Übungen zu Relation

21.07.2010, 21:49

VinSander82

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Übungen zu Relation

Hallo Leute, ich brauche mal wieder Unterstützung. Ich muss wieder in das Thema rein kommen und schreibe gleich ein paar mehr Aufgaben hier rein.

Also los gehts:
Aufgabe 1) Sei A= $\begin{eqnarray*} \left\{a, b, c\right\} \end{eqnarray*}$
Welche der Eigenschaften (r), (s), (t), (as) besitzt die Relation $\begin{eqnarray*} R_{1} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \left\{(a,a), (c,c)\right\} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} R_{2} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \left\{(a,a), (b,b),(c,c),(a,b)\right\} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} und R_{3} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \left\{(a,b), (b,c), (a,c), (c,a)\right\} \end{eqnarray*}$ ?

Aufgabe 2) Welche der Eigenschaften (r),(s),(t),(as) besitzt die relation R:= $\begin{eqnarray*} \left\{ (x,y)\in \mathbb R^{2}|x+y = x\cdot y \right\} \end{eqnarray*}$ ?

Bitte wie kann ich anfangen, gerne will ich auch verstehen. z.B. weiss ich das in der ersten Aufgabe $\begin{eqnarray*} R_{1} \end{eqnarray*}$ gar nihts vonn allen ist, aber wie schreibt man das formal auf? $\begin{eqnarray*} R_{2} \end{eqnarray*}$ ist Symmetrie vorhanden und $\begin{eqnarray*} R_{3} \end{eqnarray*}$ ist transitivität vorhanden.

VG Vinni

21.07.2010, 21:52

Iorek

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Fang mal mit reflexiv an, wie lautet dafür die Definition, was ist z.B bei $\begin{eqnarray*} R_1 \end{eqnarray*}$ also das Problem für Reflexivität?

21.07.2010, 22:53

VinSander82

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falls (a,a) $\begin{eqnarray*} \in R \end{eqnarray*}$ für jedes a $\begin{eqnarray*} \in A \end{eqnarray*}$ gilt. also kjlartext jedes element einer Menge muss zum anderen Element der anderen Menge zur Relation stehen: also müsste für R_{1} (a,a), (b,b), (c,c) gelten. was aber nicht der fall ist

21.07.2010, 22:56

Iorek

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Zitat:

Original von VinSander82
also kjlartext jedes element einer Menge muss zu sich selbst in Relation stehen (nicht "zum anderen Element der Menge")

Begründung stimmt, es fehlt (b,b) damit die Relation auf A reflexiv ist. Wie siehts mit $\begin{eqnarray*} R_2,R_3 \end{eqnarray*}$ aus? Danach weiter mit Symmetrie/Transitivität.

21.07.2010, 23:07

VinSander82

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aha ok, das merk ich mir. danke

für $\begin{eqnarray*} R_{2} \end{eqnarray*}$ gilt die Reflexivität , da das (wie ich oben beschrieben habe) zutrifft. Jedoch (s) und (t) nicht. es reicht nämlich nicht aus, dass (a,b) in $\begin{eqnarray*} R_{2} \end{eqnarray*}$ steht, (t) ist auch nicht vorhanden
zu $\begin{eqnarray*} R_{3} \end{eqnarray*}$ sind Reflexivität undsymmetrie nicht gegeben, jedoch die transitivität. In der Definiton heisst es ja, dass aus (a,b) $\begin{eqnarray*} \in R \end{eqnarray*}$ und (b,c) $\begin{eqnarray*} \in R \end{eqnarray*}$ stets (a,c) $\begin{eqnarray*} \in R \end{eqnarray*}$ folgt

21.07.2010, 23:18

Iorek

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Für die nicht vorhandene Transitivität in $\begin{eqnarray*} R_2 \end{eqnarray*}$ könntest du noch schnell ein Beispiel angeben Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} R_3 \end{eqnarray*}$ ist weder reflexiv noch symmetrisch, aber guck dir für die Transitiviät nochmal $\begin{eqnarray*} (a,b),(c,a) \end{eqnarray*}$ an.

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21.07.2010, 23:28

VinSander82

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wir haben in $\begin{eqnarray*} R_{2} \end{eqnarray*}$ kein (a,c)

hmm, aber ich meine doch ein antwort vorher , dass die Transitivität vorhanden ist in $\begin{eqnarray*} R_{3} \end{eqnarray*}$

21.07.2010, 23:31

VinSander82

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sorry ich gehe jetzt in die Heiha, aber vielen dank ich werd mich morgen wieder ran setzten. sehr nett für die Mühe.

Bis morgen evtl.

VG
Vinni

21.07.2010, 23:31

Iorek

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Ja, du sollst aber die Transitivität nochmal genau überprüfen, die Paare die ich dir angegeben habe spielen dabei eine wichtige Rolle Augenzwinkern

Augenzwinkern

Edit: Und das angegebene Gegenbeispiel für die Transitivität in $\begin{eqnarray*} R_2 \end{eqnarray*}$ ist kein richtiges.

22.07.2010, 11:55

VinSander82

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moin moin, da bin ich wieder. hmm wieso ist für $\begin{eqnarray*} R_{2} \end{eqnarray*}$ das nicht richtig?

ahso weil da schon vorerst gar nicht (b,c) enthält und somit (a,c) so oder so überflüssig wäre

Also für $\begin{eqnarray*} R_{3} \end{eqnarray*}$ ist es definitiv Transitiv, ich denke du möchtest mir damit sagen, dass es auch Antisymmetrisch ist

22.07.2010, 15:44

Iorek

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Ich denke, die Definition der Transitivität bringt dich da ein klein wenig durcheinander:

Eine Relation heißt transitiv wenn gilt: $\begin{eqnarray*} (x_1,x_2,)(x_2,x_3)\in R\Rightarrow (x_1,x_3)\in R \end{eqnarray*}$ um mal auf die Buchstaben a,b,c, zu verzichten (soll heißen, dass muss natürlich nicht nur für die Elemente a,b,c gelten, die gerade zufällig auch unsere Mengenelemente sind).

Jetzt ist $\begin{eqnarray*} (a,b),(c,a)\in R_3 \end{eqnarray*}$ , oder umgeschrieben $\begin{eqnarray*} (c,a),(a,b)\in R_3 \end{eqnarray*}$ , angenommen die Relation wäre transitiv, was muss dann auch in $\begin{eqnarray*} R_3 \end{eqnarray*}$ enthalten sein?

Unter dem selben Aspekt solltest du auch nochmal dein Gegenbeispiel überprüfen, $\begin{eqnarray*} (b,c),(b,b)\in R_2 \end{eqnarray*}$ , was fehlt demnach für die Transitivität?

22.07.2010, 23:24

VinSander82

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in $\begin{eqnarray*} R_{3} \end{eqnarray*}$ müsste für die Transitivität dann auch ein (c,b) als Element stehen.

das mit $\begin{eqnarray*} R_{2} \end{eqnarray*}$ komme ich net drauf, also mir fällt nur auf , dass demnach (b,c) und (a,c) fehlen, um eine Transitivität erkennen zu können

VG

22.07.2010, 23:30

Iorek

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Ja, für $\begin{eqnarray*} R_3 \end{eqnarray*}$ stimmt es jetzt.

Zu $\begin{eqnarray*} R_2 \end{eqnarray*}$ : Wir haben $\begin{eqnarray*} (a,a),(b,b),(c,c)\in R_2 \end{eqnarray*}$ und damit Reflexivität, betrachten wir doch jetzt auch einmal das vierte Element $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ . Mit $\begin{eqnarray*} (a,b),(b,b)\in R_2 \end{eqnarray*}$ müsste demnach also auch $\begin{eqnarray*} (a,b)\in R_2 \end{eqnarray*}$ sein, damit die Relation transitiv ist.

Wie siehts denn zum Abschluss mit der Antisymmetrie aus, was kann man darüber sagen?

Edit: Oder soll (as) für Asymmetrie und nicht für Antisymmetrie stehen?

23.07.2010, 00:09

VinSander82

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das mit der $\begin{eqnarray*} R_{3} \end{eqnarray*}$ ist schon super, das erleichtert mich. Dennoch verstehe ich jetzt aber warum $\begin{eqnarray*} R_{2} \end{eqnarray*}$ jetzt doch Transitiv sein soll? oder verstehe ich dich falsch. da fehlen doch Elemente umd (t) zu erkennen? antisymmetrie soll das heißen...also hierzu würde ich sagen, durch die DEfinition: falls aus (a,b) $\begin{eqnarray*} \in R \end{eqnarray*}$ mit a $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ b stets (b,a) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ (nicht Element, hab's bei LaTex nicht finden können) R folgt.

hier ist es das gegeben, also sollte es auch antisymmetrisch sein

23.07.2010, 00:26

Iorek

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Zitat:

Original von VinSander82
das mit der $\begin{eqnarray*} R_{3} \end{eqnarray*}$ ist schon super, das erleichtert mich. Dennoch verstehe ich jetzt aber warum $\begin{eqnarray*} R_{2} \end{eqnarray*}$ jetzt doch Transitiv sein soll? oder verstehe ich dich falsch. da fehlen doch Elemente umd (t) zu erkennen?

Absolut daneben gehauen von mir, sorry, die Relation ist transitiv. Danke an Pavel für den Hinweis (wie bin ich auf diese komische Begründung gekommen die ich formuliert hab? Manmanman...).

Zitat:

Original von VinSander82
antisymmetrie soll das heißen...also hierzu würde ich sagen, durch die DEfinition: falls aus (a,b) $\begin{eqnarray*} \in R \end{eqnarray*}$ mit a $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ b stets (b,a) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ (nicht Element, hab's bei LaTex nicht finden können) R folgt.

hier ist es das gegeben, also sollte es auch antisymmetrisch sein

$\begin{eqnarray*} \notin \end{eqnarray*}$

code:
1:	[latex]\notin[/latex]

Also: die Relation heißt antisymmetrisch falls $\begin{eqnarray*} \forall x_1,x_2\in A:~(x_1,x_2)\in R \Rightarrow (x_2,x_1)\notin R~\text{für}~x_1\neq x_2 \end{eqnarray*}$

Worauf beziehst du dich mit dem "hier", immerhin haben wir 3 Relationen zu überprüfen (direkt schonmal vorweg: 2 sind antisymmetrisch, 1 ist es nicht).

23.07.2010, 00:32

VinSander82

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dann lag ich also doch richtig zu Anfang, als ich meinte, dass $\begin{eqnarray*} R_{2} \end{eqnarray*}$ NICHT transitiv ist. bin drucheinander gekommen, sollte es wahrscheinlich nur noch mal wirklich zeigen, dass es das nicht ist.

Oh danke für die latex-beschreibung

ich meinte die (as) bei $\begin{eqnarray*} R_{3} \end{eqnarray*}$

uuih juih, ich mach mir darüber nochmal gedanken und meld mich morgen.

vielen dank für die Hilfe.

bin müde Schläfer

Schläfer

23.07.2010, 02:58

Pavel

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} R_{2} = \left\{(a,a), (b,b),(c,c),(a,b)\right\} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Iorek
Ich meinte, dass $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ auch in $\begin{eqnarray*} R_2 \end{eqnarray*}$ enthalten sein muss, damit die Relation transitiv ist: $\begin{eqnarray*} (a,b),(b,b)\in R_2\stackrel{\text{transitiv}}\Rightarrow (a,b)\in R_2 \end{eqnarray*}$ . Da das nicht der Fall ist, ist die Relation also nicht transitiv smile

smile

Sorry, dass ich mich hier einmische, aber: HÄ?
Du widersprichst dir doch schon irgendwie selbst, oder nicht?^^

23.07.2010, 09:47

Iorek

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Zitat:

Original von Pavel
Sorry, dass ich mich hier einmische, aber: HÄ?
Du widersprichst dir doch schon irgendwie selbst, oder nicht?^^

Öhm...gut dass du dich einmischst...du hast natürlich Recht geschockt

geschockt

Ich frag mich gerade, wie ich auf diesen Schmarn gekommen bin verwirrt

verwirrt

Ich glaub ich hatte die falsche Relation vor Augen, anders kann ich mir das eigentlich kaum erklären...

23.07.2010, 16:07

VinSander82

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puuh und ich dachte ich habe es vorerst falsch verstanden, aber auch gedacht dass doch eigentlich (a,b) enthalten ist..

danke euch beiden

23.07.2010, 17:07

VinSander82

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ok kann mir jemand mit der zweiten aufgabe (siehe erster beitrag) helfen?

24.07.2010, 10:13

Iorek

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Hmm, haben wir von der ersten Aufgabe denn schon alles abgedeckt? Augenzwinkern

Augenzwinkern

So wie ich das sehe fehlt noch die Aussage über die Antisymmetrie bei 2 Relationen. Und über $\begin{eqnarray*} R_1 \end{eqnarray*}$ haben wir noch nichts ausgesagt, ober überlese ich das gerade?

Vorschlag: kurz für die einzelnen Relationen aufschreiben, was jeweils gilt, dann wird das ganze übersichtlich smile

smile

Zum zweiten Aufgabenteil: das Vorgehen ist weitestgehend identisch, versuch dich auch hier mal zuerst an der Reflexivität, die sollte recht einfach sein.

15.08.2010, 20:14

VinSander82

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Für

R1 gilt nur die Symmetrie
R2 gilt die Reflexivität, Antisymmetrisch
R3 gilt NICHTS von allem

muss wieder rein kommen, sorry wenn was nicht stimmt

VG
vinni

16.08.2010, 17:27

VinSander82

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öhm , kann mir jemand helfen mit der tweiten Aufgabe, es sei denn ich hab noch bei der Ersten irgendwas falsch oder vergessen?

VG

16.08.2010, 19:50

Iorek

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Zitat:

Original von Iorek
Zum zweiten Aufgabenteil: das Vorgehen ist weitestgehend identisch, versuch dich auch hier mal zuerst an der Reflexivität, die sollte recht einfach sein.

Fang doch damit an Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.08.2010, 20:19

VinSander82

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hmm oh man weiss echt nicht wo ich anfangen soll unglücklich

unglücklich

p.s. ist denn von der ersten aufgabe alles soweit richtig?

16.08.2010, 20:20

Iorek

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Steht da doch, versuch dich an der Reflexivität. Das geht bei der Relation ganz standardmäßig übers Einsetzen der Definition.

16.08.2010, 20:57

VinSander82

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also x $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ x und y $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ y. das ist die minderstanforderung für die gleichung x + y = x * y und damit reflexiv

16.08.2010, 21:01

Iorek

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Zitat:

Original von VinSander82
also x $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ x und y $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ x

Wie kommst du denn jetzt darauf? Das hat doch mit der Relation gar nichts zu tun. verwirrt

verwirrt

Ist jedes Paar (x,x) reeller Zahlen in der Relation enthalten, das ist die Überprüfung auf reflexiv. Wenn du also ein einziges Gegenbeispiel findest, so ist die Relation nicht reflexiv.

16.08.2010, 21:11

VinSander82

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sorry das verstehe ich einfach nicht. wie sol ich das zeigen?

16.08.2010, 21:19

Iorek

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Du sollst dir Gedanken machen, ob es vllt. ein einfaches Gegenbeispiel gibt, gibt es eine Zahl $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} x\cdot x \neq x+x \end{eqnarray*}$ ist.

16.08.2010, 21:25

VinSander82

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ja kann es , z.B. wenn 1 + 3 = 4 * 1 , dann ist x $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ x

damit nicht reflexiv

16.08.2010, 21:34

Iorek

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Also wenn es eine reelle Zahl x gibt, sodass $\begin{eqnarray*} x\neq x \end{eqnarray*}$ , dann hätten wir große Probleme unglücklich

unglücklich

Nochmal: gibt es eine! reelle Zahl $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} x\cdot x\neq x+x \end{eqnarray*}$ ist? Du hast da ja vollkommen verschiedene Zahlen eingesetzt, es muss aber jeweils die selbe sein!

16.08.2010, 21:37

VinSander82

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also jetzt ist es mir langsam sogar peinlich unglücklich

unglücklich

wenn ich also für x =3 als beispiel einsetze, dann gilt ja

3 + 3 = 6

3 * 3 = 9, somit 6 $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 9, also x+x $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ x * x

wenn ich da wieder zu stumpfsinnig eingesetzt habe , dann sollte ich doch lieber vorerst noch mal für mich gucken, was ich nicht verstanden habe,

sorry

16.08.2010, 21:42

Iorek

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Das wäre ein Gegenbeispiel, ja. Also ist die Relation reflexiv?

Wie siehts mit symmetrisch aus?

16.08.2010, 21:49

VinSander82

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nein die Relation ist nicht Reflexiv, es ist ja ein gegenbeispiel, dass es nicht gilt.

symmetrie gilt, da x + y = x * y und y+ x = y * x ist, also das kommutativgesetz angwendet werden kann

16.08.2010, 22:01

Iorek

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Genau, Addition/Multiplikation sind kommutativ in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , also symmetrisch.

Bleibt noch die Transitivität, kannst du da schon was drüber sagen?

16.08.2010, 22:05

VinSander82

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woooow , das hab ichquasi aus dem ärmel geschüttelt UND es ist richtig, verdammt, dachte du sagst jetzt ich soll mich verziehen , weil ich echt schiss hatte, das es auch falsch ist.. puuuh bin ich erleichtert Gott

Gott

hmm dass mit der transitivität würde ich ausschließen, da ich kein drittes element habe

16.08.2010, 22:15

Iorek

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Was meinst du mit "kein drittes Element"? Hast du schon sämtliche Elemente bestimmt, die in R liegen?

16.08.2010, 22:24

VinSander82

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naja es gibt doch nur x und y. ich mein so wie in den anderen relationen sollte es z.B. auch "z" geben, um z.B. sagen zu können, dass $\begin{eqnarray*} \left(a,b\right) \wedge \left(b,c\right) \Rightarrow \left(a,c\right) \end{eqnarray*}$ folgern kann.

16.08.2010, 22:31

VinSander82

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oder kann man das assoziativgesetzt nun auf die transitivität beziehen? ein "z" kann ich mir ja dazu denken, oder?

(x+y)+z = (x*y)*z

an sich bleibt ja jede seite an ich gleich, egal was in der klammer oder ausserhalb der klammer steht. gegenbeispiel gibt es aber trotzdem:

(2+3)+4 $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ (2*3)*4

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