Zerfällungskörper t^4-4 und t^3-4

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Tobe89 Auf diesen Beitrag antworten »
Zerfällungskörper t^4-4 und t^3-4
Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe zwei Aufgaben gefunden, über die ich nachgedacht habe, aber nicht weiß, ob das, was ich mir zusammengedacht habe, überhaupt so stimmt. Also:

1. Aufgabe: Bestimme den Zerfällungskörper (und den Grad der Erweiterung) von (über )
2. Aufgabe: Dasselbe für


Meine Ideen:
So, nun zur ersten Aufgabe:
. Für sind die Wurzeln und für sind sie .

Nun sei der Zefällungskörper (ZK) von über . Wenn weiterhin der ZK von über ist, dann kann ich auch als ZK von über betrachten (also als Körperturm). Es gilt zunächst offensichtlich (da ). Da den Grad 2 hat und das Minimalpolynom von über ist (normiert und irreduziebel), ist (hiermit bezeichne ich den Grad der Körpererweiterung).

Nun ist und somit sind alle Wurzeln von , da , nicht in enthalten. Somit ist über irreduziebel (und auch normiert) und somit, mit derselben Begründung wie oben, . Letztere Umformung ist möglich, da und . Auch hier ist die Körpererweiterung (mit derselben Begründung wie vorher) wieder 2. Damit ergibt sich mit dem Gradsatz:
.


Bei der zweiten Aufgabe wußte ich zunächst nicht, wie man da am besten rangeht. Ich habe überlegt, ob irreduziebel ist. Aber ich kann weder das Eisensteinkriterium noch den Reduktionssatz anwenden (oder?). Gibt es eine andere Methode, wie ich das hier machen könnte?

Ich habe zunächst die Nullstellen bestimmt, diese sind . Dies sind alles nichtrationale Zahlen, aber das genügt ja nicht um die Irreduziebilität nachzuweisen (z.B. ist das Polynom über reduziebel, hat aber nur komplexe Nullstellen). Ich habe es schließlich so gelöst, dass ich durch ein allgemeines Polynom zweiten und ersten Grades, also durch und geteilt habe. Sollte ein Polynom ein Teiler sein, dann sollte bei dieser Polynomdivision der Rest 0 rauskommen. Also habe ich den Rest der da rauskommt gleich Null gesetzt und dann herausbekommen, dass die Koeffizienten oder irgendeine dritte Wurzel von 4 sind. Also habe ich so geschlussfolgert, dass es keine echten Teiler von gibt. Dass die allgemeinen Polynome normiert sind, sollte doch unproblematisch sein, da ein Körper ist.

Nun also weiter:
Zunächst ist das Minimalpolynom von über also ist . Allerdings ist , enthält also nicht die anderen beiden Wurzeln. Jetzt könnte ich doch eigentlich folgern, dass der ZK von eine echte Körpererweiterung von ist, also ist. Da ich aber die obere Schranke des Grades der Körpererweiterung des ZK kenne, nämlich , kann ich folgern, dass also gleich zwei ist. Ich bilde also . Allerdings verstehe ich nicht, warum nun sein sollte. Allerdings müsste das so sein, da eine weitere Körpererweiterung aufgrund der oberen Schranke der Gesamterweiterung nicht mehr möglich ist...

Ich fände es toll, wenn sich jemand mal diese Lösung anschauen würde und gerade zu den Fragen ein oder zwei Statements geben könnte...

Gruß
Tobias

Edit: LaTeX-Tags aus Titel entfernt. Gruß, Reksilat.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zerfällungskörper [latex]t^4-4[/latex] und [latex]t^3-4[/latex]
Zitat:
Original von Tobe89

Ich habe zunächst die Nullstellen bestimmt, diese sind . Dies sind alles nichtrationale Zahlen, aber das genügt ja nicht um die Irreduziebilität nachzuweisen (z.B. ist das Polynom über reduziebel, hat aber nur komplexe Nullstellen).

Doch das genügt definitiv, die Nullstellenfreiheit über den Grundkörper ist allein schon hinreichend (bei Grad >1 natürlich auch notwendig) für die Irreduzibilität für nichtkonstante Polynome vom Grade <4 über den Grundkörper, wie du dir am besten selbst noch mal gründlich überlegen solltest...
Tobe89 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zerfällungskörper [latex]t^4-4[/latex] und [latex]t^3-4[/latex]
Hallo,

vielen Dank für die Antwort! Ja klar, leuchtet mir ein, was du da über die Irreduziebilität der Polynome vom Grad kleiner 3 schreibst, hätte ich auch selber drauf kommen können smile

Hast du noch eine Idee zu meiner allerletzten Frage (ganz unten am Beitrag, wo es um die Körpererweiterung um die Einheitswurzel geht).

Gruß
Tobias
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zerfällungskörper [latex]t^4-4[/latex] und [latex]t^3-4[/latex]
Zitat:
Original von Tobe89
Nun also weiter:
Zunächst ist das Minimalpolynom von über also ist . Allerdings ist , enthält also nicht die anderen beiden Wurzeln. Jetzt könnte ich doch eigentlich folgern, dass der ZK von eine echte Körpererweiterung von ist, also ist. Da ich aber die obere Schranke des Grades der Körpererweiterung des ZK kenne, nämlich , kann ich folgern, dass also gleich zwei ist. Ich bilde also . Allerdings verstehe ich nicht, warum nun sein sollte. Allerdings müsste das so sein, da eine weitere Körpererweiterung aufgrund der oberen Schranke der Gesamterweiterung nicht mehr möglich ist...


Es ist genau verkehrt herum: Die Körpererweiterung mit der primitiven 3.Einheitswurzel hat Grad 2 (Minimalpolynom ist ja ), die andere Grad 3...
Tobe89 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zerfällungskörper [latex]t^4-4[/latex] und [latex]t^3-4[/latex]
Hi noch einmal,

aber ist das nicht genau das, was ich geschrieben habe? L ist doch die Erweiterung von Q adjungiert 3.-Wurzel aus 4 um die dritte Einheitswurzel... Aber ich glaub, ich habe es jetzt auch kapiert, warum das so ist smile

Also, noch einmal vielen Dank für deine Hilfe, und entschuldige, dass ich nicht immer zeitnah in diesen Thread geschaut habe, aber bin grad im Lernstress...

Gruß
Tobias
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