Diagnoalisierbare Matrix
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18.07.2010, 16:26 mok120 Auf diesen Beitrag antworten »
Diagnoalisierbare Matrix
Meine Frage:
Hallo,

ich habe folgenden Aufgabe zu lösen:

Zur digaonalisierbaren Matrix



Soll eine orthogonale Matrix S gefunden werden, sodass gilt:

ist diagonal.





Meine Ideen:
Ich habe versucht, eine allgemeine 2x2-Matrix mit a, b, c, d aufzustellen und dann soweit aufzulösen wie möglich, bin damit aber überhaupt nicht weitergekommen. Es wird dann mit der Zeit auch sehr aufwendig und ich bin mir nicht sicher, ob das überhaupt der richtige Ansatz ist.

Danke im Voraus!
18.07.2010, 16:28 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diagnoalisierbare Matrix
A ist symmetrisch. Wie lauten die Eigenwerte und zugehörigen Eigenvektoren?

[Artikel] Eigenwerte und Eigenvektoren
18.07.2010, 17:10 mok120 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diagnoalisierbare Matrix
Die Eigenwerte sind 0 und 1; die Eigenektoren sind (-3, 4) und (4, 3).
18.07.2010, 17:11 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diagnoalisierbare Matrix
Und was sagt nun der Spektralsatz?
18.07.2010, 17:28 mok120 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diagnoalisierbare Matrix
Dan müsste S ja eine Matrix mit den Eigenvektoren von A als Spaltenvektoren sein. Laut Lösung kommt da aber noch ein 1/25 vor die Matrix und da habe ich keine Ahnung, wo das herkommt.
18.07.2010, 17:31 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diagnoalisierbare Matrix
Wenn ich mit die Matrix so anschaue... wo könnte das denn nur herkommen... Und bei den EV musst du beachten, dass die normiert sein müssen.
 Anzeige 
 
18.07.2010, 17:48 mok120 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diagnoalisierbare Matrix
Tja, aber dann komme ich auf 1/5 und nicht auf 1/25, wenn ich die Vektoren normiere.
18.07.2010, 17:50 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diagnoalisierbare Matrix
poste mal die Lösung, bitte.
18.07.2010, 17:53 mok120 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diagnoalisierbare Matrix
Es soll herauskommen:

18.07.2010, 18:31 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diagnoalisierbare Matrix
Also das soll dein S sein? Mach mal die Probe, dann kannst du das ja widerlegen. Ich dachte man hätte von A halt am Ende die 1/25 ausgeklammert in einer Darstellung.

code: 
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A:=matrix(2,2,[16/25,12/25,12/25,9/25]);
                               [16     12 ]
                               [--     -- ]
                               [25     25 ]
                          A := [          ]
                               [12        ]
                               [--    9/25]
                               [25        ]

> R1 := linalg[eigenvects](A);

            R1 := [0, 1, {[1, -4/3]}], [1, 1, {[4/3, 1]}]

> R0 := linalg[eigenvals](A);

                              R0 := 0, 1

> S:=matrix(2,2,[3/5,4/5,-4/5,3/5]);

                               [3/5     4/5]
                          S := [           ]
                               [-4/5    3/5]

> SI := linalg[inverse](S);

                               [3/5    -4/5]
                         SI := [           ]
                               [4/5    3/5 ]

> B:=SI&*A&*S;

                         B := (SI &* A) &* S

> R3 := evalm(B);

                                  [0    0]
                            R3 := [      ]
                                  [0    1]
18.07.2010, 18:35 mok120 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diagnoalisierbare Matrix
Ok, dann scheint die Musterlösung falsch zu sein. Danke für die Hilfe, das Prinzip habe ich jetzt verstanden.
18.07.2010, 18:45 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diagnoalisierbare Matrix
Schön. Augenzwinkern
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