Dichte vom Produkt abhängiger Zufallsvariablen

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alephtwo Auf diesen Beitrag antworten »
Dichte vom Produkt abhängiger Zufallsvariablen
Meine Frage:
Mir ist bekannt, dass für 2 abhängige Zufallsvarablen X_1, X_2, die jeweils gleichverteilt auf einem Intervall [a, b] sind, die Dichte von [latex]Y = X_1 \cdot X_2[\latex] durch [latex]f_{X_1\cdot X_2}(y) = \int_{-\infty}^\infty \! \frac{1}{|x|} f_X(x, \frac{y}{x}) \, dx [\latex] mit der gemeinsamen Dichte [latex]f_X[\latex] geeben ist.
Wie kann ich nun konkret die Dichte [latex]f_{X_1\cdot X_2}(y)[\latex] ausrechnen?


Meine Ideen:
Wenn die Zufallsvariablen X_1 und X_2 unabhängig sind, so ist deren gemeinsame Verteilung durch [latex]f_X(y) = \frac{1}{(b-a)^2}[\latex] gegeben, richtig?

Dann lässt sich auch die Dichte von [latex]f_{X_1\cdot X_2}(y)[\latex] ausrechnen.
Wie ist das aber in dem Fall abhängiger X_1 und X_2, um weiter zu verfahren, bräuchte ich die gemeinsame Dichte. Wie rechne ich die aus?

Für jede Hilfe und Hinweis, bin ich dankbar.
Grüße,
Frank
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Die Information "abhängig" allein reicht bei weitem nicht aus, um diese Dichte zu bestimmen - du brauchst schon ein paar quantitative Informationen über diese Abhängigkeit. unglücklich
alephtwo Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, angenommen ich betrachte den Spezialfall, wo X_1 = X_2 ist.
Da gibt es zwar die Formel der Quadrierung auf mathematik.uni-ulm.de/stochastik/lehre/ws03_04/wr/skript/node37.html
allerdings interessiert mich die Möglichkeit, die in dem vorigen Post genannte Formel in diesen Spezialfall zu verwenden.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von alephtwo
allerdings interessiert mich die Möglichkeit, die in dem vorigen Post genannte Formel in diesen Spezialfall zu verwenden.

Das geht nicht - schlicht aus dem Grund, weil im Fall der zweidimensionale Zufallsvektor NICHT (absolut-)stetig verteilt ist, und damit auch keine gemeinsame Dichte im besitzen kann. unglücklich

Da musst du andere Wege finden, das auszurechnen, was hier dann natürlich problemlos über möglich ist.
alephtwo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Da musst du andere Wege finden, das auszurechnen, was hier dann natürlich problemlos über möglich ist.


Interessanter Gedanke, du meinst also durch Auflösen der Gleichungen der Erwartungswerte könnte ich die Dichte für X_1^2 errechnen?

Ich probier' das Mal.

Welche Informationen bräuchte ich generell zusätzlich neben den Randverteilungen, um auf eine gemeinsame Verteilung schließen zu können?
In der Faltungsformel beispielsweise, habe ich auch das Problem, dass eines der Argumente in der gemeinsamen Verteilung abhängig der anderen Argumente ist und ich zum Ausrechnen nur die Randverteilungen, nicht aber die gemeinsame Verteilung kenne.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von alephtwo
Interessanter Gedanke, du meinst also durch Auflösen der Gleichungen der Erwartungswerte könnte ich die Dichte für X_1^2 errechnen?

Nicht die Dichte - den Erwartungswert!

Die zweidimensionale Dichte existiert nicht - zum wiederholten Mal!
 
 
alephtwo Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, da hatte ich mich falsch ausgedrückt. Ich habe verstanden, dass die gemeinsame Dichte von X_1 =X_2 im R^2 nicht exisitert.
Soweit ich das sehe, ist der Erwartungswert allerdings nicht interessant für mich.

Das Bild der gemeinsamen Dichte bei abhängigen Variablen ist aber immer ein Vektor bestehend aus der Randdichten, oder?
So wäre zum Beispiel die gemeinsame Dichte in der Faltungsformel als Vektor zu interpretieren, für den ich die Ränder einzeln bestimmen müsste?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ja richtig, du willst die Dichte, nicht den Erwartungswert des Produktes - mein Fehler: Ist eben heiß heute. Big Laugh


Nun gut, auch das geht: Im Fall heißt das für die Verteilungsfunktion von im Fall :



und die Dichte dann durch Ableitung nach , dabei die Kettenregel beachten:

.

Wie ich schon sagte: Existiert eine solche gemeinsame Dichte nicht, musst du dir was anderes einfallen lassen. Augenzwinkern
alephtwo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent

.


Alles Klar Big Laugh

Wenn ich dies nun einen mehrdimensionalen Fall verwende, resultiert das für abhängige t_i in einem Vektor? Beispielsweise:
.

Mehr kann man da nicht machen, da die einzelnen t_i exemplarisch abhängig sind, oder?
Schonmal Vielen Dank Arthur!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von alephtwo
Wenn ich dies nun einen mehrdimensionalen Fall verwende, resultiert das für abhängige t_i in einem Vektor? Beispielsweise:


Ich hab keine Ahnung, was du da wie verallgemeinern willst, es sieht aber fürchterlich aus. unglücklich

Was auch immer das sein soll, es ist wahrscheinlich ein Fehlschluss.

Nochmal: Was ich da hergeleitet habe, betrifft ausschließlich die Dichte von im Spezialfall unter der Annahme, dass stetig verteilt ist.
alephtwo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Ich hab keine Ahnung, was du da wie verallgemeinern willst, es sieht aber fürchterlich aus. unglücklich

Sehe ich genauso.

Zitat:
Original von Arthur Dent
Nochmal: Was ich da hergeleitet habe, betrifft ausschließlich die Dichte von im Spezialfall unter der Annahme, dass stetig verteilt ist.


Das ist mir bewusst und völlig richtig.
Ich stelle mir die generelle Frage, wenn ich ein mehrdimensionaler Zufallsvektor T habe, von dem die einzelnen t_i abhängig voneinander sind und t_i eine Randdichte f_T hat. Dann kann ich die gemeinsame Dichte doch nicht genauer angeben, als dass die gemeinsame Dichte ein Vektor bestehend aus den einzelnen Randdichten ist.

Wie in dem Beispiel gerade eben, ist die gemeinsame Dichte ein Vektor von Randdichten, die ich nur seperat komponentenweise ausrechnen kann.

Im unabhängigen Fall wäre die gemeinsame Dichte das Produkt der Randdichten, was im abhängigen Fall nicht geht. Da bliebe mir nur die Darstellung als Vektor...
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist blanke Raterei, was du da machst. Finde dich damit ab, dass du im Falle fehlender Information die gemeinsame Dichte gar nicht anhand der Randverteilungsdichten angeben kannst. Ja, wie das obige Beispiel zeigt, muss es eine gemeinsame Dichte gar nicht geben!

Deine Schlüsse, die du da ziehst, zeugen von einer mir unverständlichen Unlogik. unglücklich
alephtwo Auf diesen Beitrag antworten »

OK.

Es geht mir da primär um die Darstellungsform als Vektor.

Was für fehlende Informationen könnten das prinzipiell sein? Hast du ansonsten vielleicht Literaturhinweise, die mir in diesem Thema hilfreich sein könnten?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Da wäre zum einen die gemeinsame Dichte selbst, so sie denn existiert.

Oder in Fällen wie oben direkte funktionale Zusammenhänge zwischen den Komponenten.

Oder eine Mischform von beiden, oder oder oder...

Es gibt keine Kochrezepte, die einem jegliches Denken abnehmen - man muss im Einzelfall schauen, was geht.
alephtwo Auf diesen Beitrag antworten »

Alles Klar.
Ich danke dir vielmals für deine Zeit und anregenden Hinweise!

Viele Grüße,
Frank
alephtwo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von AD
Das geht nicht - schlicht aus dem Grund, weil im Fall der zweidimensionale Zufallsvektor NICHT (absolut-)stetig verteilt ist, und damit auch keine gemeinsame Dichte im besitzen kann. unglücklich

Da musst du andere Wege finden, das auszurechnen, was hier dann natürlich problemlos über möglich ist.


Eine Sache verstehe ich daran allerdings nicht. Der Zufallsvektor ist sicher nicht stetig auf , da sich die negativen Zahlen nicht in als Wurzel in , darstellen lassen. Nun lässt sich aber jede nicht-negative Zahl in als Quadrat einer anderen Zahl aus darstellen. Somit wäre der Zufallsvektor doch stetig auf den nicht-negativen Zahlen.

Und unter Beibehaltung der gültigen Integralsgrenzen wäre der Spezialfall auf die allgemeine Formel anwendbar...
alephtwo Auf diesen Beitrag antworten »

sieht das jemand anders?
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast die obigen Argumentation von AD völlig missverstanden, da geht es nicht um Nichtnegativität, sondern um folgendes:

Der Zufallsvektor ist im Sonderfall auf der Gerade



konzentriert, d.h., es gibt . Andererseits ist diese Gerade aber eine -Nullmenge, d.h. sie hat das zweidimensionale Lebesguemaß . Damit ist das zu gehörende Verteilungsmaß NICHT absolutstetig bzgl. , und damit kann es in diesem Sonderfall auch keine Dichte von geben. unglücklich
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