0-1-Gesetz von Kolmogorov

17.07.2010, 12:32

saz

0-1-Gesetz von Kolmogorov

... irgendwie habe ich mit dem obigen Gesetz so meine Anwendungsprobleme. Das Gesetz besagt ja, dass jedes terminale Ereignis die Wahrscheinlichkeit 0 oder 1 hat. Soweit so gut.
Wir haben z.B. die Aufgabe zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} (X_n) \end{eqnarray*}$ unabhängig $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim \sup X_n \end{eqnarray*}$ konstant

wobei $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ natürlich Zufallsgrößen sind.

Mein Problem dabei ist: Wenn ich gezeigt habe, dass das Ereignis, das lim sup $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ konstant ist, ein terminales Ereignis ist, weiß ich doch nur, dass die Wahrscheinlichkeit 0 oder 1 ist. Wie kann ich dann aber begründen, dass es tatsächlich eine Konstante gibt, sodass die Wahrscheinlichkeit 1 ist?

17.07.2010, 13:45

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Zitat:

Original von saz
$\begin{eqnarray*} (X_n) \end{eqnarray*}$ unabhängig $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim \sup X_n \end{eqnarray*}$ konstant

So geschrieben ist es auch falsch. Korrekt wäre die Variante

$\begin{eqnarray*} (X_n) \end{eqnarray*}$ unabhängig $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \exists C\in\mathbb{R}\cup\{\infty\}:\; P(\limsup_n X_n = C) = 1 \end{eqnarray*}$

Also zum einen nicht "sicher konstant", sondern nur "fast sicher konstant". Und zum anderen muss auch $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ als Limes Superior zugelassen werden.

17.07.2010, 14:50

saz

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Ja gut, da hast du natürlich recht. Dieses "fast sicher" denkt man sich ja mit der Zeit immer automatisch dazu Augenzwinkern

Ändert allerdings wenig an meinem Problem, dass ich nicht weiß, wie ich am Ende als Wahrscheinlichkeit 1 rausbekomme (und nicht "0 oder 1"). Dazu müsste ich ja zeigen, dass min. ein $\begin{eqnarray*} c \in \mathbb{R} \cup \{\infty\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mathbb{P}[\lim_n \sup X_n = c] > 0 \end{eqnarray*}$ existiert, oder?

20.07.2010, 19:41

fnsr21

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Wenn ich die Aufgabe richtig verstanden habe, hier eine Idee:

Eigentlich folgt das Ganze auch aus dem Kolmogorov'schen 0-1-Gesetz, denn Limes superior und inferior liegen in der terminalen $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra der $\begin{eqnarray*} (A_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ . Das ist relativ einfach zu zeigen.

20.07.2010, 21:35

saz

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Ja gut, aber damit kriegt man ja zunächst nur, dass das Ereignis

$\begin{eqnarray*} [\lim \sup X_n = c] \end{eqnarray*}$

in der terminalen $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra liegt, also dass

$\begin{eqnarray*} \mathbb{P}[\lim \sup X_n = c] \in \{0,1\} \end{eqnarray*}$ .

Und das heißt ja nicht, dass lim sup konstant ist. Aber ich hab's inzwischen auch hinbekommen Augenzwinkern

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