$ Damit der Mittelpunkt des Kreises im Dreieck liegt, muss sich der Punkt P3 innerhalb des b diametral gegenüberliegenden Kreisbogens b' befinden, der ebenfalls die Winkelausdehnung $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ hat. Bei gegebenem $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ hat man daher die bedingte Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} P(M\|\varphi)=\frac{\varphi}{2\pi} \end{eqnarray}$ Damit erhält man $\begin{eqnarray} P(M)=\int_0^{\pi}P(M\|\varphi)f(\varphi)~d\varphi=\frac{1}{2\pi^2}\int_0^{\pi}\varphi~d\varphi=\frac{1}{4} \end{eqnarray}$ Befindet sich P3 auf einem Endpunkt von b', hat man ein rechtwinkliges Dreieck. Außerhalb von b' ist das Dreieck stumpfwinklig, innerhalb von b' spitzwinklig.

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