lineare Abbildung mit Rang n-1?

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student8 Auf diesen Beitrag antworten »
lineare Abbildung mit Rang n-1?
Meine Frage:
Hallo alle zusammen,

ich habe ein großes Problem und ich hoffe ihr könntet mir einige Sachen zu linearen Abbildungen erklären, da ich gemerkt habe, dass ich sehr gr0ße Lücken habe und ich nächste woche eine Klausur schreibe. Ich wäre euch unendlich dankbar, wenn ihr euch die Mühe macht und es mir erklärt.

Fangen wir damit an: Wenn ich eine nxn Matrix A habe und diese einen Rang von n-1 hat, wass kann ich dann über eine lineare Abbildung x -->Ax ,x ? R^n sagen in Bezug auf Injektivität, Surjektivität,Bijektivität und Lösungen es linearen Gleichungssystems?


Meine Ideen:
ich weiss, dass eine lineare Abbildung mit Matrix A die vollen Rang hat bijektiv ist, aber wieso kann ich mir selber nicht genau erklären, sorry.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Welchen Zusammenhang gibt es zwischen Rang und der Dimension des Bildes?
 
 
student8 Auf diesen Beitrag antworten »

jap gute frage^^
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, vor allem eine Frage die dich der Lösung ein großes Stück näher bringt, wenn du sie beantwortest. Von daher würde ich vorschlagen, du schägst z.B. mal in deinem Skript/Mitschrift nach, was ihr dazu aufgeschrieben habt.
student8 Auf diesen Beitrag antworten »

zwischen Rang und der Dimension des Bildes?
das problem ist, ich kann ehrlich sagen, dass ich das skript sehr detaiert durchgearbeitet habe, aber in dem skript nicht genau darauf eingegangen wird welcher zusammenhang zwischem beiden besteht, deswegen habe ich auch so große Probleme.

was ich weiss in diesem Zusammenhang ist: dim Kern +dim bild = n für V -->W , beschreibt also die Dimension von V, also zb wie viele Achsen benötigt werden um den Grafen darzustellen ( wenn man f(x) jetzt mal vergisst, sonst n+1 Achsen)
ausserdem weiss ich, dass der Rang die linear unabhängigen Vektoren dastellt, mit denen sich der Zielvektor darstellen lässt.

Aber ich weiss, jetzt nicht genau wohin deine Frage zielt, vielleicht kannst du mir einen kleinen Tipp geben mit dem ich dann weiter arbeiten kann, ich weiss nähmlich nicht wo ich anfangen soll.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Also, wir haben eine Matrix , was kannst du allein damit über die Abbildung sagen, von wo wird wohin abgebildet, Dimension etc.?

Und wenn ihr die Aussage "dim Kern +dim bild = n" hattet, dann solltet ihr ziemlich sicher auch einen Zusammenhang zwischen und gehabt haben, wobei die von induzierte lineare Abbildung ist
student8 Auf diesen Beitrag antworten »

also meinst du vielleicht das ?

wenn Rang (A) = (Rang A|b), also der Zielvektor linear abhängig ist, sich also durch die bereits vorhandenen Spaltenvektoren der Matrix A darstellen lässt, gibt es mindestens eine Lösung.

außerdem weiss ich, dass der Kern die Vektoren darstellt, die im Wertebereich der Abbildung den Wert 0 annimt und das Bild sozusagen die Werte im Wertebereich der Funktion darstellt die von 0 verschieden sind glaube ich( sorry wenn ich mathematisch unkorrekt bin)

aber ich sehe keinen zusammenhang zwischen Rang und dim BIld, kennst du vielleicht einen Link, wo ich sowas nachlesen kann?=
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von student8
außerdem weiss ich, dass der Kern die Vektoren darstellt, die im Wertebereich der Abbildung den Wert 0 annimt


Ja,

Zitat:
Original von student8
und das Bild sozusagen die Werte im Wertebereich der Funktion darstellt die von 0 verschieden sind glaube ich( sorry wenn ich mathematisch unkorrekt bin)


Nein! ...

Lass Rang und Bild jetzt erstmal aus dem Spiel.

Es sei ein Körper. Wir wissen, dass eine Matrix eine lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen induziert. Sei diese Abbildung. Was weißt du jetzt über die Dimension von bzw. von ?

Jetzt hast du in der Aufgabe eine Matrix gegeben, welche spezielle lineare Abbildung ist das nun? Was für Aussagen bzgl. Injektivität, Surjektivität und Bijektivität lassen sich für diese Abbildung treffen?
student8 Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ich weiß, dass A eine mxn Matrix ist, also m Zeilen und n Spalten hat, dann gilt ja min ( m,n) für den Rang, sagen wir in diesem Fall Rang A = m, das der Vektor V die Dimension m hat, weil er aus m unabhängigen Vektoren besteht.
zu dim W fällt mir nichts ein sorry.

wenn die Matrix nxn vollen Rang hat bijektiv ist, aber wieso konnte ich mir nicht erklären. Das ist genau der Punkt, den ich nicht verstanden habe.

wenn ich mir das vereinfacht vorstelle und den Gausalgorithmuss angucke, dann weiss ich, dass es für jede nte Variable genau eine Lösung geben muss für nxn Matritzen mit vollen Rang.
student8 Auf diesen Beitrag antworten »

gilt eigentlich Rang m = dim von V ist m ?

ich merke selber i ch hab große Probleme mit den Zusammenhängen sorry
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von student8
Also wenn ich weiß, dass A eine mxn Matrix ist, also m Zeilen und n Spalten hat, dann gilt ja min ( m,n) für den Rang, sagen wir in diesem Fall Rang A = m


Aha? ?


Zitat:
Original von student8
wenn die Matrix nxn vollen Rang hat bijektiv ist, aber wieso konnte ich mir nicht erklären. Das ist genau der Punkt, den ich nicht verstanden habe.


Das stimmt zwar, ist aber zur Zeit gar nicht von Bedeutung.

Zitat:
Original von student8
wenn ich mir das vereinfacht vorstelle und den Gausalgorithmuss angucke, dann weiss ich, dass es für jede nte Variable genau eine Lösung geben muss für nxn Matritzen mit vollen Rang.


verwirrt

Du bist aber den Fragen die ich gestellt habe geschickt ausgewichen, lass den Rang jetzt erstmal beiseite, der interessiert gerade gar nicht.

Wie oben sei die von induzierte lineare Abbildung , damit ist und . Klingelts damit?

Wie sieht das jetzt für aus?
student8 Auf diesen Beitrag antworten »

ja dann muss dim (v) =n dim (W)= n ?

aber wieso gilt das? ich verstehe nicht wieso man das so einfach sagen kann?
student8 Auf diesen Beitrag antworten »

was beschreibt eigentlich die Dimension?

ist es der Raum in dem sich die Abbildung befindet ? also bei einem Würfel 3te Dimension eine gerade 1te dim ?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von student8
ja dann muss dim (v) =n dim (W)= n ?

aber wieso gilt das? ich verstehe nicht wieso man das so einfach sagen kann?


Wieso das gilt, solltet ihr eigentlich in der Vorlesung gehabt haben.

Zitat:
Original von student8
was beschreibt eigentlich die Dimension?


unglücklich

Ganz ehrlich, wenn du in einer Woche deine Klausur schreibst, sollte das eigentlich bekannt sein. Was genau ist das für eine Vorlesung?

Es ist auch nicht wirklich möglich (und auch nicht der Sinn dieses Boards) hier eine komplette Wiederholung der Grundlagen der Linearen Algebra zu machen. Ich würde dir empfehlen, das ganze gründlich zu wiederholen (Stichworte: Lineare Abbildung, Abbildungsmatrix, Erzeugendensystem, Basis, Dimension, Endomorphismen) und vor allem, an Übungsaufgaben nachzuvollziehen (die Aufgabe die oben steht ist dafür allerdings schon zu weit fortgeschritten). Falls dabei Probleme auftreten, kannst du natürlich nachfragen und wir versuchen dann weiterzuhelfen, für eine Grundlagenwiederholungen habe ich aber weder Zeit noch Lust.
student8 Auf diesen Beitrag antworten »

ok aber vielen dank du hast mir sehr viel weiter geholfen... muss ich wohl nochmal nachgucken .....die Vorlesung heisst lineare Algebra für Wirtschaftswissenschaftler ....aber wie gesagt die Zusammenhänge wurden nicht wirklich erklärt ...ich kenne zwar dieBegriffe aber nicht die Zusammenhänge

aber trotzdem danke
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Habt ihr keine Tutorien mit Übungsaufgaben während des Semesters gehabt? Das ist eine sehr gute Stelle um sich die Zusammenhänge zu erarbeiten.
student8 Auf diesen Beitrag antworten »

nicht in bezug auf solche sachen ....nur eben Basissachen ...wie zeigen sie, dass die vektoren lin abhängig sind und so weiter.....und dann wurden uns letztens aufgaben gestellt die einen viel höheres verständnis verlangen was wir nicht haben
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Dann würde ich dir z.B. die Wikipedia-Artikel zu Vektorräumen und linearen Abbildungen empfehlen. Außerdem gibt es unseren: Katalog: Workshops & Aufgaben & Videos, da sind auch einige gute Artikel zur Linearen Algebra dabei. Falls du dich da durcharbeitest und konkrete Verständnisfragen hast, kannst du die natürlich auch hier stellen.
student8 Auf diesen Beitrag antworten »

danke Freude
student8 Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiss jetzt den zusammenhang zwischen dem Rang einer Matrix welche eine lineare Abbildung impliziert und der dimension des Bildes:

Rang der Matrix beschreibt die dimension des Bildes

zb : f: V-->W
Rang einer nxn MatrixA = n ---> Dimension W = n ......da die Matrix eigentlich nur ein das bild des einheitsvektors ist
multipliziert man diesen erneut mit einem beliebigen Vektor aus V ...erhält man einen beliebiges Bild aus W

ungefähr so denke ich es mir

was ich aber nicht verstanden habe bei deiner schlussfolgerung am ende :

wenn eine mxn Matrix A eine lineare Abbildung impliziert f: V---> W .....wieso sagst du dann einfach dim V= n und Dim (W) = m
? kann man das einfach so oder habe ich das falsch verstanden
axxx Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaube ich weiss es schon selber ......wegen der Regel Zeilenrang = Spalten Rang kann der vektorraum W höchstens m -dimensional sein

also wenn Rang der MAtrix A = m ---> dim (W) = m

dim (V) = n ----> ergibt sich aus der matrixmultiplikation schon ...wenn ich eine lin. Abbildung habe von Ax= b A= mxn Matrix ....dann muss x ein nx1 matrix sein ....also muss es sich bei V um einen n-dimensionalen Vektorraum handeln oder?
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