Dachprodukt, Zerlegbarkeit von Elementen

19.07.2010, 15:16

9mb0

Dachprodukt, Zerlegbarkeit von Elementen

Hallo,

ich beschäftige mich grade mit der zerlegbarkeit von Elementen in $\begin{eqnarray*} \wedge^n V \end{eqnarray*}$ . Wenn ich ein Element $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \wedge^n V \end{eqnarray*}$ habe, kann ich ja eine Aussage über dessen Zerlegbarkeit machen, wenn ich prüfe was $\begin{eqnarray*} \alpha \wedge \alpha \end{eqnarray*}$ ergibt. Wenn es 0 ist so ist mein $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ zerlegbar, wenn es ungleich Null ist dann ist es eben nicht zerlegbar.

Gut ich denke soweit müsste das stimmen.

Ich habe jetzt konkret ein element aus $\begin{eqnarray*} \wedge^2\mathbb C^3 \end{eqnarray*}$ gegeben mit

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2i \\ 2i+1 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ i \\ 1 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 5 \\ 3+12i \\ 1+3i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so ich kanns jetz so machen wie oben beschrieben und krieg dann auch raus dases zerlegbar ist.

Meine eigentliche Frage, wie kann ich denn nun eine konkrete Zerlegung herausfinden. Hier hieße das ja ich müsste es darstellen können mit $\begin{eqnarray*} v_1\wedge v_2 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe mir kann jemand helfen.

MfG
9mb0

20.07.2010, 17:59

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \alpha \wedge \alpha = 0 \end{eqnarray*}$ gilt doch immer. Wie soll das ein Kriterium für irgendeine Eigenschaft von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ sein? verwirrt

20.07.2010, 22:36

9mb0

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Sei $\begin{eqnarray*} \alpha= e_1\wedge e_2 +e_3 \wedge e_4 \in \wedge^2V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} V=K^4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e_1,e_2,e_3,e_4 \end{eqnarray*}$ Standard-Basis, dann ist $\begin{eqnarray*} \alpha \wedge \alpha =2 e_1\wedge e_2 \wedge e_3 \wedge e_4\neq 0 \end{eqnarray*}$ eben weil $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ nicht zerlegbar ist.

21.07.2010, 18:35

Reksilat

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Also mit dem Dachprodukt kann ich jetzt nichts anfangen. Wenn ich $\begin{eqnarray*} \wedge ^2V \end{eqnarray*}$ aber als Faktorraum von $\begin{eqnarray*} V\otimes V \end{eqnarray*}$ modulo $\begin{eqnarray*} \langle v\otimes v|v\in V\rangle \end{eqnarray*}$ annehme, dann fällt mir folgendes zur Zerlegung von $\begin{eqnarray*} a\wedge b+ c\wedge d \end{eqnarray*}$ ein:

Wenn sich $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} rb+sc+td \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} r,s,t\in\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ schreiben lässt (ist bei Dir ja der Fall, da Du vier Vektoren in einem dreidimensionalen Raum hast), dann ist doch $\begin{eqnarray*} a\wedge b=(sc+td)\wedge b=sc\wedge b+td\wedge b \end{eqnarray*}$

Damit sollte sich $\begin{eqnarray*} a\wedge b+ c\wedge d=sc\wedge b+td\wedge b+c\wedge d \end{eqnarray*}$ zu einem Ausdruck der Form $\begin{eqnarray*} v_1\wedge v_2 \end{eqnarray*}$ zusammenfassen lassen.

Gruß,
Reksilat.

21.07.2010, 19:36

9mb0

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ahja klingt gut Augenzwinkern

vielen Dank.

werd's denk ich morgen probiern, hab heut keine lust mehr...

MfG

9mb0

22.07.2010, 09:13

Leopold

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Zitat:

Original von 9mb0
Sei $\begin{eqnarray*} \alpha= e_1\wedge e_2 +e_3 \wedge e_4 \in \wedge^2V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} V=K^4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e_1,e_2,e_3,e_4 \end{eqnarray*}$ Standard-Basis, dann ist $\begin{eqnarray*} \alpha \wedge \alpha =2 e_1\wedge e_2 \wedge e_3 \wedge e_4\neq 0 \end{eqnarray*}$ eben weil $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ nicht zerlegbar ist.

Einverstanden.

Aber diese Konstruktion ist doch im hier vorliegenden Fall nicht möglich. Mit den kanonischen Einheitsvektoren $\begin{eqnarray*} e_1,e_2,e_3 \end{eqnarray*}$ des $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}^3 \end{eqnarray*}$ ist ja $\begin{eqnarray*} e_1 \wedge e_2, \, e_2 \wedge e_3, \, e_3 \wedge e_1 \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} \Lambda^2 \mathbb{C}^3 \end{eqnarray*}$ , aufgefaßt als $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ -Vektorraum. Womit jedes $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ mit Hilfe geeigneter $\begin{eqnarray*} a_1,a_2,a_3 \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ dargestellt werden kann als

$\begin{eqnarray*} \alpha = a_3 \, e_1 \wedge e_2 + a_1 \, e_2 \wedge e_3 + a_2 \, e_3 \wedge e_1 \end{eqnarray*}$

Und dann ergibt sich doch $\begin{eqnarray*} \alpha \wedge \alpha = 0 \end{eqnarray*}$ .

Oder sehe ich da etwas falsch? verwirrt

Ich habe die Konstruktion von Reksilat einmal ausprobiert. Freude

Das scheint zu funktionieren. Wenn ich die Vektoren des fraglichen Ausdrucks der Reihe nach mit $\begin{eqnarray*} a,b,c,d \end{eqnarray*}$ bezeichne, ist $\begin{eqnarray*} v_1 = c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_2 = b+d \end{eqnarray*}$ .

22.07.2010, 10:20

9mb0

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nein ist schon richtig so, mein anderes Beispiel, also

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2i \\ 2i+1 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ i \\ 1 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 5 \\ 3+12i \\ 1+3i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist schon zerlegbar. Wir haben auch aufgeschrieben, dass immer wenn $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ n-dim und $\begin{eqnarray*} \Lambda^{n-1} V \end{eqnarray*}$ gilt, dass dann alle Elemente aus diesem Raum zerlegbar sind. Was auch hier der Fall ist.

und der alternative weg ohne dieses Kriterium, so denke ich, ist das ich $\begin{eqnarray*} \alpha \wedge \alpha \end{eqnarray*}$ berechne und wenn es eben 0 ist is das Element zerlegbar und wenn es ungleich 0 ist so ist es nicht zerlegbar.

Vielen Dank, dass ihr euch mit meinem Problem beschäftigt (habt).

MfG

9mb0

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